Odvozená nekomutativní algebraická geometrie - Derived noncommutative algebraic geometry

V matematice odvozená nekomutativní algebraická geometrie,^[1] odvozená verze nekomutativní algebraická geometrie, je geometrická studie odvozené kategorie a související konstrukce trojúhelníkových kategorií pomocí kategorických nástrojů. Některé základní příklady zahrnují omezenou odvozenou kategorii koherentních svazků na hladké odrůdě, ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$, označovaná jako odvozená kategorie nebo odvozená kategorie dokonalých komplexů na algebraické odrůdě ${ displaystyle D _ { operatorname {perf}} (X)}$. Například odvozená kategorie koherentních svazků ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ na hladkou projektivní odrůdu lze v mnoha případech použít jako invariant základní odrůdy (pokud ${ displaystyle X}$ má dostatečný (anti) kanonický svazek). Studium odvozených kategorií jako geometrických objektů samých o sobě bohužel nemá standardizovaný název.

Odvozená kategorie projektivní linie

Odvozená kategorie ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ je jedním z motivačních příkladů pro odvozená nekomutativní schémata díky své snadné kategorické struktuře. Připomeňme, že Eulerova sekvence z ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ je krátká přesná sekvence

${ displaystyle 0 až { mathcal {O}} (- 2) až { mathcal {O}} (- 1) ^ { oplus 2} až { mathcal {O}} až 0}$

vezmeme-li dva členy napravo jako komplex, dostaneme rozlišovací trojúhelník

${ displaystyle { mathcal {O}} (- 1) ^ { oplus 2} { přesahující { phi} { rightarrow}} { mathcal {O}} to operatorname {Cone} ( phi) { overset {+1} { rightarrow}}.}$

Od té doby ${ displaystyle operatorname {kužel} ( phi) cong { mathcal {O}} (- 2) [+ 1]}$ postavili jsme tento svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} (- 2)}$ pouze pomocí kategorických nástrojů. Mohli bychom to znovu opakovat tenzorováním Eulerovy sekvence plochým svazkem ${ displaystyle { mathcal {O}} (- 1)}$a znovu použijeme konstrukci kužele. Vezmeme-li dvojky snopů, můžeme zkonstruovat všechny svazky čar v ${ displaystyle operatorname {Coh} ( mathbb {P} ^ {1})}$ používající pouze jeho trojúhelníkovou strukturu. Ukazuje se, že správný způsob studia odvozených kategorií z jeho objektů a trojúhelníkové struktury je s výjimečnými sbírkami.

Poloiorgonální rozklady a výjimečné sbírky

Technickými nástroji pro kódování této konstrukce jsou semiortogonální rozklady a výjimečné sbírky.^[2] A semiortogonální rozklad trojúhelníkové kategorie ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ je kolekce úplných trojúhelníkových podkategorií ${ displaystyle { mathcal {T}} _ {1}, ldots, { mathcal {T}} _ {n}}$ takové, že platí následující dvě vlastnosti

(1) Pro objekty ${ displaystyle T_ {i} in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}} _ {i})}$ my máme ${ displaystyle operatorname {Hom} (T_ {i}, T_ {j}) = 0}$ pro ${ displaystyle i> j}$

(2) Podkategorie ${ displaystyle { mathcal {T}} _ {i}}$ generovat ${ displaystyle { mathcal {T}}}$, což znamená každý objekt ${ displaystyle T in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}})}$ lze rozložit na sekvenci ${ displaystyle T_ {i} in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}})}$,

${ displaystyle 0 = T_ {n} až T_ {n-1} až cdots až T_ {1} až T_ {0} = T}$

takhle ${ displaystyle operatorname {Cone} (T_ {i} to T_ {i-1}) in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}} _ {i})}$. Všimněte si, že je to analogické s filtrací objektu v abelianské kategorii, takže koksování žije v určité podkategorii.

Můžeme to trochu dále specializovat zvážením výjimečných kolekcí objektů, které generují jejich vlastní podkategorie. Objekt ${ displaystyle E}$ v trojúhelníkové kategorii se nazývá výjimečný pokud platí následující vlastnost

${ displaystyle operatorname {Hom} (E, E [+ ell]) = { begin {cases} k & { text {if}} ell = 0 0 & { text {if}} ell neq 0 end {cases}}}$

kde ${ displaystyle k}$ je podkladové pole vektorového prostoru morfismů. Sbírka výjimečných předmětů ${ displaystyle E_ {1}, ldots, E_ {r}}$ je výjimečná kolekce délky ${ displaystyle r}$ pokud pro nějaké ${ displaystyle i> j}$ a jakékoli ${ displaystyle ell}$, my máme

${ displaystyle operatorname {Hom} (E_ {i}, E_ {j} [+ ell]) = 0}$

a je silná výjimečná kolekce pokud navíc pro všechny ${ displaystyle ell neq 0}$ a žádný ${ displaystyle i, j}$, my máme

${ displaystyle operatorname {Hom} (E_ {i}, E_ {j} [+ ell]) = 0}$

Poté můžeme naši trojúhelníkovou kategorii rozložit na semiothogonální rozklad

${ displaystyle { mathcal {T}} = langle { mathcal {T}} ', E_ {1}, ldots, E_ {r} rangle}$

kde ${ displaystyle { mathcal {T}} '= langle E_ {1}, ldots, E_ {r} rangle ^ { perp}}$, podkategorie objektů v ${ displaystyle E in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}})}$ takhle ${ displaystyle operatorname {Hom} (E, E_ {i} [+ ell]) = 0}$. Pokud navíc ${ displaystyle { mathcal {T}} '= 0}$ pak se nazývá silná výjimečná kolekce úplný.

Beilinsonova věta

Beilinson poskytl první příklad plné silné výjimečné sbírky. V odvozené kategorii ${ displaystyle D ^ {b} ( mathbb {P} ^ {n})}$ svazky linek ${ displaystyle { mathcal {O}} (- n), { mathcal {O}} (- n + 1), ldots, { mathcal {O}} (1), { mathcal {O}} }$ tvoří plnou silnou výjimečnou kolekci.^[2] Větu dokazuje ve dvou částech. Nejprve tyto objekty představují výjimečnou kolekci a druhé ukazují úhlopříčku ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { Delta}}$ z ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n} krát mathbb {P} ^ {n}}$ má rozlišení, jehož kompozice jsou tenzory odvolání výjimečných objektů.

Technická lemma

Výjimečná kolekce snopů ${ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, ldots, E_ {r}}$ na ${ displaystyle X}$ je plné, pokud existuje rozlišení

${ displaystyle 0 to p_ {1} ^ {*} E_ {1} další p_ {2} ^ {*} F_ {1} to cdots to p_ {1} ^ {*} E_ {n} otimes p_ {2} ^ {*} F_ {n} do { mathcal {O}} _ { Delta} do 0}$

v ${ displaystyle D ^ {b} (X krát X)}$ kde ${ displaystyle F_ {i}}$ jsou libovolné koherentní snopy ${ displaystyle X}$.

Orlovova věta o rekonstrukci

Li ${ displaystyle X}$ je hladká projektivní odrůda s dostatečným (anti) kanonickým svazkem a existuje ekvivalent odvozených kategorií ${ displaystyle F: D ^ {b} (X) až D ^ {b} (Y)}$, pak existuje izomorfismus základních odrůd.^[3]

Náčrt důkazu

Důkaz začíná analýzou dvou indukovaných funktorů Serre ${ displaystyle D ^ {b} (Y)}$ a najít mezi nimi izmorfismus. Zejména to ukazuje, že existuje objekt ${ displaystyle omega _ {Y} = F ( omega _ {X})}$ který se chová jako dualizační svazek ${ displaystyle Y}$. Izomorfismus mezi těmito dvěma funktory dává izomorfismus množiny podkladových bodů odvozených kategorií. Poté je třeba zkontrolovat ismorfismus ${ displaystyle F ( omega _ {X} ^ { otimes k}) cong omega _ {Y} ^ { otimes k}}$, pro všechny ${ displaystyle k in mathbb {N}}$, což dává izomorfismus kanonických prstenů

${ displaystyle A (X) = bigoplus _ {k = 0} ^ { infty} H ^ {0} (X, omega _ {X} ^ { otimes k}) cong bigoplus _ {k = 0} ^ { infty} H ^ {0} (Y, omega _ {Y} ^ { otimes k})}$

Li ${ displaystyle omega _ {Y}}$ může být prokázáno, že je (anti-) dostatečné, pak projekt těchto prstenů dá izomorfismus ${ displaystyle X až Y}$. Všechny podrobnosti jsou obsaženy v Dolgachevových poznámkách.

Selhání rekonstrukce

Tato věta selže v případě ${ displaystyle X}$ je od té doby Calabi-Yau ${ displaystyle omega _ {X} cong { mathcal {O}} _ {X}}$, nebo je produktem odrůdy, která je Calabi-Yau. Abelianské odrůdy jsou třídou příkladů, kdy by věta o rekonstrukci mohla nikdy držet. Li ${ displaystyle X}$ je abelianská odrůda a ${ displaystyle { hat {X}}}$ je to dvojí, Fourierova – Mukaiova transformace s jádrem ${ displaystyle { mathcal {P}}}$balíček Poincare,^[4] dává rovnocennost

${ displaystyle FM _ { mathcal {P}}: D ^ {b} (X) až D ^ {b} ({ hat {X}})}$

odvozených kategorií. Vzhledem k tomu, že abelianská odrůda obecně není izomorfní se svou duálkou, existují odvozené ekvivalentní odvozené kategorie bez izomorfních základních odrůd.^[5] Existuje alternativní teorie tenzorová trojúhelníková geometrie kde uvažujeme nejen trojúhelníkovou kategorii, ale také monoidní strukturu, tj. tenzorový součin. Tato geometrie má teorém o úplné rekonstrukci využívající spektrum kategorií.^[6]

Ekvivalence na povrchu K3

K3 povrchy jsou další třídou příkladů, kdy rekonstrukce selhala kvůli jejich vlastnostem Calabi-Yau. Existuje kritérium pro určení, zda jsou dva povrchy K3 odvozeny ekvivalentem: odvozená kategorie povrchu K3 ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ je odvozen ekvivalent jiné K3 ${ displaystyle D ^ {b} (Y)}$ právě když existuje Hodgeova izometrie ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z}) až H ^ {2} (Y, mathbb {Z})}$, tj. izomorfismus Hodgeova struktura.^[3] Kromě toho se tato věta odráží také v motivickém světě, kde motivy Chow jsou izomorfní právě tehdy, pokud existuje izometrie Hodgeových struktur.^[7]

Autoekvivalence

Jednou pěknou aplikací důkazu této věty je identifikace autoekvivalencí odvozené kategorie hladké projektivní odrůdy s dostatečným (anti) kanonickým svazkem. To je dáno

${ displaystyle operatorname {Auteq} (D ^ {b} (X)) cong ( operatorname {Pic} (X) rtimes operatorname {Aut} (X)) times mathbb {Z}}$

Kde autoekvivalence ${ displaystyle F}$ je dán automorfismem ${ displaystyle f: X až X}$, pak se tenzoruje pomocí svazku čar ${ displaystyle { mathcal {L}} v operatorname {Pic} (X)}$ a nakonec složil s posunem. Všimněte si, že ${ displaystyle operatorname {Aut} (X)}$ jedná ${ displaystyle operatorname {Pic} (X)}$ přes polarizační mapu, ${ displaystyle g mapsto g ^ {*} (L) otimes L ^ {- 1}}$.^[8]

Vztah s motivy

Omezená odvozená kategorie ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ byl rozsáhle používán v SGA6 ke konstrukci teorie průniku s ${ displaystyle K (X)}$ a ${ displaystyle Gr _ { gamma} K (X) otimes mathbb {Q}}$. Protože tyto objekty jsou důvěrně relativní s Chow prsten z ${ displaystyle X}$, své čau motiv, Orlov položil následující otázku: dostal plně věrného funktora

${ displaystyle F: D ^ {b} (X) až D ^ {b} (Y)}$

existuje indukovaná mapa motivů chow

${ displaystyle f: M (X) až M (Y)}$

takhle ${ displaystyle M (X)}$ je součet ${ displaystyle M (Y)}$?^[9] V případě povrchů K3 byl potvrzen podobný výsledek, protože odvozené ekvivalentní povrchy K3 mají izometrii Hodgeových struktur, což dává izomorfismus motivů.

Odvozená kategorie singularit

U plynulé odrůdy existuje rovnocennost mezi odvozenou kategorií ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ a tlustý^[10][11] plné trojúhelníkové ${ displaystyle D _ { operatorname {perf}} (X)}$ dokonalých komplexů. Pro oddělené, Noetherian schémata konečných Dimenze Krull (volal ELF stav)^[12] není tomu tak a Orlov tuto skutečnost využívá prostřednictvím definice odvozené kategorie singularit. Pro schéma ELF ${ displaystyle X}$ jeho odvozená kategorie singularit je definována jako

${ displaystyle D_ {sg} (X): = D ^ {b} (X) / D _ { text {perf}} (X)}$^[13]

pro vhodnou definici lokalizace trojúhelníkových kategorií.

Konstrukce lokalizace

Ačkoli je lokalizace kategorií definována pro třídu morfismů ${ displaystyle Sigma}$ v kategorii uzavřené ve složení můžeme takovou třídu sestrojit z trojúhelníkové podkategorie. Vzhledem k plné trojúhelníkové podkategorii ${ displaystyle { mathcal {N}} podmnožina { mathcal {T}}}$ třída morfismů ${ displaystyle Sigma ({ mathcal {N}})}$, ${ displaystyle s}$ v ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ kde ${ displaystyle s}$ zapadá do význačného trojúhelníku

${ displaystyle X { xrightarrow {s}} Y až N až X [+1]}$

s ${ displaystyle X, Y v { mathcal {T}}}$ a ${ displaystyle N v { mathcal {N}}}$. Lze ověřit, že toto vytváří multiplikativní systém pomocí oktaedrického axiomu pro rozlišené trojúhelníky. Dáno

${ displaystyle X { xrightarrow {s}} Y { xrightarrow {s '}} Z}$

s rozlišovacími trojúhelníky

${ displaystyle X { xrightarrow {s}} Y až N až X [+1]}$

${ displaystyle Y { xrightarrow {s '}} Z do N' do Y [+1]}$

kde ${ displaystyle N, N ' in { mathcal {N}}}$, pak existují rozlišovací trojúhelníky

${ displaystyle X až Z až M až X [+1]}$

${ displaystyle N až M až N ' až N [+1]}$ kde ${ displaystyle M v { mathcal {N}}}$ od té doby ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ je uzavřen pod příponami. Tato nová kategorie má následující vlastnosti

• Je kanonicky triangulován tam, kde je trojúhelník ${ displaystyle { mathcal {T}} / { mathcal {N}}}$ je rozlišeno, pokud je izomorfní k obrazu trojúhelníku v ${ displaystyle { mathcal {T}}}$
• Kategorie ${ displaystyle { mathcal {T}} / { mathcal {N}}}$ má následující univerzální vlastnost: jakýkoli přesný funktor ${ displaystyle F: { mathcal {T}} na { mathcal {T}} '}$ kde ${ displaystyle F (N) cong 0}$ kde ${ displaystyle N v { mathcal {N}}}$, pak se faktoruje jedinečně prostřednictvím funktoru kvocientu ${ displaystyle Q: { mathcal {T}} do { mathcal {T}} / { mathcal {N}}}$, takže existuje morfismus ${ displaystyle { tilde {F}}: { mathcal {T}} / { mathcal {N}} do { mathcal {T}} '}$ takhle ${ displaystyle { tilde {F}} circ Q simeq F}$.

Vlastnosti kategorie singularity

• Li ${ displaystyle X}$ je pravidelné schéma, pak je každý ohraničený komplex koherentních svazků dokonalý. Proto je kategorie singularity triviální
• Jakýkoli souvislý svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ který má podporu od ${ displaystyle operatorname {Sing} (X)}$ je perfektní. Proto dovnitř netriviální koherentní svazky ${ displaystyle D_ {sg} (X)}$ mít podporu na ${ displaystyle operatorname {Sing} (X)}$.
• Zejména objekty v ${ displaystyle D_ {sg} (X)}$ jsou izomorfní ${ displaystyle { mathcal {F}} [+ k]}$ pro nějaký souvislý svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Modely Landau – Ginzburg

Kontsevich navrhl model pro modely Landau – Ginzburg, který byl vypracován podle následující definice:^[14] A Model Landau – Ginzburg je hladká odrůda ${ displaystyle X}$ spolu s morfismem ${ displaystyle W: X to mathbb {A} ^ {1}}$ který je byt. Existují tři související kategorie, které lze použít k analýze D-bran v modelu Landau-Ginzburg pomocí maticových faktorizací z komutativní algebry.

Přidružené kategorie

S touto definicí existují tři kategorie, které lze přiřadit k jakémukoli bodu ${ displaystyle w_ {0} in mathbb {A} ^ {1}}$, a ${ displaystyle mathbb {Z} / 2}$- hodnocená kategorie ${ displaystyle DG_ {w_ {0}} (W)}$, přesná kategorie ${ displaystyle operatorname {pár} _ {w_ {0}} (W)}$a trojúhelníková kategorie ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$, z nichž každý má objekty

${ displaystyle { overline {P}} = (p_ {1}: P_ {1} až P_ {0}, p_ {0}: P_ {0} až P_ {1})}$ kde ${ displaystyle p_ {0} circ p_ {1}, p_ {1} circ p_ {0}}$ jsou násobením ${ displaystyle W-w_ {0}}$.

K dispozici je také funktor posunu ${ displaystyle [+1]}$ poslat ${ displaystyle { overline {P}}}$ na

${ displaystyle { overline {P}} [+ 1] = (- p_ {0}: P_ {0} až P_ {1}, - p_ {1}: P_ {1} až P_ {0}) }$.

Rozdíl mezi těmito kategoriemi spočívá v jejich definici morfismů. Nejobecnější z nich je ${ displaystyle DG_ {w_ {0}} (W)}$ jejichž morfismy jsou ${ displaystyle mathbb {Z} / 2}$- klasifikovaný komplex

${ displaystyle operatorname {Hom} ({ overline {P}}, { overline {Q}}) = bigoplus _ {i, j} operatorname {Hom} (P_ {i}, Q_ {j}) }$

kde známkování je dáno ${ displaystyle (i-j) { bmod {2}}}$ a diferenciální působení na stupeň ${ displaystyle d}$ homogenní prvky

${ displaystyle Df = q circ f - (- 1) ^ {d} f circ p}$

v ${ displaystyle operatorname {pár} _ {w_ {0}} (W)}$ morfismy jsou míra ${ displaystyle 0}$ morfismy v ${ displaystyle DG_ {w_ {0}} (W)}$. Konečně, ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ má morfismy ${ displaystyle operatorname {pár} _ {w_ {0}} (W)}$ modulovat nulové homotopy. Dále ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ může být vybaven trojúhelníkovou strukturou prostřednictvím odstupňované kuželové konstrukce v ${ displaystyle operatorname {pár} _ {w_ {0}} (W)}$. Dáno ${ displaystyle { overline {f}}: { overline {P}} do { overline {Q}}}$ existuje mapovací kód ${ displaystyle C (f)}$ s mapami

${ displaystyle c_ {1}: Q_ {1} oplus P_ {0} až Q_ {0} oplus P_ {1}}$ kde ${ displaystyle c_ {1} = { begin {bmatrix} q_ {0} & f_ {1} 0 & -p_ {1} end {bmatrix}}}$

a

${ displaystyle c_ {0}: Q_ {0} oplus P_ {1} až Q_ {1} oplus P_ {0}}$ kde ${ displaystyle { displaystyle c_ {0} = { begin {bmatrix} q_ {1} & f_ {0} 0 & -p_ {0} end {bmatrix}}}}$

Potom diagram ${ displaystyle { overline {P}} to { overline {Q}} to { overline {R}} to { overline {P}} [+ 1]}$ v ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ je rozlišovací trojúhelník, pokud je izomorfní s kuželem z ${ displaystyle operatorname {pár} _ {w_ {0}} (W)}$.

Kategorie D-brane

Pomocí konstrukce ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ můžeme definovat kategorii D-bran typu B. ${ displaystyle X}$ se superpotenciálem ${ displaystyle W}$ jako kategorie produktu

${ displaystyle DB (W) = prod _ {w in mathbb {A} _ {1}} DB_ {w_ {0}} (W).}$

To souvisí s kategorií singularity následovně: Vzhledem k superpotenciálu ${ displaystyle W}$ s izolovanými singularitami pouze v ${ displaystyle 0}$, označit ${ displaystyle X_ {0} = W ^ {- 1} (0)}$. Pak existuje přesná rovnocennost kategorií

${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W) cong D_ {sg} (X_ {0})}$

dán funktorem indukovaným z funktoru koksu ${ displaystyle operatorname {Cok}}$ odeslání páru ${ displaystyle { overline {P}} mapsto operatorname {Coker} (p_ {1})}$. Zejména od ${ displaystyle X}$ je pravidelný, Bertiniho věta ukazuje ${ displaystyle DB (W)}$ je pouze konečný produkt kategorií.

Výpočtové nástroje

Knörrerova periodicita

Existuje Fourierova-Mukaiova transformace ${ displaystyle Phi _ {Z}}$ o odvozených kategoriích dvou příbuzných odrůd poskytujících rovnocennost jejich kategorií singularity. Této ekvivalenci se říká Knörrerova periodicita. To lze zkonstruovat následovně: vzhledem k plochému morfismu ${ displaystyle f: X to mathbb {A} ^ {1}}$ ze samostatného pravidelného noetheriánského schématu konečné dimenze Krull existuje související schéma ${ displaystyle Y = X krát mathbb {A} ^ {2}}$ a morfismus ${ displaystyle g: Y to mathbb {A} ^ {1}}$ takhle ${ displaystyle g = f + xy}$ kde ${ displaystyle xy}$ jsou souřadnice ${ displaystyle mathbb {A} ^ {2}}$-faktor. Zvažte vlákna ${ displaystyle X_ {0} = f ^ {- 1} (0)}$, ${ displaystyle Y_ {0} = g ^ {- 1} (0)}$a indukovaný morfismus ${ displaystyle x: Y_ {0} to mathbb {A} ^ {1}}$. A vlákno ${ displaystyle Z = x ^ {- 1} (0)}$. Pak je tu injekce ${ displaystyle i: Z až Y_ {0}}$ a projekce ${ displaystyle q: Z až X_ {0}}$ tvořící ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$- svazek. Fourierova-Mukaiova transformace

${ displaystyle Phi _ {Z} ( cdot) = mathbf {R} i _ {*} q ^ {*} ( cdot)}$

vyvolává rovnocennost kategorií

${ displaystyle D_ {sg} (X_ {0}) až D_ {sg} (Y_ {0})}$

volala Knörrerova periodicita. Existuje další forma této periodicity, kde ${ displaystyle xy}$ je nahrazen polynomem ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$.^[15][16] Tyto věty o periodicitě jsou hlavními výpočetními technikami, protože umožňují redukci v analýze kategorií singularity.

Výpočty

Vezmeme-li model Landau – Ginzburg ${ displaystyle ( mathbb {C} ^ {2k + 1}, W)}$ kde ${ displaystyle W = z_ {0} ^ {n} + z_ {1} ^ {2} + cdots + z_ {2k} ^ {2}}$, pak jediné vlákno singulární vlákno ${ displaystyle W}$ je původ. Potom je kategorie D-brane modelu Landau – Ginzburg ekvivalentní kategorii singularity ${ displaystyle D _ { text {sing}} ( operatorname {Spec} ( mathbb {C} [z] / (z ^ {n})))}$. Přes algebru ${ displaystyle A = mathbb {C} [z] / (z ^ {n})}$ existují nerozložitelné předměty

${ displaystyle V_ {i} = operatorname {Coker} (A { xrightarrow {z ^ {i}}} A) = A / z ^ {i}}$

jejichž morfismy lze zcela pochopit. Pro jakýkoli pár ${ displaystyle i, j}$ existují morfismy ${ displaystyle alpha _ {j} ^ {i}: V_ {i} až V_ {j}}$ kde

• pro ${ displaystyle i geq j}$ to jsou přirozené projekce
• pro ${ displaystyle i$ to jsou násobení ${ displaystyle z ^ {j-i}}$

kde každý další morfismus je složením a lineární kombinací těchto morfismů. Existuje mnoho dalších případů, které lze explicitně vypočítat pomocí tabulky singularit nalezených v Knörrerově původním článku.^[16]

Viz také

• Odvozená kategorie
• Triangulovaná kategorie
• Dokonalý komplex
• Semiortogonální rozklad
• Fourierova – Mukaiova transformace
• Stav stability mostu
• Homologická zrcadlová symetrie
• Poznámky k odvozeným kategoriím - http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/derived9.pdf

Reference