Skupina normalizace matice hustoty - Density matrix renormalization group
Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Července 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
The skupina renormalizace matice hustoty (DMRG) je číselná variační technika navržená k získání nízkoenergetická fyzika z kvantové systémy mnoha těl s vysokou přesností. Jako variační metoda „DMRG je efektivní algoritmus, který se pokouší najít nejnižší energii stav maticového produktu vlnová funkce hamiltoniánu. To bylo vynalezeno v roce 1992 Steven R. White a dnes je to nejúčinnější metoda pro jednorozměrné systémy.[Citace je zapotřebí ]
Myšlenka DMRG
Hlavní problém kvantová fyzika mnoha těl je skutečnost, že Hilbertův prostor roste exponenciálně s velikostí[je třeba další vysvětlení ]. Například a spin-1/2 řetěz délkyL má 2L stupně svobody. DMRG je iterativní, variační metoda, která snižuje účinnost stupně svobody k těm nejdůležitějším pro cílový stát. Cílovým stavem je často základní stav.[nenásledují ]
Po zahřívacím cyklu[je nutná definice ], metoda rozděluje systém na dva subsystémy nebo bloky, které nemusí mít stejnou velikost, a dvě místa mezi nimi. Sada reprezentativní státy byl vybrán pro blok během zahřívání. Tato sada levého bloku + dva weby + pravý blok je známá jako superblok. Nyní lze najít kandidáta na základní stav superbloku, což je zmenšená verze celého systému. Může to mít poněkud špatnou přesnost, ale metoda je iterativní a zlepšuje se pomocí níže uvedených kroků.
Nalezený základní stav kandidáta se promítne do Hilbertův podprostor pro každý blok pomocí a matice hustoty, odtud název. To znamená, že příslušné státy pro každý blok jsou aktualizovány.[je třeba další vysvětlení ]
Nyní jeden z bloků roste na úkor druhého a postup se opakuje. Když rostoucí blok dosáhne maximální velikosti, začne druhý růst na svém místě. Pokaždé, když se vrátíme do původní (stejné velikosti) situace, řekneme, že a zametat bylo dokončeno. Za normálních okolností stačí pár zatahování, abyste získali přesnost dílu v 1010 pro 1D mřížku.
První aplikací DMRG, kterou provedli Steven White a Reinhard Noack, byla a model hračky: najít spektrum a roztočit 0 částic v 1D krabici. Tento model navrhl Kenneth G. Wilson jako test pro všechny nové renormalizační skupina metoda, protože všichni selhali s tímto jednoduchým problémem. DMRG překonal problémy předchozí renormalizační skupina metody spojením dvou bloků se dvěma místy uprostřed, než jen přidáním jednoho místa do bloku v každém kroku, stejně jako pomocí matice hustoty identifikovat nejdůležitější státy, které se budou uchovávat na konci každého kroku. Poté, co uspěl s model hračkybyla úspěšně vyzkoušena metoda DMRG na internetu Heisenbergův model (kvantový).
Průvodce implementací
Praktická implementace algoritmu DMRG je zdlouhavá práce[názor ]. Některé z hlavních výpočetních triků jsou tyto:
- Základní stav superbloku se získá pomocí Lanczosův algoritmus diagonalizace matice. Další možností je Arnoldiho metoda, zejména při práci s neermitskými maticemi.
- Lanczosův algoritmus obvykle začíná nejlepším odhadem řešení. Pokud není k dispozici odhad, je vybrán náhodný vektor. V DMRG je základní stav získaný v určitém DMRG kroku, vhodně transformovaném, rozumným odhadem a funguje tedy výrazně lépe než náhodný výchozí vektor v dalším DMRG kroku.
- V systémech se symetrií můžeme mít konzervovaná kvantová čísla, jako je například celková rotace v a Heisenbergův model (kvantový). Je vhodné najít základní stav v každém ze sektorů, na které je Hilbertův prostor rozdělen.
- Příklad: dmrg Heisenbergova modelu
Aplikace
DMRG byl úspěšně použit k získání nízkoenergetických vlastností spinových řetězců: Isingův model v příčném poli, Heisenbergův model atd., fermionické systémy, jako je Hubbardův model, problémy s nečistotami, jako je Kondo efekt, boson systémy a fyzika kvantové tečky připojil se k kvantové dráty. Bylo také rozšířeno na práci stromové grafy, a našel uplatnění ve studiu dendrimery. Pro 2D systémy s jedním z rozměrů mnohem větším než ostatní DMRG je také přesný a osvědčil se při studiu žebříků.
Metoda byla rozšířena o studium rovnováhy statistická fyzika ve 2D a analyzovat nerovnováha jevy v 1D.
DMRG byl také použit v oblasti Kvantová chemie studovat silně korelované systémy.
Maticový produkt odpovídá
Úspěch DMRG pro systémy 1D souvisí se skutečností, že se jedná o variační metodu v prostoru stavy maticového produktu. Jedná se o stavy formuláře
kde jsou hodnoty např. z- složka rotace v řetězci rotace a Asi jsou matice libovolné dimenzem. Tak jako m → ∞, zobrazení se stane přesným. Tuto teorii odhalili S. Rommer a S. Ostlund v [1].
Rozšíření DMRG
V roce 2004 časově se vyvíjející decimace bloku byla vyvinuta metoda pro implementaci vývoje stavu produktu Matrix v reálném čase. Myšlenka je založena na klasické simulaci a kvantový počítač. Následně byla vyvinuta nová metoda pro výpočet evoluce v reálném čase ve formalizmu DMRG - viz příspěvek A. Feiguina a S.R. Bílý [2].
V posledních letech byly předloženy některé návrhy na rozšíření metody na 2D a 3D, které rozšiřují definici stavů maticových produktů. Viz tento příspěvek F. Verstraete a I. Cirac, [3].
Další čtení
- Originální papír, S. R. White, [4] nebo [5]
- Široký přehled, autor Karen Hallberg, [6].
- Dvě recenze Ulricha Schollwöcka, jedna pojednávající o původní formulaci [7] a další z hlediska stavů maticového produktu [8]
- Ph.D. práce Javiera Rodrígueze Laguny [9].
- Úvod do DMRG a jeho časově závislé rozšíření [10].
- Seznam e-tisků DMRG na arxiv.org [11].
- Recenze článek o DMRG pro ab initio kvantová chemie [12].
- Úvodní video o DMRG pro ab initio kvantová chemie [13].
Související software
- Matrix Product Toolkit: Zdarma GPL sada nástrojů pro manipulaci stavů konečných a nekonečných matic napsaných v C ++ [14]
- Uni10: knihovna implementující četné tenzorové síťové algoritmy (DMRG, TEBD, MERA, PEPS ...) v C ++
- Powder with Power: bezplatná distribuce časově závislého kódu DMRG napsaného v Fortran [15]
- Projekt ALPS: bezplatná distribuce časově nezávislého kódu DMRG a Kvantové Monte Carlo kódy napsané v C ++ [16]
- DMRG ++: bezplatná implementace DMRG napsaná v C ++ [17]
- The ITensor (Intelligent Tensor) Library: bezplatná knihovna pro provádění výpočtů DMRG založených na tenzoru a stavu maticového produktu napsaných v C ++ [18]
- OpenMPS: otevřená implementace DMRG založená na stavech produktu Matrix napsaná v Pythonu / Fortran2003. [19]
- Snake DMRG program: open source DMRG, tDMRG a konečný teplotní DMRG program napsaný v C ++ [20]
- CheMPS2: open source (GPL) spin upravený DMRG kód pro ab initio kvantová chemie napsáno v C ++ [21]
- Blok: open source DMRG framework for quantum chemistry and model Hamiltonians. Podporuje SU (2) a obecné neabelovské symetrie. Napsáno v C ++.