Gerstenhaberova algebra - Gerstenhaber algebra

Murray Gerstenhaber na Oberwolfach v roce 2010

V matematice a teoretická fyzika, a Gerstenhaberova algebra (někdy se tomu říká antibracket algebra nebo copánková algebra) je algebraická struktura objeveno uživatelem Murray Gerstenhaber (1963), který kombinuje struktury a supercommutativní prsten a a klasifikovaná Lieova superalgebra. Používá se v Batalin – Vilkovisky formalismus. Objevuje se také při zevšeobecňování hamiltonovského formalismu známého jako De Donder – Weylova teorie jako algebra zobecněné Poissonovy závorky definované na diferenciálních formách.

Definice

A Gerstenhaberova algebra je klasifikovaná komutativní algebra s a Ležící závorka stupně -1 splňující Poissonova identita. Vše je chápáno tak, aby uspokojilo obvyklé superalgebra podepsat konvence. Přesněji řečeno, algebra má dva produkty, jeden napsaný jako obyčejné násobení a jeden napsaný jako [,], a Z- hodnocení volalo stupeň (v teoretické fyzice se někdy nazývá duchové číslo). The stupeň prvku A je označen |A|. To uspokojuje totožnost

• |ab| = |A| + |b| (Produkt má stupeň 0)
• |[A,b]| = |A| + |b| - 1 (Ložní závorka má stupeň -1)
• (ab)C = A(před naším letopočtem) (Produkt je asociativní)
• ab = (−1)^|A||b|ba (Produkt je (super) komutativní)
• [A,před naším letopočtem] = [A,b]C + (−1)^(|A|-1)|b|b[A,C] (Poissonova identita)
• [A,b] = −(−1)^{(|A|-1)(|b|-1)} [b,A] (Antisymmetry of Lie bracket)
• [A,[b,C]] = [[A,b],C] + (−1)^{(|A|-1)(|b|-1)}[b,[A,C]] (Jacobiho identita pro Lieův držák)

Gerstenhaberovy algebry se liší od Poissonovy superalgebry v tom, že Lieova závorka má spíše stupeň -1 než stupeň 0. Jacobiho identitu lze také vyjádřit v symetrické formě

${ displaystyle (-1) ^ {(| a | -1) (| c | -1)} [a, [b, c]] + (- 1) ^ {(| b | -1) (| a | -1)} [b, [c, a]] + (- 1) ^ {(| c | -1) (| b | -1)} [c, [a, b]] = 0. , }$

Příklady

• Gerstenhaber ukázal, že Hochschildova kohomologie H^*(A,A) algebry A je Gerstenhaberova algebra.
• A Batalin – Vilkovisky algebra má základní Gerstenhaberovu algebru, pokud zapomene na operátor Δ druhého řádu.
• The vnější algebra a Lež algebra je Gerstenhaberova algebra.
• Diferenciální formy na a Poissonovo potrubí tvoří Gerstenhaberovu algebru.
• Multivektorová pole na a potrubí tvoří Gerstenhaberovu algebru pomocí Držák Schouten – Nijenhuis

Reference

• Gerstenhaber, Murray (1963). "Cohomologická struktura asociativního kruhu". Annals of Mathematics. 78 (2): 267–288. doi:10.2307/1970343. JSTOR  1970343.
• Getzler, Ezra (1994). „Batalin-Vilkovisky algebry a dvourozměrné topologické teorie pole“. Komunikace v matematické fyzice. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th / 9212043. Bibcode:1994CMaPh.159..265G. doi:10.1007 / BF02102639.
• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2001) [1994], „Poissonova algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Kanatchikov, Igor V. (1997). "Polní teoretické zobecnění Poissonovy algebry". Zprávy z matematické fyziky. 40 (2): 225–234. arXiv:hep-th / 9710069. Bibcode:1997RpMP ... 40..225K. doi:10.1016 / S0034-4877 (97) 85919-8.