K-graf C * -algebra - K-graph C*-algebra

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek pravděpodobně potřebuje reorganizaci, aby vyhověla požadavkům Wikipedie pokyny pro rozložení. Pomozte prosím editaci článku vylepšit celkovou strukturu. (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Prosím, pomoz nám objasnit článek. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Květen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a k-graf (nebo vyšší hodnost graf, graf hodnosti k) je a počitatelný kategorie ${ displaystyle Lambda}$ s doména a codomain mapy ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle s}$, společně s a funktor ${ displaystyle d: Lambda to mathbb {N} ^ {k}}$ který splňuje následující faktorizace vlastnost: pokud ${ displaystyle d ( lambda) = m + n}$ pak jsou jedinečné ${ displaystyle mu, nu in Lambda}$ s ${ displaystyle d ( mu) = m, d ( nu) = n}$ takhle ${ displaystyle lambda = mu nu}$.

Kromě definice teorie kategorie si můžeme k-grafy představit jako trojrozměrný analog řízených grafů (digrafů). k- zde označuje počet „barev“ hran, které jsou zahrnuty v grafu. Pokud k = 1, k-graf je pouze běžný směrovaný graf. Pokud k = 2, jsou v grafu zahrnuty dvě různé barvy hran a měla by být definována další faktorizační pravidla dvoubarevných ekvivalentních tříd. Pravidlo faktorizace na kostře k-grafu odlišuje jeden k-graf definovaný na stejné kostře od jiného k-grafu. k- může být jakékoli přirozené číslo větší nebo rovné 1.

Důvod, proč k-grafy poprvé představili Kumjian, Pask et. al. bylo vytvořit z nich příklady C * -algebry. k-grafy se skládají ze dvou částí: kostry a faktorizačních pravidel definovaných na dané kostře. Jakmile je k-graf dobře definovaný, lze na každém grafu definovat funkce zvané 2 -cykly a C * -algebry lze sestavit z k-grafů a 2 -cyklů. k-grafy jsou z hlediska teorie grafů relativně snadno pochopitelné, přesto jsou dostatečně komplikované, aby odhalily různé zajímavé vlastnosti na úrovni C * -algebry. Vlastnosti, jako je homotopie a cohomologie na 2-cyklech definovaných na k-grafech, mají důsledky pro výzkumné úsilí C * -algebra a K-teorie. Žádné další známé použití k-grafů neexistuje dodnes. k-grafy jsou studovány pouze za účelem vytvoření C * -algebry z nich.

Pozadí

Teorie konečných grafů v řízeném grafu tvoří zřetězení matematickou kategorii nazvanou kategorie volných objektů (která je generována grafem). Délka cesty v ${ displaystyle E}$ dává afunctor z této kategorie do přirozená čísla ${ displaystyle mathbb {N}}$.A k-graf je přirozeným zobecněním tohoto konceptu, který v roce 2000 představili Alex Kumjian a David Pask.^[1]

Příklady

• Je možné ukázat, že 1-graf je přesně kategorií cesty směrovaného grafu.
• Kategorie ${ displaystyle T ^ {k}}$ skládající se z jediného objektu a k dojíždění morfismů ${ displaystyle {f_ {1}, ..., f_ {k}}}$, spolu s mapou ${ displaystyle d: T ^ {k} to mathbb {N} ^ {k}}$ definovaný ${ displaystyle d (f_ {1} ^ {n_ {1}} ... f_ {k} ^ {n_ {k}}) = (n_ {1}, ldots, n_ {k})}$, je k-graf.
• Nechat ${ displaystyle Omega _ {k} = {(m, n): m, n in mathbb {Z} ^ {k}, m leq n }}$ pak ${ displaystyle Omega _ {k}}$ je k-graf, pokud je obdarován strukturálními mapami ${ displaystyle r (m, n) = (m, m)}$, ${ displaystyle s (m, n) = (n, n)}$, ${ displaystyle (m, n) (n, p) = (m, p)}$ a ${ displaystyle d (m, n) = n-m}$.

Zápis

Zápis pro k-grafy je vypůjčen značně z odpovídajícího zápisu pro kategorie:

• Pro ${ displaystyle n in mathbb {N} ^ {k}}$ nechat ${ displaystyle Lambda ^ {n} = d ^ {- 1} (n)}$.
• Z faktorizační vlastnosti z toho vyplývá ${ displaystyle Lambda ^ {0} = operatorname {Obj} ( Lambda)}$.
• Pro ${ displaystyle v, w in Lambda ^ {0}}$ a ${ displaystyle X subseteq Lambda}$ my máme ${ displaystyle vX = { lambda v X: r ( lambda) = v }}$, ${ displaystyle Xw = { lambda v X: s ( lambda) = w }}$ a ${ displaystyle vXw = vX cap Xw}$.
• Li ${ displaystyle 0 < # v Lambda ^ {n} < infty}$ pro všechny ${ displaystyle v in Lambda ^ {0}}$ a ${ displaystyle n in mathbb {N} ^ {k}}$ pak ${ displaystyle Lambda}$ se říká, že je řádově konečný bez zdrojů.

Vizualizace - kostry

K-graf je nejlépe vizualizovat nakreslením jeho 1-kostry jako a k-barevný graf ${ displaystyle E = (E ^ {0}, E ^ {1}, r, s, c)}$ kde${ displaystyle E ^ {0} = Lambda ^ {0}}$, ${ displaystyle E ^ {1} = pohár _ {i = 1} ^ {k} Lambda ^ {e_ {i}}}$, ${ displaystyle r, s}$ zděděno ${ displaystyle Lambda}$a ${ displaystyle c: E ^ {1} až {1, ldots, k }}$ definován ${ displaystyle c (e) = i}$kdyby a jen kdyby ${ displaystyle e in Lambda ^ {e_ {i}}}$ kde ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$ jsou kanonické generátory pro ${ displaystyle mathbb {N} ^ {k}}$. Faktorizační vlastnost v ${ displaystyle Lambda}$ pro prvky stupně ${ displaystyle e_ {i} + e_ {j}}$ kde ${ displaystyle i neq j}$ dává vzniknout vztahům mezi okraji${ displaystyle E}$.

C * -algebra

Stejně jako u grafových algeber lze jeden spojit C * -algebru s k-grafem:

Nechat ${ displaystyle Lambda}$ být řádkově konečný k-graf bez zdrojů, pak a Cuntz – Krieger ${ displaystyle Lambda}$ rodina v C * -algebra B je kolekce ${ displaystyle {s _ { lambda}: lambda v Lambda }}$ z operátory v B takové, že

1. ${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu} = s _ { lambda mu}}$ -li ${ displaystyle lambda, mu, lambda mu v lambda}$;
2. ${ displaystyle {s_ {v}: v in Lambda ^ {0} }}$ jsou vzájemně kolmé projekce;
3. -li ${ displaystyle d ( mu) = d ( nu)}$ pak ${ displaystyle s _ { mu} ^ {*} s _ { nu} = delta _ { mu, nu} s_ {s ( mu)}}$;
4. ${ displaystyle s_ {v} = součet _ { lambda ve v Lambda ^ {n}} s _ { lambda} s _ { lambda} ^ {*}}$ pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {N} ^ {k}}$ a ${ displaystyle v in Lambda ^ {0}}$.

${ displaystyle C ^ {*} ( Lambda)}$ je pak univerzální C * -algebra generovaná Cuntz – Kriegerem ${ displaystyle Lambda}$-rodina.

Reference

• Raeburn, I., Grafové algebry, CBMS Regionální konferenční seriál z matematiky, 103, Americká matematická společnost