Graf C * -algebra - Graph C*-algebra

v matematika, a graf C * -algebra je univerzální C * -algebra vyrobeno z a řízený graf. Graph C * -algebry jsou přímé zobecnění Cuntzovy algebry a Cuntz-Kriegerovy algebry, ale bylo prokázáno, že třída grafu C * -algebry zahrnuje také několik dalších široce studovaných tříd C * -algeber. Výsledkem je, že grafy C * -algebry poskytují společný rámec pro zkoumání mnoha známých tříd C * -algeber, které byly dříve studovány samostatně. Mezi další výhody to poskytuje kontext, ve kterém lze formulovat věty, které platí současně pro všechny tyto podtřídy, a obsahují konkrétní výsledky pro každou podtřídu jako speciální případy.

Ačkoli graf C * -algebry obsahují četné příklady, poskytují třídu C * -algeber, které jsou překvapivě přístupné ke studiu a mnohem lépe zvládnutelné než obecné C * -algebry. Graf nejen určuje přidruženou C * -algebru zadáním vztahů pro generátory, ale také poskytuje užitečný nástroj pro popis a vizualizaci vlastností C * -algebry. Tato vizuální kvalita vedla k tomu, že grafy C * -algebry byly označovány jako „operátorové algebry, které můžeme vidět.“^[1][2] Další výhodou grafů C * -algebras je, že velkou část jejich struktury a mnoho jejich invariants lze snadno vypočítat. Pomocí dat pocházejících z grafu lze určit, zda má přidružená C * -algebra určité vlastnosti, popsat mřížku ideálů a vypočítat K-teoretické invarianty.

Terminologie grafů

Terminologie pro grafy používané C * -algebraisty se mírně liší od terminologie používané teoretiky grafů. Termín graf se obvykle rozumí a řízený graf ${ displaystyle E = (E ^ {0}, E ^ {1}, r, s)}$ skládající se z počitatelné sady vrcholů ${ displaystyle E ^ {0}}$, spočetná sada hran ${ displaystyle E ^ {1}}$a mapy ${ displaystyle r, s: E ^ {1} rightarrow E ^ {0}}$ identifikace rozsahu a zdroje každé hrany. Vrchol ${ displaystyle v v E ^ {0}}$ se nazývá a dřez když ${ displaystyle s ^ {- 1} (v) = emptyset}$; tj. v něm nejsou žádné hrany ${ displaystyle E}$ se zdrojem ${ displaystyle v}$. Vrchol ${ displaystyle v v E ^ {0}}$ se nazývá nekonečný emitor když ${ displaystyle s ^ {- 1} (v)}$ je nekonečný; tj. v něm je nekonečně mnoho hran ${ displaystyle E}$ se zdrojem ${ displaystyle v}$. Vrchol se nazývá a singulární vrchol pokud je to buď umyvadlo, nebo nekonečný emitor a vrchol se nazývá a pravidelný vrchol pokud to není singulární vrchol. Všimněte si, že vrchol ${ displaystyle v}$ je normální, právě když je počet hran v ${ displaystyle E}$ se zdrojem ${ displaystyle v}$ je konečný a nenulový. Nazývá se graf řádek-konečný pokud nemá žádné nekonečné zářiče; tj. pokud je každý vrchol buď běžným vrcholem, nebo dřezem.

A cesta je konečná posloupnost hran ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ s ${ displaystyle r (e_ {i}) = s (e_ {i + 1})}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq i leq n-1}$. An nekonečná cesta je nespočetně nekonečná posloupnost hran ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots}$ s ${ displaystyle r (e_ {i}) = s (e_ {i + 1})}$ pro všechny ${ displaystyle i in mathbb {N}}$. A cyklus je cesta ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ s ${ displaystyle r (e_ {n}) = s (e_ {1})}$a výstup na cyklus ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ je hrana ${ displaystyle f v E ^ {1}}$ takhle ${ displaystyle s (f) = s (e_ {i})}$ a ${ displaystyle f neq e_ {i}}$ pro některé ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$. Cyklus ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ se nazývá a jednoduchý cyklus -li ${ displaystyle s (e_ {i}) neq s (e_ {1})}$ pro všechny ${ displaystyle 2 leq i leq n}$.

Následují dvě důležité podmínky grafu, které vznikají při studiu grafů C * -algebry.

Stav (L): Každý cyklus v grafu má opuštění.

Podmínka (K): V grafu není žádný vrchol, který by byl právě na jednom jednoduchém cyklu. Ekvivalentně graf splňuje podmínku (K) tehdy a jen tehdy, pokud každý vrchol v grafu není na žádných cyklech nebo na dvou nebo více jednoduchých cyklech.

Cuntz-Kriegerovy vztahy a univerzální vlastnictví

A Cuntz-Krieger ${ displaystyle E}$-rodina je sbírka ${ displaystyle {s_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ v C * -algebře takové, že prvky ${ displaystyle {s_ {e}: e v E ^ {1} }}$ jsou dílčí izometrie se vzájemně ortogonálními rozsahy prvky prvku ${ displaystyle {p_ {v}: v v E ^ {0} }}$ jsou vzájemně ortogonální projekce a následující tři vztahy (tzv Cuntz-Kriegerovy vztahy) jsou spokojeni:

1. (CK1) ${ displaystyle s_ {e} ^ {*} s_ {e} = p_ {r (e)}}$ pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$,
2. (CK2) ${ displaystyle p_ {v} = součet _ {s (e) = v} s_ {e} s_ {e} ^ {*}}$ kdykoli ${ displaystyle v}$ je pravidelný vrchol a
3. (CK3) ${ displaystyle s_ {e} s_ {e} ^ {*} leq p_ {s (e)}}$ pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$.

Graf C * -algebra odpovídá ${ displaystyle E}$, označeno ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$, je definována jako C * -algebra generovaná Cuntz-Kriegerem ${ displaystyle E}$- to je rodina univerzální v tom smyslu, že kdykoli ${ displaystyle {t_ {e}, q_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ je Cuntz-Krieger ${ displaystyle E}$-rodina v C * -algebře ${ displaystyle A}$ existuje a ${ displaystyle *}$-homomorfismus ${ displaystyle phi: C ^ {*} (E) do A}$ s ${ displaystyle phi (s_ {e}) = t_ {e}}$ pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$ a ${ displaystyle phi (p_ {v}) = q_ {v}}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$. Existence ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ pro jakýkoli graf ${ displaystyle E}$ založili Kumjian, Pask a Raeburn.^[3] Jedinečnost ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ (až do ${ displaystyle *}$-izomorfismus) vyplývá přímo z univerzální vlastnosti.

Konvence směru hran

Je důležité si uvědomit, že ve vztahu Cuntz-Krieger existují konkurenční konvence týkající se „směrování hran“. V celém tomto článku a způsobem, jakým jsou vztahy uvedeny výše, používáme konvenci nejprve zavedenou v seminárních pracích v grafu C * -algebry.^[3][4] Alternativní konvence, která se používá v Raeburnově knize CBMS o Graph Algebras,^[5] zaměňuje role mapy rozsahu ${ displaystyle r}$ a zdrojová mapa ${ displaystyle s}$ ve vztazích Cuntz-Krieger. Účinek této změny je, že C * -algebra grafu pro jednu konvenci se rovná C * -algebře grafu s hranami obrácenými při použití druhé konvence.

Řádkové konečné grafy

Ve vztazích Cuntz-Krieger je (CK2) uložen pouze na pravidelné vrcholy. Navíc pokud ${ displaystyle v v E ^ {0}}$ je pravidelný vrchol, pak (CK2) znamená, že (CK3) platí ${ displaystyle v}$. Kromě toho, pokud ${ displaystyle v v E ^ {0}}$ je umyvadlo, pak (CK3) vakuově drží na ${ displaystyle v}$. Pokud tedy ${ displaystyle E}$ je řádek-konečný graf, relace (CK3) je nadbytečná a sbírka ${ displaystyle {s_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ částečných izometrií se vzájemně ortogonálními rozsahy a vzájemně ortogonálními projekcemi je Cuntz-Krieger ${ displaystyle E}$-rodina právě tehdy, když relace v (CK1) drží na všech hranách v ${ displaystyle E}$ a vztah v (CK2) platí pro všechny vrcholy v ${ displaystyle E}$ to nejsou umyvadla. Skutečnost, že Cuntz-Kriegerovy vztahy mají jednodušší formu pro řádkové konečné grafy, má technické důsledky pro mnoho výsledků v předmětu. Nejen, že jsou výsledky snadněji prokazatelné v případě řádku-konečné, ale také výroky vět jsou zjednodušeny při popisu C * -algebry řádkových konečných grafů. Historicky byla velká část rané práce na grafu C * -algebry provedena výhradně v případě řady-konečných. Dokonce i v moderní práci, kde jsou povoleny nekonečné emitory a jsou brány v úvahu C * -algebry obecných grafů, je běžné uvést řádkový konečný případ věty samostatně nebo jako důsledek, protože výsledky jsou v tomto případě často intuitivnější a transparentnější situace.

Příklady

Graf C * -algebra byl vypočítán pro mnoho grafů. Naopak pro určité třídy C * -algebry se ukázalo, jak sestrojit graf, jehož C * -algebra je ${ displaystyle *}$-izomorfní nebo Morita ekvivalent k dané C * -algebře dané třídy.

Následující tabulka ukazuje řadu směrovaných grafů a jejich C * -algebr. Používáme konvenci, že dvojitá šipka nakreslená z jednoho vrcholu do druhého a označená ${ displaystyle infty}$ označuje, že od prvního vrcholu k druhému existuje nespočetně mnoho hran.

Směrovaný graf ${ displaystyle E}$	Graf C * -algebra ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$
	${ displaystyle mathbb {C}}$, komplexní čísla
	${ displaystyle C ( mathbb {T})}$, komplexní spojité funkce na kruh ${ displaystyle mathbb {T}}$
	${ displaystyle M_ {n} ( mathbb {C})}$, ${ displaystyle n krát n}$ matice s položkami v ${ displaystyle mathbb {C}}$
	${ displaystyle { mathcal {K}}}$, kompaktní operátory na oddělitelném nekonečně diemnsionálním Hilbertově prostoru
	${ displaystyle M_ {n} (C ( mathbb {T}))}$, ${ displaystyle n krát n}$ matice s položkami v ${ displaystyle C ( mathbb {T})}$
	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$, Cuntzova algebra generováno uživatelem ${ displaystyle n}$ izometrie
	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { infty}}$, Cuntzova algebra generovaná spočítatelným nekonečným počtem izometrií
	${ displaystyle { mathcal {K}} ^ {1}}$, sjednocení algebry kompaktních operátorů ${ displaystyle { mathcal {K}}}$
	${ displaystyle { mathcal {T}}}$, Toeplitzova algebra

Ukázalo se, že třída grafu C * -algebry obsahuje různé třídy C * -algeber. C * -algebry v každé z následujících tříd mohou být realizovány jako graf C * -algebry až ${ displaystyle *}$-izomorfismus:

• Cuntzovy algebry
• Cuntz-Kriegerovy algebry
• konečně-rozměrné C * -algebry
• stabilní AF algebry

C * -algebry v každé z následujících tříd mohou být realizovány jako graf C * -algebry až do Morita ekvivalence:

• Algebry AF^[6]
• Kirchbergovy algebry s volným K.₁-skupina

Korespondence mezi grafem a C * -algebraickými vlastnostmi

Jedním z pozoruhodných aspektů grafu C * -algebry je ten graf ${ displaystyle E}$ nejen popisuje vztahy pro generátory ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$, ale také různé graficko-teoretické vlastnosti ${ displaystyle E}$ lze ukázat jako ekvivalent k C * -algebraickým vlastnostem ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$. Opravdu, hodně ze studia grafu C * -algebras je zaujatý vyvíjením lexikonu pro korespondenci mezi těmito vlastnostmi a ustavením vět formy ${ displaystyle E}$ má určitou graficko-teoretickou vlastnost právě tehdy, když C * -algebra ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ má odpovídající C * -algebraickou vlastnost. “Následující tabulka poskytuje krátký seznam některých známějších ekvivalentů.

Majetek ${ displaystyle E}$	Majetek ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$
${ displaystyle E}$ je konečný graf.	${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je konečný rozměr.
Sada vrcholů ${ displaystyle E ^ {0}}$ je konečný.	${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je unital (tj. ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ obsahuje multiplikativní identitu).
${ displaystyle E}$ nemá žádné cykly.	${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je algebra AF.
${ displaystyle E}$ splňuje následující tři vlastnosti: Stav (L), pro každý vrchol ${ displaystyle v}$ a každá nekonečná cesta ${ displaystyle alpha}$ existuje směrovaná cesta z ${ displaystyle v}$ na vrchol ${ displaystyle alpha}$, a pro každý vrchol ${ displaystyle v}$ a každý singulární vrchol ${ displaystyle w}$ existuje směrovaná cesta z ${ displaystyle v}$ na ${ displaystyle w}$	${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je jednoduchý.
${ displaystyle E}$ splňuje následující tři vlastnosti: Stav (L), pro každý vrchol ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle E}$ existuje cesta z ${ displaystyle v}$ do cyklu.	Každá dědičná subalgebra ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ obsahuje nekonečnou projekci. (Když ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je jednoduché toto je ekvivalentní ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ být čistě nekonečný.)

Akce měřidla

Univerzální vlastnost vytváří přirozené působení skupiny kruhů ${ displaystyle mathbb {T}: = {z v mathbb {C}: | z | = 1 }}$ na ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ takto: Pokud ${ displaystyle {s_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ je univerzální Cuntz-Krieger ${ displaystyle E}$-rodina, pak pro jakékoli unimodulární komplexní číslo ${ displaystyle z in mathbb {T}}$, sbírka ${ displaystyle {zs_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ je Cuntz-Krieger ${ displaystyle E}$-rodina a univerzální vlastnost ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ znamená, že existuje a ${ displaystyle *}$-homomorfismus ${ displaystyle gamma _ {z}: C ^ {*} (E) až C ^ {*} (E)}$ s ${ displaystyle gamma _ {z} (s_ {e}) = zs_ {e}}$ pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$ a ${ displaystyle gamma _ {z} (p_ {v}) = p_ {v}}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$. Pro každého ${ displaystyle z in mathbb {T}}$ the ${ displaystyle *}$-homomorfismus ${ displaystyle gamma _ { overline {z}}}$ je inverzní pro ${ displaystyle gamma _ {z}}$, a tudíž ${ displaystyle gamma _ {z}}$ je automorfismus. Tím se získá silně nepřetržitá akce ${ displaystyle gamma: mathbb {T} na operatorname {Aut} C ^ {*} (E)}$ definováním ${ displaystyle gamma (z): = gamma _ {z}}$. Akce měřidla ${ displaystyle gamma}$ se někdy nazývá akce kanonického měřidla na ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$. Je důležité si uvědomit, že akce kanonického měřidla závisí na výběru generujícího Cuntz-Kriegera ${ displaystyle E}$-rodina ${ displaystyle {s_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$. Akce kanonického měřidla je základním nástrojem při studiu ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$. Objevuje se ve větách a je také používán v zákulisí jako technické zařízení v důkazech.

Věty o jedinečnosti

Pro graf C * -algebry existují dvě známé věty o jedinečnosti: věta o jedinečnosti měřidla a věta o jedinečnosti Cuntz-Krieger. Věty jedinečnosti jsou základními výsledky při studiu grafů C * -algebry a slouží jako základní kameny teorie. Každý poskytuje dostatečné podmínky pro a ${ displaystyle *}$-homomorfismus z ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ do C * -algebry být injekční. V důsledku toho lze věty o jedinečnosti použít k určení, kdy C * -algebra generovaná Cuntz-Kriegerem ${ displaystyle E}$-rodina je isomorfní s ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$; zejména pokud ${ displaystyle A}$ je C * -algebra generovaná Cuntz-Kriegerem ${ displaystyle E}$-rodina, univerzální vlastnost ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ vytváří surjektiv ${ displaystyle *}$-homomorfismus ${ displaystyle phi: C ^ {*} (E) do A}$a věty o jedinečnosti poskytují podmínky, za kterých ${ displaystyle phi}$ je injekční, a tudíž izomorfismus. Formální prohlášení o větách jedinečnosti jsou následující:

Věta o jedinečnosti měřidla: Nechat ${ displaystyle E}$ být graf, a nechť ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ být přidružený graf C * -algebra. Li ${ displaystyle A}$ je C * -algebra a ${ displaystyle phi: C ^ {*} (E) do A}$ je ${ displaystyle *}$-homomorfismus splňující následující dvě podmínky:

1. existuje akce měřidla ${ displaystyle beta: mathbb {T} na operatorname {Aut} A}$ takhle ${ displaystyle phi circ beta _ {z} = gamma _ {z} circ phi}$ pro všechny ${ displaystyle z in mathbb {T}}$, kde ${ displaystyle gamma}$ označuje akci kanonického měřidla na ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$, a
2. ${ displaystyle phi (p_ {v}) neq 0}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$,

pak ${ displaystyle phi}$ je injekční.

Cuntz-Kriegerova věta o jedinečnosti: Nechat ${ displaystyle E}$ být grafem splňujícím podmínku (L) a nechat ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ být přidružený graf C * -algebra. Li ${ displaystyle A}$ je C * -algebra a ${ displaystyle phi: C ^ {*} (E) do A}$ je ${ displaystyle *}$-homomorfismus s ${ displaystyle phi (p_ {v}) neq 0}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$, pak ${ displaystyle phi}$ je injekční.

Věta o jedinečnosti měřidla znamená, že pokud ${ displaystyle {s_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ je Cuntz-Krieger ${ displaystyle E}$-rodina s nenulovými projekcemi a existuje měřicí akce ${ displaystyle beta}$ s ${ displaystyle beta _ {z} (p_ {v}) = p_ {v}}$ a ${ displaystyle beta _ {z} (s_ {e}) = zs_ {e}}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$, ${ displaystyle e v E ^ {1}}$, a ${ displaystyle z in mathbb {T}}$, pak ${ displaystyle {s_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ generuje izomorfní C * -algebra ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$. Cuntz-Kriegerova věta o jedinečnosti ukazuje, že když graf splňuje podmínku (L), je existence měřidla zbytečná; pokud graf ${ displaystyle E}$ splňuje podmínku (L), pak kterýkoli Cuntz-Krieger ${ displaystyle E}$-rodina s nenulovými projekcemi generuje izomorfní C * -algebru ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$.

Ideální struktura

Ideální struktura ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ lze určit z ${ displaystyle E}$. Podmnožina vrcholů ${ displaystyle H subseteq E ^ {0}}$ je nazýván dědičný pokud pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$, ${ displaystyle s (e) v H}$ naznačuje ${ displaystyle r (e) v H}$. Dědičná podmnožina ${ displaystyle H}$ je nazýván nasycený pokud kdykoli ${ displaystyle v}$ je pravidelný vrchol s ${ displaystyle s ^ {- 1} (v) subseteq H}$, pak ${ displaystyle v v H}$. Nasycené dědičné podskupiny ${ displaystyle E}$ jsou částečně seřazené podle zařazení a tvoří mřížku se setkáním ${ displaystyle H_ {1} klín H_ {2}: = H_ {1} čepice H_ {2}}$ a připojit se ${ displaystyle H_ {1} vee H_ {2}}$ definována jako nejmenší nasycená dědičná podmnožina obsahující ${ displaystyle H_ {1} pohár H_ {2}}$.

Li ${ displaystyle H}$ je nasycená dědičná podmnožina, ${ displaystyle I_ {H}}$ je definován jako uzavřený oboustranný ideál v ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ generováno uživatelem ${ displaystyle {p_ {v}: v v H }}$. Uzavřený oboustranný ideál ${ displaystyle I}$ z ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je nazýván měřidlo neměnné -li ${ displaystyle gamma _ {z} (a) v C ^ {*} (E)}$ pro všechny ${ displaystyle a v I}$ a ${ displaystyle z in mathbb {T}}$. Ideály měřicího invariantu jsou částečně uspořádány začleněním a tvoří mřížku se setkáním ${ displaystyle I_ {1} klín I_ {2}: = I_ {1} čepice I_ {2}}$ a kloub ${ displaystyle I_ {1} vee I_ {2}}$ definován jako ideál generovaný ${ displaystyle I_ {1} pohár I_ {2}}$. Pro jakoukoli nasycenou dědičnou podmnožinu ${ displaystyle H}$, ideál ${ displaystyle I_ {H}}$ je měřidlo neměnné.

Následující věta ukazuje, že ideály invariantního rozměru odpovídají nasyceným dědičným podmnožinám.

Teorém: Nechat ${ displaystyle E}$ být řádkově konečný graf. Pak platí následující:

1. Funkce ${ displaystyle H mapsto I_ {H}}$ je mřížkový izomorfismus z mřížky nasycených dědičných podskupin ${ displaystyle E}$ na mřížku invariantních ideálů měřidla ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ s inverzí danou ${ displaystyle I mapsto {v v E ^ {0}: p_ {v} v I }}$.
2. Pro jakoukoli nasycenou dědičnou podmnožinu ${ displaystyle H}$kvocient ${ displaystyle C ^ {*} (E) / I_ {H}}$ je ${ displaystyle *}$-izomorfní až ${ displaystyle C ^ {*} (E setminus H)}$, kde ${ displaystyle E setminus H}$ je podgrafem ${ displaystyle E}$ se sadou vrcholů ${ displaystyle (E setminus H) ^ {0}: = E ^ {0} setminus H}$ a okrajová sada ${ displaystyle (E setminus H) ^ {1}: = E ^ {1} setminus r ^ {- 1} (H)}$.
3. Pro jakoukoli nasycenou dědičnou podmnožinu ${ displaystyle H}$, ideál ${ displaystyle I_ {H}}$ je Morita ekvivalentní ${ displaystyle C ^ {*} (E_ {H})}$, kde ${ displaystyle E_ {H}}$ je podgrafem ${ displaystyle E}$ se sadou vrcholů ${ displaystyle E_ {H} ^ {0}: = H}$ a okrajová sada ${ displaystyle E_ {H} ^ {1}: = s ^ {- 1} (H)}$.
4. Li ${ displaystyle E}$ splňuje podmínku (K), pak každý ideál ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je měřidlo neměnné a ideály ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ jsou v korespondenci jedna k jedné s nasycenými dědičnými podmnožinami ${ displaystyle E}$.

Desingularizace

The Drinen-Tomforde Desingularizace, často jednoduše volal desingularizace, je technika používaná k rozšíření výsledků pro C * -algebry řádkových konečných grafů na C * -algebry spočetných grafů. Li ${ displaystyle E}$ je graf, desingularizace ${ displaystyle E}$ je řádek-konečný graf ${ displaystyle F}$ takhle ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je Morita rovnocenná ${ displaystyle C ^ {*} (F)}$.^[7] Drinen a Tomforde popsali metodu pro konstrukci desingularizace z libovolného počítatelného grafu: If ${ displaystyle E}$ je spočetný graf, pak pro každý vrchol ${ displaystyle v_ {0}}$ který vyzařuje nekonečný počet hran, nejprve si vybere seznam odchozích hran jako ${ displaystyle s ^ {- 1} (v_ {0}) = {e_ {0}, e_ {1}, e_ {2}, ldots }}$, jeden další připojí a ocas formuláře

na ${ displaystyle E}$ na ${ displaystyle v_ {0}}$a nakonec jeden vymaže okraje ${ displaystyle e_ {0}, e_ {1}, e_ {2}, ldots}$ z grafu a přerozděluje každý podél ocasu nakreslením nové hrany ${ displaystyle f_ {i}}$ z ${ displaystyle v_ {i}}$ na ${ displaystyle r (e_ {i})}$ pro každého ${ displaystyle i = 0,1,2, ldots}$.

Zde je několik příkladů, které čtenáři pomohou porozumět této konstrukci. U prvního příkladu si všimněte, že pokud ${ displaystyle E}$ je graf

pak desingularizace ${ displaystyle F}$ je dáno grafem

U druhého příkladu předpokládejme ${ displaystyle E}$ je ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { infty}}$ graf s jedním vrcholem a nespočetným množstvím okrajů, z nichž každý začíná a končí tímto vrcholem. Pak desingularizace ${ displaystyle F}$ je dáno grafem

Desingularizace se stala standardním nástrojem v teorii grafů C * -algebras,^[8] a může zjednodušit důkazy o výsledcích tím, že umožní člověku nejprve prokázat výsledek v (obvykle mnohem jednodušším) případě řádkové konečnosti a poté výsledek rozšířit na spočetné grafy pomocí desingularizace, často s malým dodatečným úsilím.

Technika desingularizace nemusí fungovat u grafů obsahujících vrchol, který vydává nespočetné množství hran. Ve studiu C * -algeber je však běžné omezit pozornost na oddělitelné C * -algebry. Protože graf C * -algebra ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je oddělitelné přesně, když je graf ${ displaystyle E}$ je spočetná, velká část teorie grafů C * -algebry se zaměřila na spočetné grafy.

K-teorie

K-skupiny grafu C * -algebra lze vypočítat zcela z hlediska informací pocházejících z grafu. Li ${ displaystyle E}$ je řádek-konečný graf, vrcholová matice z ${ displaystyle E}$ je ${ displaystyle E ^ {0} krát E ^ {0}}$ matice ${ displaystyle A_ {E}}$ se vstupem ${ displaystyle A_ {E} (v, w)}$ definován jako počet hran v ${ displaystyle E}$ z ${ displaystyle v}$ na ${ displaystyle w}$. Od té doby ${ displaystyle E}$ je řádově konečný, ${ displaystyle A_ {E}}$ má položky v ${ displaystyle mathbb {N} pohár {0 }}$ a každý řádek ${ displaystyle A_ {E}}$ má pouze konečně mnoho nenulových položek. (Ve skutečnosti odtud pochází termín „řádek-konečný“.) V důsledku toho každý sloupec transponuje ${ displaystyle A_ {E} ^ {t}}$ obsahuje pouze konečně mnoho nenulových položek a my získáme mapu ${ displaystyle A_ {E} ^ {t}: bigoplus _ {E ^ {0}} mathbb {Z} to bigoplus _ {E ^ {0}} mathbb {Z}}$ dané levým násobením. Stejně tak, pokud ${ displaystyle I}$ označuje ${ displaystyle E ^ {0} krát E ^ {0}}$ tedy matice identity ${ displaystyle I-A_ {E} ^ {t}: bigoplus _ {E ^ {0}} mathbb {Z} to bigoplus _ {E ^ {0}} mathbb {Z}}$ poskytuje mapu danou násobením vlevo.

Teorém: Nechat ${ displaystyle E}$ být řádkově konečný graf bez propadů a nechat ${ displaystyle A_ {E}}$ označte vrcholovou matici ${ displaystyle E}$. Pak

${ displaystyle I-A_ {E} ^ {t}: bigoplus _ {E ^ {0}} mathbb {Z} to bigoplus _ {E ^ {0}} mathbb {Z}}$

dává dobře definovanou mapu násobením vlevo. Dále

${ displaystyle K_ {0} (C ^ {*} (E)) cong operatorname {coker} (I-A_ {E} ^ {t}) qquad { text {a}} qquad K_ {1 } (C ^ {*} (E)) cong operatorname {ker} (I-A_ {E} ^ {t})}$.

Kromě toho, pokud ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$ je unital (nebo ekvivalentně ${ displaystyle E ^ {0}}$ je konečný), pak izomorfismus ${ displaystyle K_ {0} (C ^ {*} (E)) cong operatorname {coker} (I-A_ {E} ^ {t})}$ vezme třídu jednotky ${ displaystyle K_ {0} (C ^ {*} (E))}$ do třídy vektoru ${ displaystyle (1,1, ldots, 1)}$ v ${ displaystyle operatorname {coker} (I-A_ {E} ^ {t})}$.

Od té doby ${ displaystyle K_ {1} (C ^ {*} (E))}$ je izomorfní s podskupinou volné skupiny ${ displaystyle bigoplus _ {E ^ {0}} mathbb {Z}}$, můžeme k tomu dojít ${ displaystyle K_ {1} (C ^ {*} (E))}$ je bezplatná skupina. Lze ukázat, že v obecném případě (tj. Kdy ${ displaystyle E}$ může obsahovat výlevky nebo nekonečné zářiče), které ${ displaystyle K_ {1} (C ^ {*} (E))}$ zůstává volnou skupinou. To umožňuje vytvořit příklady C * -algeber, které nejsou grafy C * -algebry: Libovolná C * -algebra s nesvobodnou K₁-skupina není Morita ekvivalentní (a tudíž není izomorfní) grafu C * -algebra.

Poznámky