Připojení (afinní svazek) - Connection (affine bundle) - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek vyžaduje pozornost odborníka na toto téma. Specifický problém je: Neexistuje žádný olovo a je třeba ho lépe organizovat .. Při umisťování této značky zvažte přidružení této žádosti s WikiProject. (Říjen 2013) Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Nechat Y → X být afinní svazek modelován přes vektorový svazek Y → X. A spojení Γ na Y → X se nazývá afinní spojení pokud je to jako sekce Γ: Y → J.¹Y z svazek trysek J¹Y → Y z Y je morfismus afinního svazku X. Jedná se zejména o afinní spojení na tečný svazek TX a hladké potrubí X. (To znamená, že spojení na afinním svazku je příkladem afinního spojení; nejde však o obecnou definici afinního spojení. Jedná se o související, ale odlišné pojmy, které bohužel využívají adjektiva „afinní“.)

S ohledem na afinní souřadnice svazku (X^λ, yⁱ) na Y, afinní spojení Γ na Y → X je dán formulář připojení s tečnou hodnotou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Gamma & = dx ^ { lambda} otimes left ( částečné _ { lambda} + gamma _ { lambda} ^ {i} částečné _ {i} vpravo) ,, Gamma _ { lambda} ^ {i} & = {{ Gamma _ { lambda}} ^ {i}} _ {j} vlevo (x ^ { nu} vpravo ) y ^ {j} + sigma _ { lambda} ^ {i} left (x ^ { nu} right) ,. end {zarovnáno}}}$

Afinní svazek je svazek vláken s obecná afinita strukturní skupina GA (m, ℝ) afinních transformací jeho typického vlákna PROTI dimenze m. Proto je afinní spojení spojeno s a hlavní připojení. Vždy existuje.

Pro jakékoli afinní připojení Γ: Y → J.¹Y, korespondence lineární derivace Γ : Y → J.¹Y afinního morfismu Γ definuje jedinečný lineární připojení na vektorovém svazku Y → X. S ohledem na souřadnice lineárního svazku (X^λ, yⁱ) na Y, čte toto spojení

${ displaystyle { overline { Gamma}} = dx ^ { lambda} otimes left ( částečné _ { lambda} + {{ Gamma _ { lambda}} ^ {i}} _ {j} left (x ^ { nu} right) { overline {y}} ^ {j} { overline { partial}} _ {i} right) ,.}$

Protože každý vektorový svazek je afinním svazkem, jakékoli lineární spojení s vektorovým svazkem je také afinním spojením.

Li Y → X je vektorový svazek, oba afinní spojení Γ a související lineární připojení Γ jsou spojení na stejném vektorovém svazku Y → X, a jejich rozdíl je základní pájecí forma na

${ displaystyle sigma = sigma _ { lambda} ^ {i} (x ^ { nu}) dx ^ { lambda} otimes částečné _ {i} ,.}$

Tedy každé afinní spojení na vektorovém svazku Y → X je součet lineárního připojení a základní formy pájení na Y → X.

Kvůli kanonickému vertikálnímu rozdělení PROTIY = Y × Y, tato pájecí forma je uvedena do a vektorová forma

${ displaystyle sigma = sigma _ { lambda} ^ {i} (x ^ { nu}) dx ^ { lambda} další e_ {i}}$

kde E_i je vláknový základ pro Y.

Vzhledem k afinnímu spojení Γ na vektorovém svazku Y → X, nechť R a R být zakřivení spojení Γ a související lineární připojení Γ, resp. To lze snadno pozorovat R = R + T, kde

${ displaystyle { begin {aligned} T & = { tfrac {1} {2}} T _ { lambda mu} ^ {i} dx ^ { lambda} klín dx ^ { mu} otimes částečný _ {i} ,, T _ { lambda mu} ^ {i} & = částečné _ { lambda} sigma _ { mu} ^ {i} - částečné _ { mu} sigma _ { lambda} ^ {i} + sigma _ { lambda} ^ {h} {{ Gamma _ { mu}} ^ {i}} _ {h} - sigma _ { mu} ^ { h} {{ Gamma _ { lambda}} ^ {i}} _ {h} ,, end {zarovnáno}}}$

je kroucení z Γ s ohledem na základní formu pájení σ.

Zvažte zejména svazek tangenty TX potrubí X koordinuje (X^μ, X^μ). Existuje kanonická pájecí forma

${ displaystyle theta = dx ^ { mu} další časy { dot { částečné}} _ { mu}}$

na TX který se shoduje s tautologická jedna forma

${ displaystyle theta _ {X} = dx ^ { mu} další částečné _ { mu}}$

na X kvůli kanonickému svislému rozdělení VTX = TX × T.X. Vzhledem k libovolnému lineárnímu spojení Γ na TX, odpovídající afinní připojení

${ displaystyle { begin {zarovnáno} A & = Gamma + theta ,, A _ { lambda} ^ { mu} & = {{ Gamma _ { lambda}} ^ { mu}} _ { nu} { dot {x}} ^ { nu} + delta _ { lambda} ^ { mu} ,, end {zarovnáno}}}$

na TX je Kartanové připojení. Torze spojení Cartan A s ohledem na pájecí formulář θ se shoduje s kroucení lineárního spojení Γa jeho zakřivení je součet R + T zakřivení a kroucení Γ.

Viz také

• Připojení (vláknité potrubí)
• Afinní spojení
• Připojení (vektorový balíček)
• Připojení (matematika)
• Teorie afinního rozchodu

Reference

• Kobayashi, S .; Nomizu, K. (1996). Základy diferenciální geometrie. 1–2. Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15733-3.
• Sardanashvily, G. (2013). Pokročilá diferenciální geometrie pro teoretiky. Svazky vláken, proudová potrubí a Lagrangeova teorie. Lambert Academic Publishing. arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. ISBN  978-3-659-37815-7.

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.