Proces sběru komutátoru - Commutator collecting process

v teorie skupin, pobočka matematika, proces sběru komutátoru je metoda pro zápis prvku a skupina jako produkt generátorů a jejich vyšších komutátory uspořádány v určitém pořadí. Proces sběru komutátoru zavedl Philip Hall v roce 1934^[1] a vyjádřil Wilhelm Magnus v roce 1937.^[2] Tento proces se někdy nazývá „proces sběru“.

Proces lze zobecnit tak, aby definoval zcela uspořádanou podmnožinu volné neasociativní algebry, tj. zdarma magma; tato podmnožina se nazývá Hall set. Členy sady Hall jsou binární stromy; tito mohou být umístěni do korespondence jedna k jedné se slovy, kterým se říká Hall slova; the Lyndonova slova jsou zvláštní případ. Hallovy sady se používají ke konstrukci základny pro a zdarma Lie algebra, zcela analogicky s procesem sběru komutátoru. Hall slova také poskytují jedinečný faktorizace monoidů.

Tvrzení

Proces sběru komutátoru je obvykle uveden pro skupiny zdarma, jako obdobná věta pak platí pro libovolnou skupinu tak, že ji napíšete jako kvocient volné skupiny.

Předpokládat F₁ je bezplatná skupina generátorů A₁, ..., A_m. Definujte sestupné centrální řada uvedením

F_n+1 = [F_n, F₁]

Základní komutátory jsou prvky F₁ definováno a seřazeno následovně:

Základní komutátory hmotnosti 1 jsou generátory A₁, ..., A_m.
Základní komutátory hmotnosti w > 1 jsou prvky [X, y] kde X a y jsou základní komutátory, jejichž hmotnost se rovná w, takový, že X > y a pokud X = [u, proti] pro základní komutátory u a proti pak proti ≤ y.

Komutátoři jsou seřazeni tak X > y -li X má váhu větší než váha y, a pro komutátory s jakoukoli pevnou hmotností je vybráno celkové pořadí.

Pak F_n/F_n+1 je konečně generovaná bezplatná abelianská skupina se základem skládajícím se ze základních komutátorů hmotnostin.

Pak jakýkoli prvek F lze psát jako

{ displaystyle g = c_ {1} ^ {n_ {1}} c_ {2} ^ {n_ {2}} cdots c_ {k} ^ {n_ {k}} c}

Kde C_i jsou nejvýše základní komutátory hmotnosti m uspořádány v pořádku a C je produktem komutátorů o hmotnosti větší než ma n_i jsou celá čísla.

Viz také

Reference

^ Hall, Philip (1934), „Příspěvek k teorii skupin řádu nejvyšší moci“, Proceedings of the London Mathematical Society, 36: 29–95, doi:10,1112 / plms / s2-36.1.29
^ W. Magnus (1937), „Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren“, J. Grelle 177, 105-115.

Čtení

Hall, Marshalle (1959), Teorie grup, Macmillan, PAN 0103215
Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (v němčině), Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 90–93, ISBN 978-3-540-03825-2, PAN 0224703, OCLC 527050

[1] Hall, Philip (1934), „Příspěvek k teorii skupin řádu nejvyšší moci“, Proceedings of the London Mathematical Society, 36: 29–95, doi:10,1112 / plms / s2-36.1.29

[2] W. Magnus (1937), „Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren“, J. Grelle 177, 105-115.

[1]

[2]