Koherentní algebra - Coherent algebra
A koherentní algebra je algebra komplexních čtvercových matic, které jsou uzavřeny pod běžné násobení matic, Produkt Schur, transpozice a obsahuje obě matice identity
a matice všeho druhu
.[1]
Definice
Podprostor
z
se říká, že je koherentní algebra řádu
li:
.
pro všechny
.
a
pro všechny
.
Soudržná algebra
se říká, že:
- Homogenní pokud je každá matice v
má konstantní úhlopříčku. - Komutativní -li
je komutativní s ohledem na běžné násobení matic. - Symetrický pokud je každá matice v
je symetrický.
Sada
z Schurovy primitivní matice v koherentní algebře
je definován jako
.
Dvojí souprava
z primitivní matice v koherentní algebře
je definován jako
.
Příklady
- The centralizátor skupiny permutačních matic je koherentní algebra, tj.
je koherentní algebra řádu
-li
pro skupinu
z
permutační matice. Navíc centralizátor skupina permutačních matic představujících automorfická skupina grafu
je homogenní právě tehdy
je vrchol-tranzitivní.[2] - Rozpětí množiny matic týkajících se dvojic prvků ležících na stejné dráze diagonální akce konečné skupiny na konečnou množinu je koherentní algebra, tj.
kde
je definován jako
pro všechny
konečné množiny
jednal podle konečné skupiny
. - Rozpětí a pravidelné zastoupení konečné skupiny jako skupina permutačních matic
je koherentní algebra.
Vlastnosti
- The průsečík sady koherentních algeber řádu
je koherentní algebra. - The tenzorový produkt koherentních algeber je koherentní algebra, tj.
-li
a
jsou koherentní algebry. - The symetrizace
komutativní koherentní algebry
je koherentní algebra. - Li
je tedy koherentní algebra
pro všechny
,
, a
-li
je homogenní. - Duálně, pokud
je komutativní koherentní algebra (řádu
), pak
pro všechny
,
, a
také. - Každá symetrická koherentní algebra je komutativní a každá komutativní koherentní algebra je homogenní.
- Koherentní algebra je komutativní, právě když je to Bose – Mesnerova algebra (komutativní) asociační schéma.[1]
- Koherentní algebra tvoří a hlavní ideální prsten pod produktem Schur; komutativní koherentní algebra navíc tvoří hlavní ideální kruh i při běžném násobení matic.
Viz také
Reference