Kompaktní vložení - Cocompact embedding
V matematice kompaktní vložení jsou vložení z normované vektorové prostory vlastnit určitou vlastnost podobnou, ale slabší než kompaktnost. Kompaktnost se používá v matematická analýza od 80. let, aniž by o nich někdo hovořil [1](Lemma 6),[2](Lemma 2.5),[3](Věta 1) nebo ad-hoc přezdívkami, jako je mizející lemma nebo inverzní vkládání.[4]
Vlastnost cocompactness umožňuje ověřit konvergenci sekvencí na základě translační nebo škálovací invariance problému a je obvykle považována za kontext Sobolevovy prostory. Termín kompaktní vložení je inspirován pojmem cocompact topologický prostor.
Definice
Nechat být skupinou izometrií v normovaném vektorovém prostoru . Jeden říká, že sekvence konverguje k - slabě, pokud pro každou sekvenci , sekvence je slabě konvergentní k nule.
A průběžné vkládání dvou normovaných vektorových prostorů, je nazýván cocompact vzhledem ke skupině izometrií na pokud každý - slabě konvergentní sekvence je konvergentní v .[5]
Základní příklad: cocompactness pro
Vložení prostoru do sebe je ve srovnání se skupinou kompromisní směn . Opravdu, pokud , , je sekvence - tedy slabě konvergentní k nule pro jakoukoli volbu . Jeden si může vybrat takhle, což z toho vyplývá v .
Některá známá vložení, která jsou kompaktní, ale nejsou kompaktní
- , ve vztahu k působení překladů na :[6] .
- , , ve vztahu k akci překladů dne .[1]
- , ve vztahu k produktové skupině akcí dilatací a překladů na .[2][3][6]
- Vložení Sobolevova prostoru v Případ Moser – Trudinger do odpovídající Orliczův prostor.[7]
- Vložení prostorů Besov a Triebel – Lizorkin.[8]
- Vkládání Strichartzovy prostory.[4]
Reference
- ^ A b E. Lieb, Na nejnižší vlastní hodnotě Laplacian pro křižovatku dvou domén. Vymyslet. Matematika. 74 (1983), 441–448.
- ^ A b V. Benci, G. Cerami, Existence kladných řešení rovnice −Δu + a (x) u = u (N + 2) / (N − 2) v R.NJ. Funct. Anální. 88 (1990), č. 1, 90–117.
- ^ A b S. Solimini, Poznámka k vlastnostem typu kompaktnosti s ohledem na Lorentzovy normy omezených podmnožin Sobolevova prostoru. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 12 (1995), 319–337.
- ^ A b Terence Tao, Pseudokonformní zhutnění nelineární Schrödingerovy rovnice a aplikací, New York J. Math. 15 (2009), 265–282.
- ^ C. Tintarev, Koncentrační analýza a kompaktnost, in: Adimuri, K. Sandeep, I. Schindler, C. Tintarev, redaktoři, Koncentrační analýza a aplikace na PDE ICTS Workshop, Bangalore, leden 2012, ISBN 978-3-0348-0372-4, Birkhäuser, Trends in Mathematics (2013), 117–141.
- ^ A b S. Jaffard, Analýza nedostatku kompaktnosti v kritických Sobolevových vložkách. J. Funct. Anální. 161 (1999).
- ^ Adimurthi, C. Tintarev, O kompaktnosti v nerovnosti Trudinger – Moser, Annali SNS Pisa Cl. Sci. (5) Sv. XIII (2014), 1–18.
- ^ H. Bahouri, A. Cohen, G. Koch, Obecný rozklad profilů založených na vlnkách v kritickém zabudování funkčních prostorů, Confluentes Matematicae 3 (2011), 387–411.