Strichartzův odhad - Strichartz estimate

v matematická analýza, Strichartzovy odhady jsou rodina nerovností pro lineární disperzní parciální diferenciální rovnice. Tyto nerovnosti určují velikost a rozpad řešení v smíšená norma Lebesgueovy prostory. Nejprve si je všiml Robert Strichartz a vznikl na základě sporů s Fourierovým omezením problému.^[1]

Příklady

Zvažte lineární Schrödingerova rovnice v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ s h = m = 1. Pak řešení pro počáteční data ${ displaystyle u_ {0}}$ darováno ${ displaystyle e ^ {it Delta / 2} u_ {0}}$. Nechat q a r být uspokojivá skutečná čísla ${ displaystyle 2 leq q, r leq infty}$; ${ displaystyle { frac {2} {q}} + { frac {d} {r}} = { frac {d} {2}}}$; a ${ displaystyle (q, r, d) neq (2, infty, 2)}$.

V tomto případě mají homogenní Strichartzovy odhady podobu:^[2]

${ displaystyle | e ^ {it Delta / 2} u_ {0} | _ {L_ {t} ^ {q} L_ {x} ^ {r}} leq C_ {d, q, r} | u_ {0} | _ {2}.}$

Dále předpokládejme, že ${ displaystyle { tilde {q}}, { tilde {r}}}$ splňovat stejná omezení jako ${ displaystyle q, r}$ a ${ displaystyle { tilde {q}} ', { tilde {r}}'}$ jsou jejich dvojí exponenti, pak mají dvojí homogenní Strichartzovy odhady podobu:^[2]

${ displaystyle left | int _ { mathbb {R}} e ^ {- je Delta / 2} F (s) , ds right | _ {L_ {x} ^ {2}} leq C_ {d, { tilde {q}}, { tilde {r}}} | F | _ {L_ {t} ^ {{ tilde {q}} '}} L_ {x} ^ {{ tilde {r}} '}}.}$

Nehomogenní Strichartzovy odhady jsou:^[2]

${ displaystyle left | int _ {s$

Reference

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.