Funkce gama P-adic - P-adic gamma function

V matematice je p-adická funkce gama Γ_p je funkce a p-adic proměnná analogická k funkce gama. To bylo poprvé výslovně definováno Morita (1975), ačkoli Boyarsky (1980) poukázal na to Dwork (1964) implicitně použil stejnou funkci. Diamond (1977) definované a p-adický analog G_p protokolu Γ. Overholtzer (1952) předtím definici jiného p-adický analog funkce gama, ale jeho funkce nemá uspokojivé vlastnosti a příliš se nepoužívá.

Definice

The p-adická gama funkce je jedinečná spojitá funkce a p-adické celé číslo X (s hodnotami v ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ ) takové, že

{ Displaystyle Gamma _ {p} (x) = (- 1) ^ {x} prod _ {0

pro kladná celá čísla X, kde je produkt omezen na celá čísla i není dělitelný p. Protože kladná celá čísla jsou hustá vzhledem k p-adická topologie v ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ , ${ displaystyle Gamma _ {p} (x)}$ lze rozšířit jedinečně na celek ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ . Tady ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ je prsten z p-adická celá čísla. Vychází z definice, že hodnoty ${ displaystyle Gamma _ {p} ( mathbb {Z})}$ jsou invertibilní v ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ . Je tomu tak, protože tyto hodnoty jsou produkty celých čísel, které nelze dělit pa tato vlastnost platí po nepřetržitém rozšíření na ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ . Tím pádem ${ displaystyle Gamma _ {p}: mathbb {Z} _ {p} to mathbb {Z} _ {p} ^ { times}}$ . Tady ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p} ^ { times}}$ je sada invertible p-adická celá čísla.

Základní vlastnosti ${ displaystyle Gamma _ {p}}$

Klasický funkce gama splňuje funkční rovnici ${ Displaystyle Gamma (x + 1) = x Gamma (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x in mathbb {C} setminus mathbb {Z} _ { leq 0}}$ . Toto má analogii s ohledem na funkci Morita gama:

${ displaystyle { frac { Gamma _ {p} (x + 1)} { Gamma _ {p} (x)}} = { begin {cases} -x, & { mbox {if}} x in mathbb {Z} _ {p} ^ { times} - 1, & { mbox {if}} x in p mathbb {Z} _ {p}. end {cases}}}$

The Eulerův odrazový vzorec ${ displaystyle Gamma (x) Gamma (1-x) = { frac { pi} { sin {( pi x)}}}}$ má svůj následující jednoduchý protějšek v p-adický případ:

${ displaystyle Gamma _ {p} (x) Gamma _ {p} (1-x) = (- 1) ^ {x_ {0}},}$

kde ${ displaystyle x_ {0}}$ je první číslice v p-adická expanze X, pokud ${ displaystyle x in p mathbb {Z} _ {p}}$ , v jakém případě ${ displaystyle x_ {0} = p}$ spíše než 0.

Speciální hodnoty

${ displaystyle Gamma _ {p} (0) = 1,}$

${ displaystyle Gamma _ {p} (1) = - 1,}$

${ displaystyle Gamma _ {p} (2) = 1,}$

${ displaystyle Gamma _ {p} (3) = - 2,}$

a obecně

${ displaystyle Gamma _ {p} (n + 1) = { frac {(-1) ^ {n + 1} n!} {[n / p]! p ^ {[n / p]}}} quad (n geq 2).}$

V ${ displaystyle x = { frac {1} {2}}}$ gama funkce Morita souvisí s ${ displaystyle left ({ frac {a} {p}} right)}$ Legendární symbol:

${ displaystyle Gamma _ {p} left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2} = - left ({ frac {-1} {p}} right).}$

Je také vidět, že ${ displaystyle Gamma _ {p} (p ^ {n}) equiv 1 { pmod {p ^ {n}}},}$ proto ${ displaystyle Gamma _ {p} (p ^ {n}) až 1}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$ .^[1]^:369

Další zajímavé speciální hodnoty pocházejí z Gross – Koblitzův vzorec, což bylo poprvé prokázáno cohomologické nástroje, a později bylo prokázáno použití více elementárních metod.^[2] Například,

${ displaystyle Gamma _ {5} vlevo ({ frac {1} {4}} vpravo) ^ {2} = - 2 + { sqrt {-1}},}$

${ displaystyle Gamma _ {7} left ({ frac {1} {3}} right) ^ {3} = { frac {1-3 { sqrt {-3}}} {2}} ,}$

kde ${ displaystyle { sqrt {-1}} in mathbb {Z} _ {5}}$ označuje kořen s první číslicí 3 as ${ displaystyle { sqrt {-3}} in mathbb {Z} _ {7}}$ kořen označíme první číslicí 2. (Pokud hovoříme o kořenech, je třeba je vždy provést.)

Dalším příkladem je

${ displaystyle Gamma _ {3} left ({ frac {1} {8}} right) Gamma _ {3} left ({ frac {3} {8}} right) = - ( 1 + { sqrt {-2}}),}$

kde ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$ je druhá odmocnina z ${ displaystyle -2}$ v ${ displaystyle mathbb {Q} _ {3}}$ shodné s 1 modulo 3.^[3]

p-adic Raabeho vzorec

Raabeův vzorec pro klasiku Funkce gama říká to

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} log Gamma (x + t) dt = { frac {1} {2}} log (2 pi) + x log x-x.}$

Toto má analogii pro Iwasawa logaritmus funkce gama Morita:^[4]

${ displaystyle int _ { mathbb {Z} _ {p}} log gamma _ {p} (x + t) dt = (x-1) ( log gamma _ {p}) '(x ) -x + left lceil { frac {x} {p}} right rceil quad (x in mathbb {Z} _ {p}).}$

The stropní funkce je třeba chápat jako p-adický limit ${ displaystyle lim _ {n to infty} left lceil { frac {x_ {n}} {p}} right rceil}$ takhle ${ displaystyle x_ {n} až x}$ prostřednictvím racionálních celých čísel.

Mahlerova expanze

The Mahlerova expanze je stejně důležité pro p-adické funkce jako Taylorova expanze v klasické analýze. Mahlerova expanze p-adická funkce gama je následující:^[1]^:374

${ displaystyle Gamma _ {p} (x + 1) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} { binom {x} {k}},}$

kde posloupnost ${ displaystyle a_ {k}}$ je definována následující identitou:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k + 1} a_ {k} { frac {x ^ {k}} {k!}} = { frac { 1-x ^ {p}} {1-x}} exp left (x + { frac {x ^ {p}} {p}} right).}$

Viz také

Gross – Koblitzův vzorec

Reference

Boyarsky, Maurizio (1980), „p-adic gamma functions and Dwork cohomology“, Transakce Americké matematické společnosti, 257 (2): 359–369, doi:10.2307/1998301, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998301, PAN 0552263
Diamond, Jack (1977), „Funkce p-adic log gamma a p-adic Eulerovy konstanty“, Transakce Americké matematické společnosti, 233: 321–337, doi:10.2307/1997840, ISSN 0002-9947, JSTOR 1997840, PAN 0498503
Diamond, Jack (1984), „p-adic gamma functions and their applications“, in Chudnovský, David V.; Chudnovský, Gregory V .; Cohn, Henry; et al. (eds.), Teorie čísel (New York, 1982), Poznámky k přednášce v matematice., 1052, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 168–175, doi:10.1007 / BFb0071542, ISBN 978-3-540-12909-7, PAN 0750664
Dwork, Bernard (1964), „O funkci zeta nadpovrchu. II“, Annals of Mathematics, Druhá série, 80 (2): 227–299, doi:10.2307/1970392, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970392, PAN 0188215
Morita, Yasuo (1975), „P-adický analog Γ-funkce“, Časopis Přírodovědecké fakulty. Tokijská univerzita. Oddíl IA. Matematika, 22 (2): 255–266, hdl:2261/6494, ISSN 0040-8980, PAN 0424762
Overholtzer, Gordon (1952), „Funkce součtu v elementární p-adické analýze“, American Journal of Mathematics, 74 (2): 332–346, doi:10.2307/2371998, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371998, PAN 0048493

^ ^A ^b Robert, Alain M. (2000). Kurz p-adické analýzy. New York: Springer-Verlag.
^ Robert, Alain M. (2001). „Vzorec Gross-Koblitz se vrátil“. Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. Matematický deník univerzity v Padově. 105: 157–170. doi:10.1016 / j.jnt.2009.08.005. hdl:2437/90539. ISSN 0041-8994. PAN 1834987.
^ Cohen, H. (2007). Teorie čísel. 2. New York: Springer Science + Business Media. p. 406.
^ Cohen, Henry; Eduardo, Friedman (2008). „Raabeův vzorec pro p-adické funkce gama a zeta ". Annales de l'Institut Fourier. 88 (1): 363–376. doi:10,5802 / aif.2353. PAN 2401225.

[RobertBook-1] ^ ^A ^b Robert, Alain M. (2000). Kurz p-adické analýzy. New York: Springer-Verlag.

[Robert-2] Robert, Alain M. (2001). „Vzorec Gross-Koblitz se vrátil“. Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. Matematický deník univerzity v Padově. 105: 157–170. doi:10.1016 / j.jnt.2009.08.005. hdl:2437/90539. ISSN 0041-8994. PAN 1834987.

[3] ^ Cohen, H. (2007). Teorie čísel. 2. New York: Springer Science + Business Media. p. 406.

[4] ^ Cohen, Henry; Eduardo, Friedman (2008). „Raabeův vzorec pro p-adické funkce gama a zeta ". Annales de l'Institut Fourier. 88 (1): 363–376. doi:10,5802 / aif.2353. PAN 2401225.

[1]

[2]

[3]

[4]