Znakový modul - Character module - Wikipedia

V matematice, zejména v oblasti abstraktní algebra, každý modul má přidružené znakový modul. Pomocí přidruženého znakového modulu je možné zkoumat vlastnosti původního modulu. Jedním z hlavních výsledků objevených Joachim Lambek ukazuje, že modul je byt právě když je přidružený znakový modul injekční. ^[1]

Definice

The skupina ${ displaystyle ( mathbb {Q} / mathbb {Z}, +)}$, skupina racionálních čísel modulo ${ textový styl 1}$, lze považovat za ${ displaystyle mathbb {Z}}$-modul přirozenou cestou. Nechat ${ displaystyle M}$ být aditivní skupina, která je také považována za ${ displaystyle mathbb {Z}}$-modul. Pak skupina

z ${ displaystyle mathbb {Z}}$-homomorfismy z ${ displaystyle M}$ na ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ se nazývá skupina znaků spojená s ${ displaystyle M}$. Prvky v této skupině se nazývají postavy. Li ${ displaystyle M}$ je levice ${ displaystyle R}$- modul přes prsten ${ displaystyle R}$, pak skupina znaků ${ displaystyle M ^ {*}}$ je právo ${ displaystyle R}$-modul a zavolal znakový modul přidružený k ${ displaystyle M}$. Akce modulu v modulu znaků pro ${ displaystyle f in operatorname {Hom} _ { mathbb {Z}} (M, mathbb {Q} / mathbb {Z})}$ a ${ displaystyle r v R}$ je definováno ${ displaystyle (fr) (m) = f (rm)}$ pro všechny ${ displaystyle m v M}$. ^[2] Znakový modul lze také definovat stejným způsobem pro pravý ${ displaystyle R}$- moduly. V literatuře také notace ${ displaystyle M ', M ^ {0}}$ a ${ displaystyle M ^ {+}}$ se používají pro znakové moduly. ^[3][4]

Nechat ${ displaystyle M, N}$ být ponechán ${ displaystyle R}$-moduly a ${ displaystyle f dvojtečka M až N}$ an ${ displaystyle R}$-homomorfismus. Pak mapování ${ displaystyle f ^ {*} dvojtečka N ^ {*} na M ^ {*}}$ definován ${ displaystyle f ^ {*} (h) = h circ f}$ pro všechny ${ displaystyle h v N ^ {*}}$ je právo ${ displaystyle R}$-homomorfismus. Tvorba modulu znaků je v rozporu funktor z kategorie vlevo ${ displaystyle R}$-moduly do kategorie vpravo ${ displaystyle R}$- moduly. ^[3]

Motivace

Abelianská skupina ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ je dělitelný a proto injekční ${ displaystyle mathbb {Z}}$-modul. Dále má následující důležitou vlastnost: Let ${ displaystyle G}$ být abelianskou skupinou a ${ displaystyle g v G}$ nenulové. Pak existuje skupinový homomorfismus ${ displaystyle f colon G to mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ s ${ displaystyle f (g) neq 0}$. To říká, že ${ displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ je kogenerátor. S těmito vlastnostmi lze ukázat hlavní teorém teorie znakových modulů: ^[3]

Věta (Lambek) ^[1]: Levý modul ${ displaystyle M}$ přes prsten ${ displaystyle R}$ je byt jen tehdy, pokud modul znaků ${ displaystyle M ^ {*}}$ je injekční že jo ${ displaystyle R}$-modul.

Vlastnosti

Nechat ${ displaystyle M}$ být levým modulem přes prsten ${ displaystyle R}$ a ${ displaystyle M ^ {*}}$ přidružený znakový modul.

• Modul ${ displaystyle M}$ je plochá právě tehdy ${ displaystyle M ^ {*}}$ je injektivní (Lambekova věta ^[4]). ^[1]
• Li ${ displaystyle M}$ je tedy zdarma ${ displaystyle M ^ {*}}$ je injekční právo ${ displaystyle R}$-modul a ${ displaystyle M ^ {*}}$ je přímým produktem kopií práva ${ displaystyle R}$- moduly ${ displaystyle R ^ {*}}$. ^[2]
• Za každé právo ${ displaystyle R}$-modul ${ displaystyle N}$ tam je bezplatný modul ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle N}$ je izomorfní se submodulem ${ displaystyle M ^ {*}}$. S předchozí vlastností tento modul ${ displaystyle M ^ {*}}$ je injektivní, a tedy každé právo ${ displaystyle R}$-module je izomorfní vůči submodulu injektivního modulu. (Baerova věta) ^[5]
• A vlevo ${ displaystyle R}$-modul ${ displaystyle N}$ je injektivní tehdy a jen tehdy, pokud existuje bezplatná ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle N}$ je izomorfní s přímým součtem ${ displaystyle M ^ {*}}$. ^[5]
• Modul ${ displaystyle M}$ je injektivní právě tehdy, pokud se jedná o přímý součet znakového modulu volného modulu. ^[2]
• Li ${ displaystyle N}$ je submodul ${ displaystyle M}$, pak ${ displaystyle (M / N) ^ {*}}$ je izomorfní se submodulem ${ displaystyle M ^ {*}}$ který se skládá ze všech prvků, které ničí ${ displaystyle N}$. ^[2]
• Tvorba modulu znaků je v rozporu přesný funktor, tj. zachovává přesné sekvence. ^[3]
• Nechat ${ displaystyle N}$ mít pravdu ${ displaystyle R}$-modul. Pak moduly ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {R} (N, M ^ {*})}$ a ${ displaystyle (N otimes _ {R} M) ^ {*}}$ jsou izomorfní jako ${ displaystyle mathbb {Z}}$- moduly. ^[4]

Reference