Cauchyho funkční rovnice je funkční rovnice z lineární nezávislost:

Řešení tohoto problému se nazývají aditivní funkce. Přes racionální čísla, lze zobrazit pomocí elementární algebra že existuje jedna rodina řešení, jmenovitě
pro jakoukoli racionální konstantu
. Přes reálná čísla,
, nyní s
libovolná reálná konstanta, je rovněž skupinou řešení; mohou však existovat i jiná řešení, která jsou extrémně komplikovaná. Jakákoli z řady pravidelných podmínek, z nichž některé jsou velmi slabé, však vylučuje existenci těchto patologických řešení. Například doplňková funkce
je lineární, pokud:
je kontinuální (prokázáno Cauchy v roce 1821). Tato podmínka byla v roce 1875 oslabena Darboux který ukázal, že je nutné, aby funkce byla spojitá v jednom bodě.
je monotóní v libovolném intervalu.
je ohraničený v libovolném intervalu.
je Lebesgue měřitelný.
Na druhou stranu, pokud nebudou stanoveny žádné další podmínky
, pak (za předpokladu, že axiom volby ) existuje nekonečně mnoho dalších funkcí, které splňují rovnici. To bylo prokázáno v roce 1905 Georg Hamel použitím Hamelovy základny. Takovým funkcím se někdy říká Hamel funkce.[1]
The pátý problém na Hilbertův seznam je zobecněním této rovnice. Funkce tam, kde existuje a reálné číslo
takhle
jsou známé jako Cauchy-Hamelovy funkce a používají se v Dehn-Hadwigerových invariantech, které se používají při rozšíření Hilbertův třetí problém od 3-D do vyšších dimenzí.[2]
Řešení nad racionální čísla
Jednoduchý argument, zahrnující pouze elementární algebraickou manipulaci, ukazuje, že množina aditivních map
je totožný se sadou lineárních map.
Teorém: Nechat
být doplňkovou funkcí. Pak
je lineární.
Důkaz: Chceme dokázat, že každé řešení
k Cauchyho funkční rovnici,
, má formu
. Je vhodné tyto případy zvážit
.
Případ I: (
)
Nastavení
z toho usuzujeme

.
Případ II: (
)
Opakovanou aplikací Cauchyovy rovnice na
, získáváme

Střídání
podle
v (*) a vynásobení výsledku číslem
, kde
, výnosy

Aplikace (*) na levou stranu (**) pak umožňuje


,
kde
je libovolná racionální konstanta.
Případ III: (
)
Nastavení
ve funkční rovnici a připomínáme to
, získáváme
.
V kombinaci s výsledkem vyvozeným pro kladná racionální čísla (Případ II) dává
.
Vezmeme-li v úvahu společně tři výše uvedené případy, můžeme dospět k závěru, že úplná řešení Cauchyho funkční rovnice nad racionálními čísly jsou dána vztahem:

Vlastnosti lineárních řešení nad reálnými čísly
Níže dokazujeme, že jakákoli jiná řešení musí být vysoce patologické funkce. Zejména ukážeme, že jakékoli jiné řešení musí mít vlastnost, kterou má jeho graf
jehustý v
tj. že jakýkoli disk v rovině (jakeversmall) obsahuje bod z grafu. Z toho lze snadno dokázat různé podmínky uvedené v úvodním odstavci.
Předpokládejme to bez ztráty obecnosti
,a
pro některé
.
Pak položte
.
Nyní ukážeme, jak najít bod v libovolném kruhu, středu
,poloměr
kde
.
Dát
a vyberte racionální číslo
blízko k
s:

Poté zvolte racionální číslo
blízko k
s:

Nyní vložte:


Pak pomocí funkční rovnice získáme:





Kvůli našim výše uvedeným možnostem
je uvnitř kruhu.
Existence nelineárních řešení nad reálnými čísly
Výše uvedený důkaz linearity platí také pro
, kde
je zmenšená kopie racionálu. To ukazuje, že jsou povolena pouze lineární řešení, pokud je doména
je omezen na takové sady. Obecně tedy máme
pro všechny
. Jak však ukážeme níže, pro funkce lze nalézt vysoce patologická řešení
na základě těchto lineárních řešení prohlížením realit jako vektorového prostoru nad polem racionálních čísel. Všimněte si však, že tato metoda je nekonstruktivní a spoléhá se na existenci a (Hamel) základ pro jakýkoli vektorový prostor se prokázalo použití příkazu Zornovo lemma. (Ve skutečnosti je existence základu pro každý vektorový prostor logicky ekvivalentní s axiom volby.)
Ukázat, že jiná řešení než ta, která jsou definována v
existují, nejprve si všimneme, že protože každý vektorový prostor má základ, existuje základ pro
přes pole
, tj. sada
s majetkem, že jakýkoli
lze jednoznačně vyjádřit jako
, kde
je konečná podmnožina
(tj.,
) a každý
. Bereme na vědomí, že protože žádný výslovný základ pro
přes
lze zapsat, níže definovaná patologická řešení nelze výslovně vyjádřit.
Jak již bylo uvedeno výše, omezení
na
pro každého musí být lineární mapa
. Navíc, protože
pro
, je jasné že
je konstanta proporcionality. Jinými slovy,
je mapa
. Protože jakýkoli
lze vyjádřit jako jedinečnou (konečnou) lineární kombinaci
, a
je aditivní,
je dobře definován pro všechny
a je dána:
.
Je snadné to zkontrolovat
je řešením Cauchyho funkční rovnice dané definicí
na základě prvků,
. Navíc je jasné, že každé řešení má tuto formu. Zejména řešení funkční rovnice jsou lineární právě tehdy
je konstantní ve všech
. Takže v jistém smyslu, navzdory neschopnosti ukázat nelineární řešení, „většina“ (ve smyslu mohutnosti[3]) řešení Cauchyovy funkční rovnice jsou ve skutečnosti nelineární a patologická.
Reference
- ^ Kuczma (2009), s. 130
- ^ V.G. Boltianskii (1978) „Hilbertův třetí problém“, Halsted Press, Washington
- ^ To lze snadno ukázat
; tak tam jsou
funkce
, z nichž každý by mohl být rozšířen na jedinečné řešení funkční rovnice. Na druhou stranu existují pouze
řešení, která jsou lineární.
externí odkazy