Cauchysova funkční rovnice - Cauchys functional equation - Wikipedia

Cauchyho funkční rovnice je funkční rovnice z lineární nezávislost:

Řešení tohoto problému se nazývají aditivní funkce. Přes racionální čísla, lze zobrazit pomocí elementární algebra že existuje jedna rodina řešení, jmenovitě pro jakoukoli racionální konstantu . Přes reálná čísla, , nyní s libovolná reálná konstanta, je rovněž skupinou řešení; mohou však existovat i jiná řešení, která jsou extrémně komplikovaná. Jakákoli z řady pravidelných podmínek, z nichž některé jsou velmi slabé, však vylučuje existenci těchto patologických řešení. Například doplňková funkce je lineární, pokud:

  • je kontinuální (prokázáno Cauchy v roce 1821). Tato podmínka byla v roce 1875 oslabena Darboux který ukázal, že je nutné, aby funkce byla spojitá v jednom bodě.
  • je monotóní v libovolném intervalu.
  • je ohraničený v libovolném intervalu.
  • je Lebesgue měřitelný.

Na druhou stranu, pokud nebudou stanoveny žádné další podmínky , pak (za předpokladu, že axiom volby ) existuje nekonečně mnoho dalších funkcí, které splňují rovnici. To bylo prokázáno v roce 1905 Georg Hamel použitím Hamelovy základny. Takovým funkcím se někdy říká Hamel funkce.[1]

The pátý problém na Hilbertův seznam je zobecněním této rovnice. Funkce tam, kde existuje a reálné číslo takhle jsou známé jako Cauchy-Hamelovy funkce a používají se v Dehn-Hadwigerových invariantech, které se používají při rozšíření Hilbertův třetí problém od 3-D do vyšších dimenzí.[2]

Řešení nad racionální čísla

Jednoduchý argument, zahrnující pouze elementární algebraickou manipulaci, ukazuje, že množina aditivních map je totožný se sadou lineárních map.

Teorém: Nechat být doplňkovou funkcí. Pak je lineární.

Důkaz: Chceme dokázat, že každé řešení k Cauchyho funkční rovnici, , má formu . Je vhodné tyto případy zvážit .

Případ I: ()

Nastavení z toho usuzujeme

.

Případ II: ()

Opakovanou aplikací Cauchyovy rovnice na , získáváme

Střídání podle v (*) a vynásobení výsledku číslem , kde , výnosy

Aplikace (*) na levou stranu (**) pak umožňuje

,

kde je libovolná racionální konstanta.

Případ III: ()

Nastavení ve funkční rovnici a připomínáme to , získáváme

.

V kombinaci s výsledkem vyvozeným pro kladná racionální čísla (Případ II) dává

.

Vezmeme-li v úvahu společně tři výše uvedené případy, můžeme dospět k závěru, že úplná řešení Cauchyho funkční rovnice nad racionálními čísly jsou dána vztahem:

Vlastnosti lineárních řešení nad reálnými čísly

Níže dokazujeme, že jakákoli jiná řešení musí být vysoce patologické funkce. Zejména ukážeme, že jakékoli jiné řešení musí mít vlastnost, kterou má jeho graf jehustý v tj. že jakýkoli disk v rovině (jakeversmall) obsahuje bod z grafu. Z toho lze snadno dokázat různé podmínky uvedené v úvodním odstavci.

Předpokládejme to bez ztráty obecnosti ,a pro některé .

Pak položte .

Nyní ukážeme, jak najít bod v libovolném kruhu, středu ,poloměr kde .

Dát a vyberte racionální číslo blízko k s:

Poté zvolte racionální číslo blízko k s:

Nyní vložte:

Pak pomocí funkční rovnice získáme:

Kvůli našim výše uvedeným možnostem je uvnitř kruhu.

Existence nelineárních řešení nad reálnými čísly

Výše uvedený důkaz linearity platí také pro , kde je zmenšená kopie racionálu. To ukazuje, že jsou povolena pouze lineární řešení, pokud je doména je omezen na takové sady. Obecně tedy máme pro všechny . Jak však ukážeme níže, pro funkce lze nalézt vysoce patologická řešení na základě těchto lineárních řešení prohlížením realit jako vektorového prostoru nad polem racionálních čísel. Všimněte si však, že tato metoda je nekonstruktivní a spoléhá se na existenci a (Hamel) základ pro jakýkoli vektorový prostor se prokázalo použití příkazu Zornovo lemma. (Ve skutečnosti je existence základu pro každý vektorový prostor logicky ekvivalentní s axiom volby.)

Ukázat, že jiná řešení než ta, která jsou definována v existují, nejprve si všimneme, že protože každý vektorový prostor má základ, existuje základ pro přes pole , tj. sada s majetkem, že jakýkoli lze jednoznačně vyjádřit jako , kde je konečná podmnožina (tj., ) a každý . Bereme na vědomí, že protože žádný výslovný základ pro přes lze zapsat, níže definovaná patologická řešení nelze výslovně vyjádřit.

Jak již bylo uvedeno výše, omezení na pro každého musí být lineární mapa . Navíc, protože pro , je jasné že je konstanta proporcionality. Jinými slovy, je mapa . Protože jakýkoli lze vyjádřit jako jedinečnou (konečnou) lineární kombinaci , a je aditivní, je dobře definován pro všechny a je dána:

.

Je snadné to zkontrolovat je řešením Cauchyho funkční rovnice dané definicí na základě prvků, . Navíc je jasné, že každé řešení má tuto formu. Zejména řešení funkční rovnice jsou lineární právě tehdy je konstantní ve všech . Takže v jistém smyslu, navzdory neschopnosti ukázat nelineární řešení, „většina“ (ve smyslu mohutnosti[3]) řešení Cauchyovy funkční rovnice jsou ve skutečnosti nelineární a patologická.

Reference

  1. ^ Kuczma (2009), s. 130
  2. ^ V.G. Boltianskii (1978) „Hilbertův třetí problém“, Halsted Press, Washington
  3. ^ To lze snadno ukázat ; tak tam jsou funkce , z nichž každý by mohl být rozšířen na jedinečné řešení funkční rovnice. Na druhou stranu existují pouze řešení, která jsou lineární.
  • Kuczma, Marek (2009). Úvod do teorie funkčních rovnic a nerovností. Cauchyova rovnice a Jensenova nerovnost. Basilej: Birkhäuser. ISBN  9783764387495.

externí odkazy