Cauchysova funkční rovnice - Cauchys functional equation - Wikipedia

Cauchyho funkční rovnice je funkční rovnice z lineární nezávislost:

{ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y). }

Řešení tohoto problému se nazývají aditivní funkce. Přes racionální čísla, lze zobrazit pomocí elementární algebra že existuje jedna rodina řešení, jmenovitě ${ displaystyle f: x mapsto cx}$ pro jakoukoli racionální konstantu ${ displaystyle c}$ . Přes reálná čísla, ${ displaystyle f: x mapsto cx}$ , nyní s ${ displaystyle c}$ libovolná reálná konstanta, je rovněž skupinou řešení; mohou však existovat i jiná řešení, která jsou extrémně komplikovaná. Jakákoli z řady pravidelných podmínek, z nichž některé jsou velmi slabé, však vylučuje existenci těchto patologických řešení. Například doplňková funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}$ je lineární, pokud:

${ displaystyle f}$ je kontinuální (prokázáno Cauchy v roce 1821). Tato podmínka byla v roce 1875 oslabena Darboux který ukázal, že je nutné, aby funkce byla spojitá v jednom bodě.
${ displaystyle f}$ je monotóní v libovolném intervalu.
${ displaystyle f}$ je ohraničený v libovolném intervalu.
${ displaystyle f}$ je Lebesgue měřitelný.

Na druhou stranu, pokud nebudou stanoveny žádné další podmínky ${ displaystyle f}$ , pak (za předpokladu, že axiom volby ) existuje nekonečně mnoho dalších funkcí, které splňují rovnici. To bylo prokázáno v roce 1905 Georg Hamel použitím Hamelovy základny. Takovým funkcím se někdy říká Hamel funkce.^[1]

The pátý problém na Hilbertův seznam je zobecněním této rovnice. Funkce tam, kde existuje a reálné číslo ${ displaystyle c}$ takhle ${ displaystyle f (cx) neq cf (x) }$ jsou známé jako Cauchy-Hamelovy funkce a používají se v Dehn-Hadwigerových invariantech, které se používají při rozšíření Hilbertův třetí problém od 3-D do vyšších dimenzí.^[2]

Řešení nad racionální čísla

Jednoduchý argument, zahrnující pouze elementární algebraickou manipulaci, ukazuje, že množina aditivních map ${ displaystyle f: mathbb {Q} do mathbb {Q}}$ je totožný se sadou lineárních map.

Teorém: Nechat ${ displaystyle f: mathbb {Q} do mathbb {Q}}$ být doplňkovou funkcí. Pak ${ displaystyle f}$ je lineární.

Důkaz: Chceme dokázat, že každé řešení ${ displaystyle f: mathbb {Q} do mathbb {Q}}$ k Cauchyho funkční rovnici, ${ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}$ , má formu ${ displaystyle f (q) = cq, c v mathbb {Q}}$ . Je vhodné tyto případy zvážit ${ displaystyle q = 0, q> 0, q <0}$ .

Případ I: ( ${ displaystyle q = 0}$ )

Nastavení ${ displaystyle y = 0}$ z toho usuzujeme

{ displaystyle f (x) = f (x) + f (0), quad x v mathbb {Q}}

{ displaystyle Rightarrow f (0) = 0}

.

Případ II: ( ${ displaystyle q> 0}$ )

Opakovanou aplikací Cauchyovy rovnice na ${ Displaystyle f left (x + x + cdots + x right) = f left ( alpha x right)}$ , získáváme

{ Displaystyle alpha f left (x right) = f left ( alpha x right), quad alpha in mathbb {N}, x in mathbb {Q}. quad čtyřkolka (*)}

Střídání ${ displaystyle x}$ podle ${ displaystyle { frac {x} { alpha}}}$ v (*) a vynásobení výsledku číslem ${ displaystyle { frac { beta} { alpha}}}$ , kde ${ displaystyle beta in mathbb {N}}$ , výnosy

{ displaystyle beta f left ({ frac {x} { alpha}} right) = { frac { beta} { alpha}} f left (x right), quad alpha, beta in mathbb {N}, x in mathbb {Q}. quad quad (**)}

Aplikace (*) na levou stranu (**) pak umožňuje

{ displaystyle f left ({ frac { beta} { alpha}} x right) = { frac { beta} { alpha}} f left (x right), quad alpha, beta in mathbb {N}, x in mathbb {Q}}

{ displaystyle Rightarrow f left (qx right) = qf left (x right), quad q, x in mathbb {Q}, q> 0}

{ displaystyle Rightarrow f left (q right) = qf left (1 right) = cq, quad q in mathbb {Q} ^ {+}}

,

kde ${ displaystyle c = f (1) in mathbb {Q}}$ je libovolná racionální konstanta.

Případ III: ( ${ displaystyle q <0}$ )

Nastavení ${ displaystyle y = -x}$ ve funkční rovnici a připomínáme to ${ displaystyle f (0) = 0}$ , získáváme

{ displaystyle f (-x) = - f (x), quad x v mathbb {Q}}

.

V kombinaci s výsledkem vyvozeným pro kladná racionální čísla (Případ II) dává

{ displaystyle f (q) = - f levý (-q pravý) = - { big (} c (-q) { big)} = cq, quad q in mathbb {Q} ^ { -}}

.

Vezmeme-li v úvahu společně tři výše uvedené případy, můžeme dospět k závěru, že úplná řešení Cauchyho funkční rovnice nad racionálními čísly jsou dána vztahem:

{ displaystyle f: mathbb {Q} až mathbb {Q}, quad q mapsto cq, c = f (1) in mathbb {Q}. quad quad blacksquare}

Vlastnosti lineárních řešení nad reálnými čísly

Níže dokazujeme, že jakákoli jiná řešení musí být vysoce patologické funkce. Zejména ukážeme, že jakékoli jiné řešení musí mít vlastnost, kterou má jeho graf ${ displaystyle y = f (x)}$ jehustý v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ tj. že jakýkoli disk v rovině (jakeversmall) obsahuje bod z grafu. Z toho lze snadno dokázat různé podmínky uvedené v úvodním odstavci.

Předpokládejme to bez ztráty obecnosti ${ displaystyle f (q) = q celkem q v mathbb {Q}}$ ,a ${ displaystyle f ( alpha) neq alpha}$ pro některé ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$ .

Pak položte ${ displaystyle f ( alpha) = alpha + delta, delta neq 0}$ .

Nyní ukážeme, jak najít bod v libovolném kruhu, středu ${ displaystyle (x, y)}$ ,poloměr ${ displaystyle r}$ kde ${ displaystyle x, y, r in mathbb {Q}, r> 0, x neq y}$ .

Dát ${ displaystyle beta = { frac {y-x} { delta}}}$ a vyberte racionální číslo ${ displaystyle b neq 0}$ blízko k ${ displaystyle beta}$ s:

{ displaystyle left | beta -b right | <{ frac {r} {2 left | delta right |}}}

Poté zvolte racionální číslo ${ displaystyle a}$ blízko k ${ displaystyle alpha}$ s:

{ displaystyle left | alpha -a right | <{ frac {r} {2 left | b right |}}}

Nyní vložte:

{ displaystyle X = x + b ( alpha -a) }

{ displaystyle Y = f (X) }

Pak pomocí funkční rovnice získáme:

{ displaystyle Y = f (x + b ( alpha -a)) }

{ displaystyle = x + bf ( alpha) -bf (a) }

{ displaystyle = y- delta beta + bf ( alpha) -bf (a) }

{ displaystyle = y- delta beta + b ( alpha + delta) -ba }

{ displaystyle = y + b ( alpha -a) - delta ( beta -b) }

Kvůli našim výše uvedeným možnostem ${ displaystyle (X, Y)}$ je uvnitř kruhu.

Existence nelineárních řešení nad reálnými čísly

Výše uvedený důkaz linearity platí také pro ${ displaystyle f: alpha mathbb {Q} do mathbb {R}}$ , kde ${ displaystyle alpha mathbb {Q}}$ je zmenšená kopie racionálu. To ukazuje, že jsou povolena pouze lineární řešení, pokud je doména ${ displaystyle f}$ je omezen na takové sady. Obecně tedy máme ${ displaystyle f ( alpha q) = f ( alpha) q}$ pro všechny ${ displaystyle alpha in mathbb {R}, q in mathbb {Q}}$ . Jak však ukážeme níže, pro funkce lze nalézt vysoce patologická řešení ${ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}$ na základě těchto lineárních řešení prohlížením realit jako vektorového prostoru nad polem racionálních čísel. Všimněte si však, že tato metoda je nekonstruktivní a spoléhá se na existenci a (Hamel) základ pro jakýkoli vektorový prostor se prokázalo použití příkazu Zornovo lemma. (Ve skutečnosti je existence základu pro každý vektorový prostor logicky ekvivalentní s axiom volby.)

Ukázat, že jiná řešení než ta, která jsou definována v ${ displaystyle f (x) = f (1) x}$ existují, nejprve si všimneme, že protože každý vektorový prostor má základ, existuje základ pro ${ displaystyle mathbb {R}}$ přes pole ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , tj. sada ${ displaystyle { mathcal {B}} podmnožina mathbb {R}}$ s majetkem, že jakýkoli ${ displaystyle x in mathbb {R}}$ lze jednoznačně vyjádřit jako ${ textstyle x = sum _ {i in I} { lambda _ {i} x_ {i}}}$ , kde ${ displaystyle {x_ {i} } _ {i v I}}$ je konečná podmnožina ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ (tj., ${ displaystyle | I | < aleph _ {0}}$ ) a každý ${ displaystyle lambda _ {i} v mathbb {Q}}$ . Bereme na vědomí, že protože žádný výslovný základ pro ${ displaystyle mathbb {R}}$ přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$ lze zapsat, níže definovaná patologická řešení nelze výslovně vyjádřit.

Jak již bylo uvedeno výše, omezení ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle x_ {i} mathbb {Q}}$ pro každého musí být lineární mapa ${ displaystyle x_ {i} v { mathcal {B}}}$ . Navíc, protože ${ displaystyle x_ {i} q mapsto f (x_ {i}) q}$ pro ${ displaystyle q in mathbb {Q}}$ , je jasné že ${ displaystyle f (x_ {i}) nad x_ {i}}$ je konstanta proporcionality. Jinými slovy, ${ displaystyle f: x_ {i} mathbb {Q} až mathbb {R}}$ je mapa ${ displaystyle xi mapsto [f (x_ {i}) / x_ {i}] xi}$ . Protože jakýkoli ${ displaystyle x in mathbb {R}}$ lze vyjádřit jako jedinečnou (konečnou) lineární kombinaci ${ displaystyle x_ {i}}$ , a ${ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}$ je aditivní, ${ displaystyle f (x)}$ je dobře definován pro všechny ${ displaystyle x in mathbb {R}}$ a je dána:

{ displaystyle f (x) = f { Big (} součet _ {i in I} lambda _ {i} x_ {i} { Big)} = součet _ {i in I} f ( x_ {i} lambda _ {i}) = sum _ {i in I} {f (x_ {i}) lambda _ {i}}}

.

Je snadné to zkontrolovat ${ displaystyle f}$ je řešením Cauchyho funkční rovnice dané definicí ${ displaystyle f}$ na základě prvků, ${ displaystyle f: { mathcal {B}} rightarrow mathbb {R}}$ . Navíc je jasné, že každé řešení má tuto formu. Zejména řešení funkční rovnice jsou lineární právě tehdy ${ displaystyle f (x_ {i}) nad x_ {i}}$ je konstantní ve všech ${ displaystyle x_ {i} v { mathcal {B}}}$ . Takže v jistém smyslu, navzdory neschopnosti ukázat nelineární řešení, „většina“ (ve smyslu mohutnosti^[3]) řešení Cauchyovy funkční rovnice jsou ve skutečnosti nelineární a patologická.

Reference

^ Kuczma (2009), s. 130
^ V.G. Boltianskii (1978) „Hilbertův třetí problém“, Halsted Press, Washington
^ To lze snadno ukázat ${ displaystyle mathrm {karta} ({ mathcal {B}}) = { mathfrak {c}}}$ ; tak tam jsou ${ displaystyle { mathfrak {c}} ^ { mathfrak {c}} = 2 ^ { mathfrak {c}}}$ funkce ${ displaystyle f: { mathcal {B}} to mathbb {R}}$ , z nichž každý by mohl být rozšířen na jedinečné řešení funkční rovnice. Na druhou stranu existují pouze ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ řešení, která jsou lineární.

Kuczma, Marek (2009). Úvod do teorie funkčních rovnic a nerovností. Cauchyova rovnice a Jensenova nerovnost. Basilej: Birkhäuser. ISBN 9783764387495.

externí odkazy

Řešení Cauchyho rovnice Rutgersova univerzita
The Hunt for Addi (c) tive monster
Martin Sleziak; et al. (2013). "Přehled základních údajů o Cauchyově funkční rovnici". StackExchange. Citováno 20. prosince 2015.

[1] Kuczma (2009), s. 130

[2] V.G. Boltianskii (1978) „Hilbertův třetí problém“, Halsted Press, Washington

[3] To lze snadno ukázat ${ displaystyle mathrm {karta} ({ mathcal {B}}) = { mathfrak {c}}}$ ; tak tam jsou ${ displaystyle { mathfrak {c}} ^ { mathfrak {c}} = 2 ^ { mathfrak {c}}}$ funkce ${ displaystyle f: { mathcal {B}} to mathbb {R}}$ , z nichž každý by mohl být rozšířen na jedinečné řešení funkční rovnice. Na druhou stranu existují pouze ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ řešení, která jsou lineární.

[1]

[2]

[3]