Funkce Brillouina a Langevina - Brillouin and Langevin functions - Wikipedia

The Funkce Brillouina a Langevina jsou dvojice speciální funkce které se objevují při studiu idealizovaného paramagnetické materiál dovnitř statistická mechanika.

Brillouinova funkce

The Brillouinova funkce^[1][2] je speciální funkce definovaná následující rovnicí:

${ displaystyle B_ {J} (x) = { frac {2J + 1} {2J}} coth left ({ frac {2J + 1} {2J}} x right) - { frac {1 } {2J}} coth left ({ frac {1} {2J}} x right)}$

Funkce se obvykle používá (viz níže) v kontextu, kde X je skutečná proměnná a J je kladné celé číslo nebo poloviční celé číslo. V tomto případě se funkce pohybuje od -1 do 1, blíží se +1 jako ${ displaystyle x až + infty}$ a -1 jako ${ displaystyle x to - infty}$.

Tato funkce je nejlépe známá pro vznik při výpočtu magnetizace ideálu paramagnet. Zejména popisuje závislost magnetizace ${ displaystyle M}$ na aplikovaném magnetické pole ${ displaystyle B}$ a celkové kvantové číslo momentu hybnosti J mikroskopické magnetické momenty materiálu. Magnetizace je dána:^[1]

${ displaystyle M = Ng mu _ { rm {B}} JB_ {J} (x)}$

kde

• ${ displaystyle N}$ je počet atomů na jednotku objemu,
• ${ displaystyle g}$ the g-faktor,
• ${ displaystyle mu _ { rm {B}}}$ the Bohr magneton,
• ${ displaystyle x}$ je poměr Zeeman energie magnetického momentu ve vnějším poli na tepelnou energii ${ displaystyle k _ { rm {B}} T}$:^[1]

${ displaystyle x = J { frac {g mu _ { rm {B}} B} {k _ { rm {B}} T}}}$

• ${ displaystyle k _ { rm {B}}}$ je Boltzmannova konstanta a ${ displaystyle T}$ teplota.

Všimněte si, že v systému SI jednotek ${ displaystyle B}$ uvedený v Tesle znamená magnetické pole, ${ displaystyle B = mu _ {0} H}$, kde ${ displaystyle H}$ je pomocné magnetické pole dané v A / m a ${ displaystyle mu _ {0}}$ je propustnost vakua.

Kliknutím na „zobrazit“ zobrazíte odvození tohoto zákona:

Odvození tohoto zákona popisující magnetizaci ideálního paramagnetu je následující.[1] Nechat z být směr magnetického pole. Z-složka momentu hybnosti každého magnetického momentu (aka azimutální kvantové číslo ) může nabývat jedné z 2J + 1 možných hodnot -J, -J + 1, ..., + J. Každý z nich má kvůli vnějšímu poli jinou energii B: Energie spojená s kvantovým číslem m je ${ displaystyle E_ {m} = - mg mu _ { rm {B}} B = -k _ { rm {B}} Txm / J}$ (kde G je g-faktor, μB je Bohr magneton, a X je definováno v textu výše). Relativní pravděpodobnost každého z nich je dána vztahem Boltzmannův faktor: ${ displaystyle P (m) = e ^ {- E_ {m} / (k _ { rm {B}} T)} / Z = e ^ {xm / J} / Z}$ kde Z (dále jen funkce oddílu ) je normalizační konstanta taková, že pravděpodobnosti se shodují na jednotě. Výpočet Z, výsledek je: ${ displaystyle P (m) = e ^ {xm / J} / vlevo ( sum _ {m '= - J} ^ {J} e ^ {xm' / J} vpravo)}$. Všichni řekli očekávaná hodnota azimutálního kvantového čísla m je ${ displaystyle langle m rangle = (- J) krát P (-J) + cdots + J krát P (J) = doleva ( součet _ {m = -J} ^ {J} mě ^ {xm / J} right) / left ( sum _ {m = -J} ^ {J} e ^ {xm / J} right)}$. Jmenovatelem je a geometrické řady a čitatel je typ aritmeticko – geometrická řada, takže série může být výslovně shrnuta. Po nějaké algebře se výsledek ukáže být ${ displaystyle langle m rangle = JB_ {J} (x)}$ S N magnetické momenty na jednotku objemu, hustota magnetizace je ${ displaystyle M = Ng mu _ { rm {B}} langle m rangle = NgJ mu _ { rm {B}} B_ {J} (x)}$.

Takacs^[3] navrhl následující aproximaci inverzní funkce Brillouinovy ​​funkce:

${ displaystyle B_ {J} (x) ^ {- 1} = { frac {axJ ^ {2}} {1-bx ^ {2}}}}$

kde konstanty ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou definovány jako

${ displaystyle a = { frac {0,5 (1 + 2J) (1-0,055)} {(J-0,27) 2J}} + { frac {0,1} {J ^ {2}}}}$

${ displaystyle b = 0,8}$

Langevinova funkce

Funkce Langevin (modrá čára), ve srovnání s ${ displaystyle tanh (x / 3)}$ (purpurová čára).

V klasickém limitu lze momenty průběžně srovnávat v poli a ${ displaystyle J}$ může převzít všechny hodnoty (${ displaystyle J to infty}$). Funkce Brillouin je poté zjednodušena na Langevinova funkce, pojmenoval podle Paul Langevin:

${ displaystyle L (x) = coth (x) - { frac {1} {x}}}$

Pro malé hodnoty X, funkci Langevin lze aproximovat zkrácením její Taylor série:

${ displaystyle L (x) = { tfrac {1} {3}} x - { tfrac {1} {45}} x ^ {3} + { tfrac {2} {945}} x ^ {5 } - { tfrac {1} {4725}} x ^ {7} + dots}$

Alternativní lépe chovanou aproximaci lze odvodit zLambertův pokračující zlomek expanze tanh (X):

${ displaystyle L (x) = { frac {x} {3 + { tfrac {x ^ {2}} {5 + { tfrac {x ^ {2}} {7 + { tfrac {x ^ { 2}} {9+ ldots}}}}}}}}}$

Pro dost malé X, obě aproximace jsou numericky lepší než přímé vyhodnocení skutečného analytického výrazu, protože tím trpí ztráta významu.

Inverzní Langevinova funkce L⁻¹(X) je definován na otevřeném intervalu (−1, 1). Pro malé hodnoty X, lze jej aproximovat zkrácením jeho Taylor série^[4]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) = 3x + { tfrac {9} {5}} x ^ {3} + { tfrac {297} {175}} x ^ {5} + { tfrac { 1539} {875}} x ^ {7} + tečky}$

a podle Padé přibližný

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) = 3x { frac {35-12x ^ {2}} {35-33x ^ {2}}} + O (x ^ {7}).}$

Grafy relativní chyby pro x ∈ [0, 1) pro Cohenovu a Jedynakovu aproximaci

Protože tato funkce nemá uzavřený tvar, je užitečné mít aproximace platné pro libovolné hodnoty X. A. Cohen publikoval jednu populární aproximaci platnou v celém rozsahu (−1, 1):^[5]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) přibližně x { frac {3-x ^ {2}} {1-x ^ {2}}}.}$

To má maximální relativní chybu 4,9% v blízkosti X = ±0.8. Větší přesnosti lze dosáhnout použitím vzorce uvedeného R. Jedynakem:^[6]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) přibližně x { frac {3,0-2,6x + 0,7x ^ {2}} {(1-x) (1 + 0,1x)}},}$

platný pro X ≥ 0. Maximální relativní chyba pro tuto aproximaci je 1,5% v blízkosti x = 0,85. Ještě větší přesnosti lze dosáhnout použitím vzorce uvedeného M. Krögerem:^[7]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) přibližně { frac {3x-x (6x ^ {2} + x ^ {4} -2x ^ {6}) / 5} {1-x ^ {2 }}}}$

Maximální relativní chyba pro tuto aproximaci je menší než 0,28%. Přesnější přiblížení uvedl R. Petrosyan:^[8]

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) přibližně 3x + { frac {x ^ {2}} {5}} sin vlevo ({ frac {7x} {2}} vpravo) + { frac {x ^ {3}} {1-x}},}$

platný pro X ≥ 0. Maximální relativní chyba pro výše uvedený vzorec je menší než 0,18%.^[8]

Nová aproximace daná R. Jedynakem,^[9] je nejlépe vykázaným přibližným v komplexitě 11:

${ displaystyle L ^ {- 1} (x) přibližně { frac {x (3-1,00651x ^ {2} -0,962251x ^ {4} + 1,47353x ^ {6} -0,48953x ^ {8}) } {(1-x) (1 + 1,01524x)}},}$

platný pro X ≥ 0. Jeho maximální relativní chyba je menší než 0,076%.^[9]

Aktuální nejmodernější diagram aproximantů inverzní Langevinovy ​​funkce představuje obrázek níže. Platí pro racionální / padé aproximanty,^[7][9]

Současný nejmodernější diagram aproximantů inverzní Langevinovy ​​funkce,^[7][9]

Nedávno publikovaný článek R. Jedynaka,^[10] poskytuje řadu optimálních přiblížení k inverzní Langevinově funkci. Níže uvedená tabulka uvádí výsledky se správným asymptotickým chováním,^[7][9][10].

Porovnání relativních chyb pro různé optimální racionální aproximace, které byly vypočítány s omezeními (dodatek 8, tabulka 1)^[10]

Složitost	Optimální aproximace	Maximální relativní chyba [%]
3	${ displaystyle R_ {2,1} (y) = { frac {-2y ^ {2} + 3y} {1-y}}}$	13
4	${ displaystyle R_ {3,1} (y) = { frac {0,88y ^ {3} -2,88y ^ {2} + 3y} {1-y}}}$	0.95
5	${ displaystyle R_ {3,2} (y) = { frac {1,1571y ^ {3} -3,3533y ^ {2} + 3y} {(1-y) (1-0,19962y)}}}$	0.56
6	${ displaystyle R_ {5,1} (y) = { frac {0,756y ^ {5} -1,383y ^ {4} + 1,5733y ^ {3} -2,9463y ^ {2} + 3y} {1- y}}}$	0.16
7	${ displaystyle R_ {3,4} (y) = { frac {2.14234y ^ {3} -4.22785y ^ {2} + 3y} {(1-y) left (0,71716y ^ {3} -0,41103 y ^ {2} -0,39165y + 1 vpravo)}}}$	0.082

Nedávno také Benítez a Montáns navrhli efektivní aproximant blízkého stroji založený na spline interpolacích,^[11] kde je také uveden kód Matlabu ke generování spline aproximantu a k porovnání mnoha dříve navržených aproximantů ve všech funkčních doménách.

Vysokoteplotní limit

Když ${ displaystyle x ll 1}$ tj. kdy ${ displaystyle mu _ { rm {B}} B / k _ { rm {B}} T}$ je malý, vyjádření magnetizace lze aproximovat pomocí Curieho zákon:

${ displaystyle M = C cdot { frac {B} {T}}}$

kde ${ displaystyle C = { frac {Ng ^ {2} J (J + 1) mu _ { rm {B}} ^ {2}} {3k _ { rm {B}}}}}$ je konstanta. Lze si to povšimnout ${ displaystyle g { sqrt {J (J + 1)}}}$ je efektivní počet Bohrových magnetonů.

Limit vysokého pole

Když ${ displaystyle x to infty}$, funkce Brillouin jde na 1. Magnetizace saturuje magnetické momenty zcela zarovnané s aplikovaným polem:

${ displaystyle M = Ng mu _ { rm {B}} J}$

Reference