Brethertonova rovnice - Bretherton equation

v matematika, Brethertonova rovnice je nelineární parciální diferenciální rovnice představil Francis Bretherton v roce 1964:^[1]

${ displaystyle u_ {tt} + u_ {xx} + u_ {xxxx} + u = u ^ {p},}$

s ${ displaystyle p}$ celé číslo a ${ displaystyle p geq 2.}$ Zatímco ${ displaystyle u_ {t}, u_ {x}}$ a ${ displaystyle u_ {xx}}$ označit částečné derivace z skalární pole ${ displaystyle u (x, t).}$

Původní rovnice studovaná Brethertonem má kvadratický nelinearita, ${ displaystyle p = 2.}$ Ne zachází s případem ${ displaystyle p = 3}$ dvěma různými metodami: Whitham zprůměrován Lagrangeově metoda a metoda více stupnic.^[2]

Brethertonova rovnice je modelová rovnice pro studium slabě nelineární disperze vln. Používá se ke studiu interakce harmonické podle nelineární rezonance.^[3][4] Bretherton získal analytická řešení, pokud jde o Jacobiho eliptické funkce.^[1][5]

Variační formulace

Brethertonova rovnice pochází z Lagrangian hustota:^[6]

${ displaystyle { mathcal {L}} = { tfrac {1} {2}} vlevo (u_ {t} vpravo) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} vlevo (u_ {x} right) ^ {2} - { tfrac {1} {2}} left (u_ {xx} right) ^ {2} - { tfrac {1} {2}} u ^ {2 } + { tfrac {1} {p + 1}} u ^ {p + 1}}$

skrz Euler-Lagrangeova rovnice:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} vlevo ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné u_ {t}}} pravé) + { frac { částečné} { částečné x}} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné u_ {x}}} pravé) - { frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} levé ({ frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné u_ {xx}}} pravé) - { frac { částečné { mathcal { L}}} { částečné u}} = 0.}$

Rovnici lze také formulovat jako a Hamiltonovský systém:^[7]

${ displaystyle { begin {aligned} u_ {t} & - { frac { delta {H}} { delta v}} = 0, v_ {t} & + { frac { delta {H }} { delta u}} = 0, end {zarovnáno}}}$

ve smyslu funkční deriváty zahrnující Hamiltonian ${ displaystyle H:}$

${ displaystyle H (u, v) = int { mathcal {H}} (u, v; x, t) ; mathrm {d} x}$   a   ${ displaystyle { mathcal {H}} (u, v; x, t) = { tfrac {1} {2}} v ^ {2} - { tfrac {1} {2}} vlevo (u_ {x} right) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} left (u_ {xx} right) ^ {2} + { tfrac {1} {2}} u ^ {2 } - { tfrac {1} {p + 1}} u ^ {p + 1}}$

s ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ Hamiltoniánská hustota - následně ${ displaystyle v = u_ {t}.}$ Hamiltonian ${ displaystyle H}$ je celková energie systému a je konzervovaný přesčas.^[7][8]

Poznámky

Reference