Brahmaguptasův interpolační vzorec - Brahmaguptas interpolation formula - Wikipedia

Brahmaguptův interpolační vzorec je polynom druhého řádu interpolační vzorec vyvinutý společností indický matematik a astronom Brahmagupta (598–668 CE ) na počátku 7. století CE. The Sanskrt dvojverší popisující vzorec lze najít v doplňkové části Khandakadyaka dílo Brahmagupta dokončeno v roce 665 CE.^[1] Stejné dvojverší se objevuje u Brahmagupty dříve Dhyana-graha-adhikara, který byl pravděpodobně napsán „těsně na začátku druhé čtvrtiny 7. století n. l., ne-li dříve“.^[1] Brahmagupta byl jedním z prvních, kdo popsal a použil interpolační vzorec pomocí druhého řádu rozdíly.^[2]^[3]

Brahmagupův interpolační vzorec je ekvivalentní současnému Newton – Stirlingovi druhého řádu druhého řádu interpolační vzorec.

Předkola

Je dána sada tabulkových hodnot funkce $F (X)$ v níže uvedené tabulce je třeba vypočítat hodnotu $F (A)$ , $X r < A < X r +1$ .

$X$	$X 1$	$X 2$	...	$X r$	$X r +1$	$X r +2$	...	$X n$
$F (X r)$	$F 1$	$F 2$	...	$F r$	$F r +1$	$F r +2$	...	$F n$

Za předpokladu, že postupně tabulované hodnoty $X$ jsou rovnoměrně rozmístěny se společným roztečem $h$ , Aryabhata uvažoval o tabulce prvních rozdílů v tabulce hodnot funkce. Psaní

{ displaystyle D_ {r} = f_ {r + 1} -f_ {r}}

lze vytvořit následující tabulku:

$X$	$X 2$	...	$X r$	$X r +1$	...	$X n$
Rozdíly	$D 1$	...	$D r$	$D r +1$	...	$D n$

Matematici před Brahmaguptou používali jednoduchý lineární interpolace vzorec. Lineární interpolační vzorec pro výpočet $F (A)$ je

{ displaystyle f (a) = f_ {r} + tD_ {r}}

kde

{ displaystyle t = { frac {a-x_ {r}} {h}}}

.

Pro výpočet $F (A)$ Nahrazuje Brahmagupta $D r$ s jiným výrazem, který dává přesnější hodnoty a který se rovná použití interpolačního vzorce druhého řádu.

Brahmaguptaův popis systému

V Brahmaguptově terminologii je rozdíl $D r$ je gatakhanda, význam minulý rozdíl nebo rozdíl, který byl překřížen, rozdíl $D r +1$ je bhogyakhanda který je rozdíl teprve přijde. Vikala je množství v minutách, o které byl interval pokryt v bodě, kde chceme interpolovat. V současných notacích to je $A - X r$ . Nový výraz, který nahrazuje $F r +1 - F r$ je nazýván sphuta-bhogyakhanda. Popis sphuta-bhogyakhanda je obsažen v následujícím sanskrtském dvojverší (Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8):^[1]

Brahmagupasova interpolační formule v Devanagari.jpg ^{[je zapotřebí objasnění (text nutný)]}

Toto bylo přeloženo pomocí komentáře Bhattolpaly (10. století n. L.) Takto:^[1]^[4]

Znásobte vikala o poloviční rozdíl oproti gatakhanda a bhogyakhanda a produkt vydělíte 900. Výsledek připočítáte k polovině součtu gatakhanda a bhogyakhanda pokud je jejich poloviční součet menší než bhogyakhanda, odečtěte, pokud je větší. (Výsledkem je v každém případě sphuta-bhogyakhanda správný tabulkový rozdíl.)

Tento vzorec byl původně uveden pro výpočet hodnot sinusové funkce, pro kterou byl běžný interval v základní tabulce 900 minut nebo 15 stupňů. Takže odkaz na 900 je ve skutečnosti odkazem na společný interval $h$ .

V moderní notaci

Brahmaguptova metoda výpočtu shutabhogyakhanda lze formulovat v moderní notaci takto:

sphuta-bhogyakhanda

{ displaystyle displaystyle = { frac {D_ {r} + D_ {r-1}} {2}} pm t { frac {| D_ {r} -D_ {r-1} |} {2} }.}

The ± znamení je třeba vzít podle toho, zda $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2 (D r + D r +1)$ je menší než nebo větší než $D r +1$ , nebo ekvivalentně podle toho, zda $D r < D r +1$ nebo $D r > D r +1$ . Výraz Brahmagupty lze vyjádřit v následující podobě:

sphuta-bhogyakhanda

{ displaystyle displaystyle = { frac {D_ {r} + D_ {r-1}} {2}} + t { frac {D_ {r} -D_ {r-1}} {2}}.}

Tento korekční faktor poskytuje následující přibližnou hodnotu pro $F (A)$ :

{ displaystyle { begin {aligned} f (a) & = f_ {r} + t times { text {sphuta-bhogyakhanda}} & = f_ {r} + t { frac {D_ {r} + D_ {r-1}} {2}} + t ^ {2} { frac {D_ {r} -D_ {r-1}} {2}}. End {zarovnáno}}}

Toto je Stirlingovo interpolační vzorec zkrácen na rozdíly druhého řádu.^[5]^[6] Není známo, jak Brahmagupta dospěl ke svému interpolačnímu vzorci.^[1] Brahmagupta dal samostatný vzorec pro případ, kdy hodnoty nezávislé proměnné nejsou rovnoměrně rozmístěny.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Gupta, R. C. „Interpolace druhého řádu v indické matematice až do patnáctého století“. Indian Journal of History of Science. 4 (1 & 2): 86–98.
^ Van Brummelen, Glen (2009). Matematika nebes a Země: raná historie trigonometrie. Princeton University Press. str. 329. ISBN 9780691129730. (str.111)
^ Meijering, Erik (březen 2002). „Chronologie interpolace od starověké astronomie po moderní zpracování signálu a obrazu“. Sborník IEEE. 90 (3): 319–321. doi:10.1109/5.993400.
^ Raju, C K (2007). Kulturní základy matematiky: podstata matematického důkazu a přenos počtu z Indie do Evropy v 16. století. CE. Pearson Education India. 138–140. ISBN 9788131708712.
^ Milne-Thomson, Louis Melville (2000). Počet konečných rozdílů. AMS Chelsea Publishing. str. 67–68. ISBN 9780821821077.
^ Hildebrand, Francis Begnaud (1987). Úvod do numerické analýzy. Publikace Courier Dover. str.138–139. ISBN 9780486653631.

[Gupta-1] A ^b ^C ^d ^E Gupta, R. C. „Interpolace druhého řádu v indické matematice až do patnáctého století“. Indian Journal of History of Science. 4 (1 & 2): 86–98.

[2] Van Brummelen, Glen (2009). Matematika nebes a Země: raná historie trigonometrie. Princeton University Press. str. 329. ISBN 9780691129730. (str.111)

[3] Meijering, Erik (březen 2002). „Chronologie interpolace od starověké astronomie po moderní zpracování signálu a obrazu“. Sborník IEEE. 90 (3): 319–321. doi:10.1109/5.993400.

[Raju-4] Raju, C K (2007). Kulturní základy matematiky: podstata matematického důkazu a přenos počtu z Indie do Evropy v 16. století. CE. Pearson Education India. 138–140. ISBN 9788131708712.

[5] Milne-Thomson, Louis Melville (2000). Počet konečných rozdílů. AMS Chelsea Publishing. str. 67–68. ISBN 9780821821077.

[6] Hildebrand, Francis Begnaud (1987). Úvod do numerické analýzy. Publikace Courier Dover. str.138–139. ISBN 9780486653631.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]