Bochner – Riesz znamená - Bochner–Riesz mean

The Bochner – Riesz znamená je metoda summability často se používá v harmonická analýza při zvažování konvergence Fourierova řada a Fourierovy integrály. To bylo představeno Salomon Bochner jako modifikace Riesz znamená.

Definice

Definovat

${ displaystyle ( xi) _ {+} = { begin {cases} xi, & { mbox {if}} xi> 0 0, & { mbox {jinak}}. end {případy }}}$

Nechat ${ displaystyle f}$ být periodickou funkcí, o které se uvažuje jako o n-torus, ${ displaystyle mathbb {T} ^ {n}}$, a s Fourierovými koeficienty ${ displaystyle { hat {f}} (k)}$ pro ${ displaystyle k in mathbb {Z} ^ {n}}$. Pak Bochner – Riesz znamená složitý řád ${ displaystyle delta}$, ${ displaystyle B_ {R} ^ { delta} f}$ z (kde ${ displaystyle R> 0}$ a ${ displaystyle { mbox {Re}} ( delta)> 0}$) jsou definovány jako

${ displaystyle B_ {R} ^ { delta} f ( theta) = { podmnožina {| k | leq R} { součet _ {k v mathbb {Z} ^ {n}}}}} left (1 - { frac {| k | ^ {2}} {R ^ {2}}} right) _ {+} ^ { delta} { hat {f}} (k) e ^ {2 pi ik cdot theta}.}$

Analogicky, pro funkci ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ s Fourierovou transformací ${ displaystyle { hat {f}} ( xi)}$, Bochner – Rieszův prostředek komplexního řádu ${ displaystyle delta}$, ${ displaystyle S_ {R} ^ { delta} f}$ (kde ${ displaystyle R> 0}$ a ${ displaystyle { mbox {Re}} ( delta)> 0}$) jsou definovány jako

${ displaystyle S_ {R} ^ { delta} f (x) = int _ {| xi | leq R} left (1 - { frac {| xi | ^ {2}} {R ^ {2}}} vpravo) _ {+} ^ { delta} { hat {f}} ( xi) e ^ {2 pi ix cdot xi} , d xi.}$

Aplikace na konvoluční operátory

Pro ${ displaystyle delta> 0}$ a ${ displaystyle n = 1}$, ${ displaystyle S_ {R} ^ { delta}}$ a ${ displaystyle B_ {R} ^ { delta}}$ lze psát jako konvoluce operátory, kde je konvoluční jádro přibližná identita. Jako takový v těchto případech s ohledem na téměř všude konvergence prostředků Bochner – Riesz pro funkce v ${ displaystyle L ^ {p}}$ mezery je mnohem jednodušší než problém "normální" konvergence Fourierových řad / integrálů téměř všude (odpovídá ${ displaystyle delta = 0}$).

Ve vyšších dimenzích se jádra konvoluce stávají „horšími“: konkrétně pro

${ displaystyle delta leq { tfrac {n-1} {2}}}$

jádro již není integrovatelné. Zde se ustavování téměř všude konvergence stává odpovídajícím způsobem obtížnějším.

Bochner – Rieszova domněnka

Další otázkou je otázka, pro kterou ${ displaystyle delta}$ a který ${ displaystyle p}$ Bochner – Riesz znamená ${ displaystyle L ^ {p}}$ funkce sbíhají v normě. Tato otázka má zásadní význam pro ${ displaystyle n geq 2}$, protože pravidelná konvergence sférických norem (opět odpovídá ${ displaystyle delta = 0}$) selže ${ displaystyle L ^ {p}}$ když ${ displaystyle p neq 2}$. To bylo prokázáno v příspěvku z roku 1971 od Charles Fefferman.^[1]

Výsledkem přenosu je ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a ${ displaystyle mathbb {T} ^ {n}}$ problémy jsou navzájem rovnocenné a jako takové argumentem pomocí jednotný princip omezenosti, konkrétně ${ displaystyle p in (1, infty)}$, ${ displaystyle L ^ {p}}$ konvergence norem následuje v obou případech přesně pro ty ${ displaystyle delta}$ kde ${ displaystyle (1- | xi | ^ {2}) _ {+} ^ { delta}}$ je symbol z ${ displaystyle L ^ {p}}$ ohraničený Fourierův multiplikátor operátor.

Pro ${ displaystyle n = 2}$, tato otázka byla zcela vyřešena, ale pro ${ displaystyle n geq 3}$, byla zodpovězena pouze částečně. Případ ${ displaystyle n = 1}$ zde není zajímavé, jak následuje konvergence pro ${ displaystyle p in (1, infty)}$ v nejtěžším ${ displaystyle delta = 0}$ případ v důsledku ${ displaystyle L ^ {p}}$ omezenost Hilbertova transformace a argument o Marcel Riesz.

Definovat ${ displaystyle delta (p)}$"kritický index", as

${ displaystyle max (n | 1 / p-1/2 | -1 / 2,0)}$.

Pak Bochner – Riesz dohad tvrdí, že

${ displaystyle delta> delta (p)}$

je nezbytnou a dostatečnou podmínkou pro a ${ displaystyle L ^ {p}}$ ohraničený Fourierův multiplikátor. Je známo, že podmínka je nutná.^[2]

Reference

Další čtení

• Lu, Shanzhen (2013). Bochner-Riesz znamená na euklidovských prostorech (První vydání). World Scientific. ISBN  978-981-4458-76-4.
• Grafakos, Loukas (2008). Klasická Fourierova analýza (Druhé vydání.). Berlín: Springer. ISBN  978-0-387-09431-1.
• Grafakos, Loukas (2009). Moderní Fourierova analýza (Druhé vydání.). Berlín: Springer. ISBN  978-0-387-09433-5.
• Stein, Elias M. & Murphy, Timothy S. (1993). Harmonická analýza: Metody reálných proměnných, ortogonalita a oscilační integrály. Princeton: Princeton University Press. ISBN  0-691-03216-5.