Bayesovský odhad šablon ve výpočetní anatomii - Bayesian estimation of templates in computational anatomy

Zdá se, že hlavní přispěvatel do tohoto článku má úzké spojení s jeho předmětem. Může vyžadovat vyčištění, aby vyhovovalo zejména obsahovým zásadám Wikipedie neutrální hledisko. Diskutujte prosím dále o diskusní stránka. (Prosince 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Statistická analýza tvaru a statistická tvarová teorie v výpočetní anatomie (CA) se provádí ve vztahu k šablonám, proto se jedná o lokální teorii statistiky tvaru. Odhad šablony v výpočetní anatomie z populací pozorování je základní operace všudypřítomná pro disciplínu. Několik metod pro odhad šablony založených na Bayesian pravděpodobnost a statistika v náhodný orbitální model CA se objevily u podmanifoldů^[1][2] a husté objemy obrazu.^[3]

Model deformovatelné šablony tvarů a forem prostřednictvím akcí různých skupin

Lineární algebra je jedním z ústředních nástrojů moderního strojírenství. Středem lineární algebry je pojem oběžné dráhy vektorů, kde se tvoří matice skupiny (matice s inverzemi a identitou), které působí na vektory. V lineární algebře jsou rovnice popisující oběžné prvky vektory lineární ve vektorech, na které působí matice. v výpočetní anatomie prostor všech tvarů a forem je modelován jako oběžná dráha podobná vektorům v lineární algebře, avšak skupiny nepůsobí lineárně jako matice a tvary a formy nejsou aditivní. Ve výpočetní anatomii je přídavek v podstatě nahrazen zákonem složení.

Ústřední skupina jednající CA definovala objemy v roce 2006 ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ jsou difeomorfismy ${ displaystyle { mathcal {G}} doteq Diff}$ což jsou mapování s 3 složkami ${ displaystyle phi ( cdot) = ( phi _ {1} ( cdot), phi _ {2} ( cdot), phi _ {3} ( cdot))}$zákon o složení funkcí ${ displaystyle phi circ phi ^ { prime} ( cdot) doteq phi ( phi ^ { prime} ( cdot))}$, s inverzní ${ displaystyle phi circ phi ^ {- 1} ( cdot) = phi ( phi ^ {- 1} ( cdot)) = id}$.

Skupiny a skupina znají inženýrskou komunitu s univerzální popularizací a standardizací lineární algebra jako základní model

Populární skupinová akce je na skalárních obrázcích, ${ displaystyle I (x), x in { mathbb {R}} ^ {3}}$, s akcí na pravé straně přes inverzní.

${ displaystyle phi cdot I (x) = I circ phi ^ {- 1} (x), x in { mathbb {R}} ^ {3}.}$

Pro dílčírozdělovače ${ displaystyle X podmnožina { mathbb {R}} ^ {3} v { mathcal {M}}}$, parametrizované grafem nebo ponoření ${ displaystyle m (u), u v U}$, difeomorfní akce tok polohy

${ Displaystyle phi cdot m (u) doteq phi circ m (u), u v U.}$

Několik skupinové akce ve výpočetní anatomii byly definovány.

Geodetické určování polohy pomocí Riemannova exponenciálu

Pro studium deformovatelného tvaru v CA byla obecnější skupinou difeomorfismu skupina volby, což je nekonečný rozměrný analog. Skupiny vysoce dimenzionálních difeomorfismů používané ve výpočetní anatomii jsou generovány plynulými toky ${ displaystyle phi _ {t}, t v [0,1]}$ které splňují Lagrangeovu a Eulerovu specifikaci tokových polí splňujících obyčejnou diferenciální rovnici:

Zobrazuje Lagrangeův tok souřadnic ${ displaystyle x v X}$ s přidruženými vektorovými poli ${ displaystyle v_ {t}, t v [0,1]}$ vyhovující obyčejné diferenciální rovnici ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} ( phi _ {t}), phi _ {0} = id}$.

${ displaystyle { frac {d} {dt}} phi _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, phi _ {0} = id ;}$

(Lagrangeův tok)

s ${ displaystyle v doteq (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$ vektorová pole ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ nazval Eulerian rychlost částic v poloze ${ displaystyle phi}$ toku. Vektorová pole jsou funkce ve funkčním prostoru, modelované jako vyhlazování Hilbert prostor s vektorovými poli s 1-spojitou derivací. Pro ${ displaystyle v_ {t} = { dot { phi}} _ {t} circ phi _ {t} ^ {- 1}, t v [0,1]}$, s inverzní funkcí pro tok danou

${ displaystyle { frac {d} {dt}} phi _ {t} ^ {- 1} = - (D phi _ {t} ^ {- 1}) v_ {t}, phi _ { 0} ^ {- 1} = id ,}$

(Eulerianflow)

a ${ displaystyle 3 krát 3}$ Jakobiánská matice pro proudění dovnitř ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ uveden jako ${ displaystyle D phi doteq vlevo ({ frac { částečné phi _ {i}} { částečné x_ {j}}} vpravo).}$

Toky byly poprvé zavedeny^[4][5] pro velké deformace při porovnávání obrázků; ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} (x)}$ je okamžitá rychlost částice ${ displaystyle x}$ v čase ${ displaystyle t}$. s vektorovými poli označovanými jako Eulerianova rychlost částic v poloze toku. Přístup modelování použitý v CA vynucuje podmínku kontinuální diferencovatelnosti na vektorových polích modelováním prostoru vektorových polí ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ jako reprodukce jádra Hilbertova prostoru (RKHS), s normou definovanou operátorem diferenciálu 1-1${ displaystyle A: V rightarrow V ^ {*}}$„Zelená inverze ${ displaystyle K = A ^ {- 1}}$. Norma podle ${ displaystyle | v | _ {V} ^ {2} doteq int _ {X} Av cdot vdx, v ve V,}$ kde pro ${ displaystyle sigma (v) doteq Av ve V ^ {*}}$ zobecněná funkce nebo distribuce ${ displaystyle ( sigma mid w) doteq int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} součet _ {i} w_ {i} (x) sigma _ {i} (dx) }$. Od té doby ${ displaystyle A}$ je diferenciální operátor, konečnost normálního čtverce ${ displaystyle int _ {X} Av cdot vdx < infty}$ zahrnuje deriváty diferenciálního operátoru, což znamená hladkost vektorových polí.

Pro zajištění plynulého toku difeomorfismů s inverzí, vektorová pole ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ musí být alespoň 1krát nepřetržitě diferencovatelné v prostoru^[6][7] které jsou modelovány jako prvky Hilbertova prostoru ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ za použití Sobolev vkládání vět tak, aby každý prvek ${ displaystyle v_ {i} v H_ {0} ^ {3}, i = 1,2,3,}$ má 3-čtvercové integrovatelné deriváty. Tím pádem ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ plynulé vložení do jednorázových nepřetržitě rozlišitelných funkcí.^[6][7] Skupina difeomorfismu jsou toky s vektorovými poli absolutně integrovatelnými v Sobolevově normě:

${ displaystyle Diff_ {V} doteq { varphi = phi _ {1}: { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, phi _ {0} = id, int _ {0} ^ {1} | v_ {t} | _ {V} , dt < infty } .}$

(Diffeomorphism Group)

Bayesův model výpočetní anatomie

Centrální statistický model výpočetní anatomie v kontextu lékařské zobrazování je model zdrojového kanálu Shannonova teorie;^[8][9][10] zdrojem je deformovatelná šablona obrázků ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$, výstupy kanálu jsou zobrazovací senzory s pozorovatelnými ${ displaystyle I ^ {D} v { mathcal {I}} ^ { mathcal {D}}}$ . Variace v anatomických konfiguracích jsou modelovány odděleně od zobrazovacích metod Medical Počítačová axiální tomografie stroj, MRI stroj, PET stroj a další. The Bayesova teorie modeluje předchozí na zdroji obrázků ${ displaystyle pi _ { mathcal {I}} ( cdot)}$ na ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$a podmíněná hustota na pozorovatelných snímcích ${ displaystyle p ( cdot | I) { text {on}} I ^ {D} v { mathcal {I}} ^ { mathcal {D}}}$, podmíněno ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$. Pro obrázky s akce skupiny difeomorfismus ${ displaystyle I doteq phi cdot I _ { mathrm {temp}}, phi v rozdílu_ {V}}$, potom předchozí ve skupině ${ displaystyle pi _ {rozdíl_ {V}} ( cdot)}$ vyvolá předchozí na obrázcích ${ displaystyle pi _ { mathcal {I}} ( cdot)}$, psaný jako hustoty log-posterior má formu

${ Displaystyle log p ( phi cdot I mid I ^ {D}) simeq log p (I ^ {D} mid phi cdot I) + log pi _ { operatorname {rozdíl } _ {V}} ( phi) .}$

Maximální a posteriori odhad Odhad (MAP) je pro moderní použití zásadní statistická teorie. Zajímavé parametry ${ displaystyle theta v theta}$ mít mnoho forem včetně (i) ​​typu onemocnění, jako je neurodegenerativní nebo neurovývojový nemoci, (ii) strukturní typ, jako jsou kortikální nebo subkortikální struktury v problémech spojených se segmentací obrazů, a (iii) rekonstrukce šablony z populací. Vzhledem k pozorovanému obrazu ${ displaystyle I ^ {D}}$, Odhad MAP maximalizuje zadní:

${ displaystyle { hat { theta}} doteq arg max _ { theta in Theta} log p ( theta mid I ^ {D}).}$

Zobrazeny jsou tvarové šablony amygdaly, hipokampu a komory generované ze 754 vzorků ADNI. Horní panel označuje rozdíly ve skupině lokalizovaných povrchových ploch mezi normálním stárnutím a Alzheimerovou chorobou (pozitivní představuje atrofii u Alzheimerovy choroby, zatímco negativní naznačuje expanzi). Dolní panel označuje skupinové rozdíly v anualizovaných rychlostech změn v lokalizovaných povrchových oblastech (pozitivní představuje rychlejší rychlosti atrofie (nebo pomalejší rychlosti expanze) u Alzheimerovy choroby, zatímco negativní naznačuje rychlejší rychlosti expanze (nebo nižší rychlosti atrofie) u Alzheimerovy choroby); převzato z Tang et al.^[11][12][13]

To vyžaduje výpočet podmíněných pravděpodobností ${ displaystyle p ( theta mid I ^ {D}) = { frac {p (I ^ {D}, theta)} {p (I ^ {D})}}}$. Vícenásobný model oběžné dráhy atlasu náhodně rozděluje početnou sadu atlasů ${ displaystyle {I_ {a}, a in { mathcal {A}} }}$. Model na obrázcích na oběžné dráze má formu multimodální distribuce směsi

${ displaystyle p (I ^ {D}, theta) = textstyle sum _ {a in { mathcal {A}}} p (I ^ {D}, theta mid I_ {a}) pi _ { mathcal {A}} (a) .}$

Povrchové šablony pro výpočetní neuroanatomii a subkortikální struktury

Studie subkortikální neuroanatomie byla předmětem mnoha studií. Od původních publikací Csernanského a kolegů o hipokampální změně u schizofrenie,^{[14][15][16][17]} Alzheimerova choroba,^[18][19][20] a deprese,^[21][22] mnoho neuroanatomických tvarových statistických studií bylo nyní dokončeno pomocí šablon vytvořených ze všech subkortikálních struktur pro depresi,^[23] Alzheimerova choroba,^{[11][12][24][25][26][27]} Bipolární porucha, ADHD,^[28] autismus,^[29] a Huntingtonova nemoc.^[30][31] Šablony byly generovány pomocí Bayesianových odhadů dat zpět na Ma, Younes a Miller.^[32]

Na přiloženém obrázku je uveden příklad šablon subkortikální struktury generovaných z T1 váženého zobrazování magnetickou rezonancí Tang a kol.^[11][12][13] pro studium Alzheimerovy choroby v populaci subjektů ADNI.

Odhad povrchu v srdeční výpočetní anatomii

Zobrazení atlasů populace identifikujících regionální rozdíly v radiální tloušťce na konci systolické srdeční fáze mezi pacienty s hypertrofickou kardiomyopatií (vlevo) a hypertenzní chorobou srdce (vpravo). Šedá síťovina ukazuje populační šablonu společného povrchu, přičemž barevná mapa představuje bazilární septální a přední stěnu epikardu s větší radiální tloušťkou u pacientů s hypertrofickou kardiomyopatií vs. hypertenzní srdeční chorobou.^[33]

Nyní bylo provedeno mnoho studií o srdeční hypertrofii a úloze strukturálních integrat ve funkční mechanice srdce. Siamak Ardekani pracuje na populacích srdečních anatomií rekonstruujících souřadnicové systémy atlasu z populací.^[34][35][36] Obrázek vpravo ukazuje výpočetní metodu srdeční anatomie používanou k identifikaci regionálních rozdílů v radiální tloušťce na konci systolické srdeční fáze mezi pacienty s hypertrofickou kardiomyopatií (vlevo) a hypertenzním srdečním onemocněním (vpravo). Barevná mapa umístěná na společné povrchové šabloně (šedá síťovina) představuje oblast (bazilární septal a přední stěnu epikardu), která má v průměru významně větší radiální tloušťku u pacientů s hypertrofickou kardiomyopatií vs. hypertenzní chorobou srdce (odkaz níže).^[33]

MAP Odhad šablon svazků z populací a EM algoritmus

Empirické generování šablon z populací je základní disciplínou všudypřítomnou pro danou disciplínu. Objevilo se několik metod založených na Bayesiánských statistikách pro podmanifer a husté objemy obrazu. ${ displaystyle I ^ {D_ {1}}, I ^ {D_ {2}}, dots}$ problém je odhadnout šablonu na oběžné dráze hustých obrazů ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$. Main postup trvá počáteční hypertemplate ${ displaystyle I_ {0} in { mathcal {I}}}$ jako výchozí bod a modeluje šablonu na oběžné dráze pod neznámým, aby se odhadoval diffeomorfismus ${ displaystyle I doteq phi _ {0} cdot I_ {0}}$, s parametry, které mají být odhadnuty, log-souřadnice ${ displaystyle theta doteq v_ {0}}$ určení geodetického mapování hyper-šablony ${ displaystyle mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) cdot I_ {0} = I in { mathcal {I}}}$.

V Bayesovský model náhodné oběžné dráhy výpočetní anatomie pozorované obrazy MRI ${ displaystyle I ^ {D_ {i}}}$ jsou modelovány jako podmíněně Gaussovo náhodné pole se středním polem ${ displaystyle phi _ {i} cdot I}$, s ${ displaystyle phi _ {i}}$ náhodná neznámá transformace šablony. Problémem odhadu MAP je odhad neznámé šablony ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ vzhledem k pozorovaným MRI obrazům.

Main postup pro husté snímky trvá počáteční hypertemplate ${ displaystyle I_ {0} in { mathcal {I}}}$ jako výchozí bod a modeluje šablonu na oběžné dráze pod neznámým, aby se odhadoval diffeomorfismus ${ displaystyle I doteq phi _ {0} cdot I_ {0}}$. Pozorovatelné objekty jsou modelovány jako podmíněná náhodná pole, ${ displaystyle I ^ {D_ {i}}}$ A podmíněné Gaussian náhodné pole se středním polem ${ displaystyle phi _ {i} cdot I doteq phi _ {i} cdot phi _ {0} cdot I_ {0}}$. Neznámá proměnná, která se má explicitně odhadnout pomocí MAP, je mapování hyper-šablony ${ displaystyle phi _ {0}}$, s ostatními mapováními považovanými za obtěžující nebo skryté proměnné, které jsou integrovány pomocí Bayesovy procedury. Toho je dosaženo pomocí maximalizace očekávání (EM) algoritmus.

Orbitový model se využívá spojením neznámých odhadovaných toků s jejich logickými souřadnicemi ${ displaystyle v_ {i}, i = 1, tečky}$ přes Riemannianův geodetický protokol a exponenciální pro výpočetní anatomie počáteční vektorové pole v tečném prostoru v identitě tak, že ${ displaystyle mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i}) doteq phi _ {i}}$, s ${ displaystyle mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0})}$ mapování hyper-šablony. Problém s odhadem MAP se stane

${ displaystyle max _ {v_ {0}} p (I ^ {D}, theta = v_ {0}) = int p (I ^ {D}, theta = v_ {0} mid v_ { 1}, v_ {2}, dots) pi (v_ {1}, v_ {2}, dots) , dv}$

Algoritmus EM bere jako úplná data souřadnice vektorového pole parametrizující mapování, ${ displaystyle v_ {i}, i = 1, tečky}$ a iterativně vypočítat podmíněné očekávání

${ displaystyle { begin {matrix} Q ( theta = v_ {0}; theta ^ { text {old}} = v_ {0} ^ { text {old}}) & = - E ( log p (I ^ {D}, theta = v_ {0} mid v_ {1}, v_ {2}, dots) | I ^ {D}, theta ^ { text {old}}) & = - | ({ bar {I}} ^ { text {old}} - I_ {0} circ mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) ^ {- 1}) { sqrt { beta ^ { text {old}}}} | ^ {2} - | v_ {0} | _ {V} ^ {2} end {matrix}}}$

• Vypočítejte novou šablonu maximalizující Q-funkci, nastavení ${ displaystyle theta ^ { text {nový}} doteq v_ {0} ^ { text {nový}} = arg max _ { theta = v_ {0}} Q ( theta; theta ^ { text {old}} = v_ {0} ^ { text {old}}) = - | ({ bar {I}} ^ { text {old}} - I_ {0} circ mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) ^ {- 1}) { sqrt { beta ^ { text {starý}}}} | ^ {2} - | v_ { 0} | _ {V} ^ {2}}$
• Vypočtěte aproximaci režimu pro očekávání, která aktualizuje očekávané hodnoty pro hodnoty režimu:

${ displaystyle v_ {i} ^ { text {nový}} = arg max _ {v: { dot { phi}} = v circ phi} - int _ {0} ^ {1} | v_ {t} | _ {V} ^ {2} , dt- | I ^ {D_ {i}} - I_ {0} circ mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0} ^ { text {old}}) ^ {- 1} circ mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v) ^ {- 1} | ^ {2} .i = 1,2, dots}$

${ displaystyle beta ^ { text {nový}} (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} | D mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i} ^ { text {new}}) (x) |, { text {with}} { bar {I}} ^ { text {new}} (x) = { frac { sum _ {i = 1 } ^ {n} I ^ {D_ {i}} circ mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i} ^ { text {new}}) | D mathrm {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i} ^ { text {nový}}) (x) |} { beta ^ { text {starý}} (x)}}}$

Reference