Bayesovský model výpočetní anatomie - Bayesian model of computational anatomy

Výpočetní anatomie (CA) je disciplína uvnitř lékařské zobrazování se zaměřením na studium anatomického tvaru a formy ve viditelném nebo hrubý anatomický stupnice morfologie. Pole je široce definováno a zahrnuje základy v anatomie, aplikovaná matematika a čistá matematika, počítaje v to lékařské zobrazování, neurovědy, fyzika, pravděpodobnost, a statistika. Zaměřuje se spíše na zobrazované anatomické struktury než na lékařské zobrazovací zařízení. Centrální zaměření sub-pole výpočetní anatomie v rámci lékařské zobrazování je mapování informací napříč anatomickými souřadnicovými systémy, nejčastěji husté informace měřené v a obraz magnetické rezonance (MRI). Zavedení toků do CA, které jsou podobné pohybovým rovnicím používaným v dynamice tekutin, využívá představu, že husté souřadnice při analýze obrazu sledují Lagrangian a Eulerian pohybové rovnice. V modelech založených na Lagrangeových a Euleriánských tocích difeomorfismů je omezení spojeno s topologickými vlastnostmi, jako jsou zachovány otevřené množiny, souřadnice nepřekračující implikující jedinečnost a existenci inverzního mapování a připojené sady zůstávající připojené. Využívání difeomorfních metod rychle rostlo, aby ovládlo pole mapovacích metod po Christensenově^[1]originální papír s rychlými a symetrickými metodami.^[2]^[3]

Hlavní statistický model

Model zdrojového kanálu zobrazující zdroj obrázků deformovatelnou šablonu

{ displaystyle I doteq varphi cdot I _ { mathrm {temp}} in { mathcal {I}}}

a výstup kanálu spojený se senzorem MRI

{ displaystyle I ^ {D} v { mathcal {I}} ^ { mathcal {D}}}

Ústřední statistický model výpočetní anatomie v kontextu lékařské zobrazování byl model zdrojového kanálu Shannonova teorie; zdrojem je deformovatelná šablona obrázků ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ , výstupy kanálu jsou zobrazovací senzory s pozorovatelnými ${ displaystyle I ^ {D} v { mathcal {I}} ^ { mathcal {D}}}$ (viz obrázek). Důležitost modelu zdrojového kanálu spočívá v tom, že variace v anatomické konfiguraci jsou modelovány odděleně od variace senzorů lékařských snímků. The Bayesova teorie diktuje, že model je charakterizován předchozím zdrojem, ${ displaystyle pi _ { mathcal {I}} ( cdot)}$ na ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ a podmíněná hustota na pozorovatelném

{ displaystyle p ( cdot mid I) { text {on}} I ^ {D} v { mathcal {I}} ^ { mathcal {D}}}

podmíněno ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ .

V teorii deformovatelných šablon jsou obrázky propojeny se šablonami, s deformacemi skupina, která působí na šablonu; viz skupinová akce ve výpočetní anatomii Pro obrazovou akci ${ displaystyle I (g) doteq g cdot I _ { mathrm {temp}}, g in { mathcal {G}}}$ , potom předchozí ve skupině ${ displaystyle pi _ { mathcal {G}} ( cdot)}$ vyvolá předchozí na obrázcích ${ displaystyle pi _ { mathcal {I}} ( cdot)}$ , psaný jako hustoty log-posterior má formu

{ Displaystyle log p (I (g) mid I ^ {D}) simeq log p (I ^ {D} mid I (g)) + log pi _ { mathcal {G}} (G).}

Následující model náhodné oběžné dráhy určuje, jak generovat prvky skupiny, a tedy náhodný rozstřik objektů, které tvoří předchozí distribuci.

Náhodný orbitální model výpočetní anatomie

Oběžné dráhy mozků spojené s akcí difeomorfní skupiny na šablonách zobrazených prostřednictvím plynulého toku spojeného s geodetickými toky s náhodným postřikem spojeným s náhodným generováním počátečního vektorového pole tečného prostoru

{ displaystyle v_ {0} ve V}

; publikoval v.

The náhodný model oběžné dráhy of Computational Anatomy poprvé objevil v^[4]^[5]^[6] modelování změny v souřadnicích spojených s náhodností skupiny působící na šablony, což vyvolává náhodnost zdroje obrazů v anatomické oběžné dráze tvarů a forem a výsledná pozorování pomocí lékařských zobrazovacích zařízení. Takový náhodný model oběžné dráhy ve kterém náhodnost na skupině vyvolává náhodnost na obrázcích byla zkoumána pro speciální euklidovskou skupinu pro rozpoznávání objektů, ve kterých byl prvek skupiny ${ displaystyle g in { mathcal {G}}}$ byla speciální euklidovská skupina v.^[7]

Pro studium deformovatelného tvaru v CA jsou vysoce dimenzionální skupiny difeomorfismu používané ve výpočetní anatomii generovány plynulými toky ${ displaystyle varphi _ {t}, t v [0,1]}$ které splňují Lagrangeovu a Eulerovu specifikaci tokových polí splňujících obyčejnou diferenciální rovnici:

Ukazující lagraniánský tok souřadnic

{ displaystyle x v X}

s přidruženými vektorovými poli

{ displaystyle v_ {t}, t v [0,1]}

vyhovující obyčejné diferenciální rovnici

{ displaystyle { dot { varphi}} _ {t} = v_ {t} ( varphi _ {t}), varphi _ {0} = id}

.

{ displaystyle { frac {d} {dt}} varphi _ {t} = v_ {t} circ varphi _ {t}, varphi _ {0} = operatorname {id} ;}

(Lagrangeův tok)

s ${ displaystyle v doteq (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$ vektorová pole ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ nazval Eulerian rychlost částic v poloze ${ displaystyle varphi}$ toku. Vektorová pole jsou funkce ve funkčním prostoru, modelované jako vyhlazování Hilbert prostor s vektorovými poli s 1-spojitou derivací. Pro ${ displaystyle v_ {t} = { dot { varphi}} _ {t} circ varphi _ {t} ^ {- 1}, t v [0,1]}$ , inverze toku je dána vztahem

{ displaystyle { frac {d} {dt}} varphi _ {t} ^ {- 1} = - (D varphi _ {t} ^ {- 1}) v_ {t}, varphi _ { 0} ^ {- 1} = operatorname {id},}

(Eulerianflow)

a ${ displaystyle 3 krát 3}$ Jacobian matrix for flow in ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ uveden jako ${ displaystyle D varphi doteq vlevo ({ frac { částečné varphi _ {i}} { částečné x_ {j}}} vpravo).}$

Pro zajištění plynulého toku difeomorfismů s inverzí, vektorová pole ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ musí být alespoň 1krát nepřetržitě diferencovatelné v prostoru^[8]^[9] které jsou modelovány jako prvky Hilbertova prostoru ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ za použití Sobolev vkládání vět tak, aby každý prvek ${ displaystyle v_ {i} v H_ {0} ^ {3}, i = 1,2,3,}$ má 3-čtvercové integrovatelné deriváty. Tím pádem ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ plynulé vložení do jednorázových nepřetržitě diferencovatelných funkcí.^[8]^[9] Skupina difeomorfismu jsou toky s vektorovými poli absolutně integrovatelnými v Sobolevově normě:

{ displaystyle operatorname {Diff} _ {V} doteq left { varphi = varphi _ {1}: { dot { varphi}} _ {t} = v_ {t} circ varphi _ {t}, varphi _ {0} = operatorname {id}, int _ {0} ^ {1} | v_ {t} | _ {V} , dt < infty right }, }

(Skupina difomomorfismu)

kde ${ displaystyle | v_ {t} | _ {V} ^ {2} doteq int _ {X} Av_ {t} cdot v_ {t} dx}$ s ${ displaystyle A}$ lineární operátor ${ displaystyle A: V mapsto V ^ {*}}$ definující normu RKHS. Integrál se počítá integrací po částech, když ${ displaystyle Av}$ je zobecněná funkce v duálním prostoru ${ displaystyle V ^ {*}}$ .

Riemannova exponenciální

V náhodný orbitální model výpočetní anatomie, celý tok je redukován na počáteční stav, který tvoří souřadnice kódující difeomorfismus. Od počátečního stavu ${ displaystyle v_ {0}}$ poté geodetické polohování vzhledem k Riemannova metrika výpočetní anatomie řeší tok Euler-Lagrangeovy rovnice. Řešení geodetiky z počátečního stavu ${ displaystyle v_ {0}}$ se nazývá Riemannovo-exponenciální, mapování ${ displaystyle operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} ( cdot): V k operatorname {Diff} _ {V}}$ při identitě do skupiny.

Riemannovský exponenciál uspokojuje ${ displaystyle operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) = varphi _ {1}}$ pro počáteční stav ${ displaystyle { dot { varphi}} _ {0} = v_ {0}}$ , dynamika vektorového pole ${ displaystyle { dot { varphi}} _ {t} = v_ {t} circ varphi _ {t}, t v [0,1]}$ ,

pro klasickou rovnici diffeomorfní tvar hybnosti ${ displaystyle int _ {X} Av_ {t} cdot w , dx}$ , ${ displaystyle Av in V}$ , pak

{ displaystyle { frac {d} {dt}} Av_ {t} + (Dv_ {t}) ^ {T} Av_ {t} + (DAv_ {t}) v_ {t} + ( nabla cdot v ) Av_ {t} = 0 ;}

tedy pro zobecněnou rovnici ${ displaystyle Av ve V ^ {*}}$ , ${ displaystyle w ve V}$

{ displaystyle int _ {X} { frac {d} {dt}} Av_ {t} cdot w , dx + int _ {X} Av_ {t} cdot ((Dv_ {t}) w- (Dw) v_ {t}) , dx = 0.}

Je rozšířena na celou skupinu, ${ displaystyle varphi = operatorname {Exp} _ { varphi} (v_ {0} circ varphi) doteq operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) circ varphi.}$ Na přiloženém obrázku je znázorněno náhodné oběžné dráhy kolem každého exempláře, ${ displaystyle m_ {0} in { mathcal {M}}}$ , generované randomizací toku generováním počátečního vektorového pole tečného prostoru v identitě ${ displaystyle v_ {0} ve V}$ a poté generování náhodného objektu ${ displaystyle n doteq operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) cdot m_ {0} in { mathcal {M}}}$ .

Obrázek znázorňující náhodný rozstřik syntetizovaných subkortikálních struktur rozložený v dvojrozměrné mřížce představující rozptyl vlastní funkce použité pro hybnost syntézy.

Na obrázku vpravo na oběžné dráze komiksu je znázorněn náhodný nástřik podkorporálních variet generovaných náhodným výběrem vektorových polí ${ displaystyle v_ {0}}$ podporované přes podmanifolds. Náhodný model oběžné dráhy indukuje předchozí tvary a obrázky ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ podmíněné konkrétním atlasem ${ displaystyle I_ {a} v { mathcal {I}}}$ . Za tímto účelem generativní model generuje střední pole ${ displaystyle I}$ jako náhodná změna souřadnic šablony podle ${ displaystyle I doteq varphi cdot I_ {a}}$ , kde se difeomorfní změna souřadnic generuje náhodně prostřednictvím geodetických toků.

Odhad MAP v orbitálním modelu s více atlasy

Náhodný model oběžné dráhy indukuje předchozí tvary a obrázky ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ podmíněné konkrétním atlasem ${ displaystyle I_ {a} v { mathcal {I}}}$ . Za tímto účelem generativní model generuje střední pole ${ displaystyle I}$ jako náhodná změna souřadnic šablony podle ${ displaystyle I doteq varphi cdot I_ {a}}$ , kde se difeomorfní změna souřadnic generuje náhodně prostřednictvím geodetických toků. Předchozí na náhodných transformacích ${ displaystyle pi _ { mathrm {rozdíl}} (d varphi)}$ na ${ displaystyle operatorname {Diff} _ {V}}$ je indukován tokem ${ displaystyle operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v)}$ , s ${ displaystyle v ve V}$ vytvořeno jako Gaussovo náhodné pole před ${ displaystyle pi _ {V} (dv)}$ . Hustota náhodných pozorovatelných látek na výstupu snímače ${ displaystyle I ^ {D} v { mathcal {I}} ^ {D}}$ jsou dány

{ displaystyle p (I ^ {D} mid I_ {a}) = int _ {V} p (I ^ {D} mid operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v) cdot I_ {a}) pi _ {V} (dv) .}

Maximální a posteriori odhad Odhad (MAP) je pro moderní použití zásadní statistická teorie. Zajímavé parametry ${ displaystyle theta v theta}$ mít mnoho forem včetně (i) typu onemocnění, jako je neurodegenerativní nebo neurovývojový nemoci, (ii) typ struktury, jako jsou kortikální nebo subkortikální struktury v problémech spojených se segmentací obrazů, a (iii) rekonstrukce šablony z populací. Vzhledem k pozorovanému obrazu ${ displaystyle I ^ {D}}$ , Odhad MAP maximalizuje zadní:

{ displaystyle { hat { theta}} doteq arg max _ { theta in Theta} log p ( theta mid I ^ {D}).}

To vyžaduje výpočet podmíněných pravděpodobností ${ displaystyle p ( theta mid I ^ {D}) = { frac {p (I ^ {D}, theta)} {p (I ^ {D})}}}$ . Vícenásobný model oběžné dráhy atlasu náhodně rozděluje početnou sadu atlasů ${ displaystyle {I_ {a}, a in { mathcal {A}} }}$ . Model na obrázcích na oběžné dráze má formu multimodální distribuce směsi

{ displaystyle p (I ^ {D}, theta) = součet _ {a in { mathcal {A}}} p (I ^ {D}, theta mid I_ {a}) pi _ { mathcal {A}} (a) .}

Podmíněný Gaussův model byl důkladně zkoumán pro nepřesné porovnávání v hustých obrazech a pro porovnávání mezníků.

Hustá emage shoda

Modelka ${ displaystyle I ^ {D} (x), x v X}$ podmíněně podmíněné Gaussovo náhodné pole, střední pole, ${ displaystyle varphi _ {1} cdot I doteq I ( varphi _ {1} ^ {- 1}), varphi _ {1} v rozdílu_ {V}}$ . Pro jednotnou odchylku hrají termíny chyby koncového bodu roli podmíněného protokolu (pouze funkce středního pole), který dává termín koncového bodu:

{ displaystyle - log p (I ^ {D} mid I (g)) simeq E ( varphi _ {1}) doteq { frac {1} {2 sigma ^ {2}}} | I ^ {D} -I circ varphi _ {1} ^ {- 1} | ^ {2}.}

(Podmíněné Gaussian)

Shoda mezníků

Modelka ${ displaystyle Y = {y_ {1}, y_ {2}, tečky }}$ jako podmíněně Gaussian se středním polem ${ displaystyle varphi _ {1} (x_ {i}), i = 1,2, tečky, varphi _ {1} in operatorname {Diff} _ {V}}$ , konstantní změna šumu nezávislá na orientačních bodech Podmíněný protokol (pouze funkce středního pole) lze zobrazit jako termín koncového bodu:

{ displaystyle - log p (I ^ {D} mid I (g)) simeq operatorname {E} ( varphi _ {1}) doteq { frac {1} {2 sigma ^ {2 }}} sum _ {i} | y_ {i} - varphi _ {1} (x_ {i}) | ^ {2}.}

Segmentace MAP na základě více atlasů

Náhodný model oběžné dráhy pro více atlasů modeluje oběžnou dráhu tvarů jako spojení přes více anatomických oběžných drah generovaných ze skupinové akce diffeomorfismů, ${ displaystyle { mathcal {I}} = textový styl bigcup _ {a in { mathcal {A}}} displaystyle operatorname {Diff} _ {V} cdot I_ {a}}$ , přičemž každý atlas má šablonu a předdefinované segmentační pole ${ displaystyle (I_ {a}, W_ {a}), a = a_ {1}, a_ {2}, ldots}$ . začlenění parcelace do anatomických struktur souřadnic MRI. Páry jsou indexovány přes mřížku voxelů ${ displaystyle I_ {a} (x_ {i}), W_ {a} (x_ {i}), x_ {i} v X podmnožině { mathbb {R}} ^ {3}}$ s obrazem MRI a hustým označením všech souřadnic voxelů. Anatomické značení parcelovaných struktur jsou ruční vymezení neuroanatomy.

Bayesův problém segmentace^[10] je dané měření ${ displaystyle I ^ {D}}$ se středním polem a rozdělením ${ displaystyle (I, W)}$ , anatomické označení ${ displaystyle theta doteq W}$ . mustg musí být odhadnut pro měřený obraz MRI. Střední pole pozorovatelného ${ displaystyle I ^ {D}}$ obrázek je modelován jako náhodná deformace z jedné ze šablon ${ displaystyle I doteq varphi cdot I_ {a}}$ , který je také náhodně vybrán, ${ displaystyle A = a}$ , Optimální difeomorfismus ${ displaystyle varphi v { mathcal {G}}}$ je skrytý a působí na pozadí pozadí souřadnic náhodně vybraného obrázku šablony ${ displaystyle I_ {a}}$ . Dostal jediný atlas ${ displaystyle a}$ , model pravděpodobnosti pro odvození je určen společnou pravděpodobností ${ displaystyle p (I ^ {D}, W mid A = a)}$ ; s více atlasy získá fúze funkcí pravděpodobnosti model multimodální směsi s předchozím průměrováním nad modely.

Odhad MAP segmentace ${ displaystyle W_ {a}}$ je maximalizátor ${ displaystyle max _ {W} log p (W mid I ^ {D})}$ daný ${ displaystyle I ^ {D}}$ , což zahrnuje směs přes všechny atlasy.

{ displaystyle { hat {W}} doteq arg textstyle max _ {W} displaystyle log p (I ^ {D}, W) { text {with}} p (I ^ {D} , W) = textstyle sum _ {a in { mathcal {A}}} displaystyle p (I ^ {D}, W mid A = a) pi _ {A} (a).}

Množství ${ displaystyle p (I ^ {D}, W)}$ se počítá fúzí pravděpodobností z více deformovatelných atlasů, s ${ displaystyle pi _ {A} (a)}$ je předchozí pravděpodobnost, že se pozorovaný obraz vyvíjí z konkrétního obrazu šablony ${ displaystyle I_ {a}}$ .

Segmentaci MAP lze iteračně vyřešit pomocí maximalizace očekávání algoritmus

{ displaystyle W ^ { text {nový}} doteq arg max _ {W} int log p (W, I ^ {D}, A, varphi) , dp (A, varphi uprostřed W ^ { text {old}}, I ^ {D}).}

MAP odhad objemových šablon z populací a EM algoritmus

Empirické generování šablon z populací je základní disciplínou všudypřítomnou pro danou disciplínu. Objevilo se několik metod založených na Bayesiánských statistikách pro podmanifoldy a husté objemy obrazů. ${ displaystyle I ^ {D_ {1}}, I ^ {D_ {2}}, dots}$ problém je odhadnout šablonu na oběžné dráze hustých obrazů ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ . Main postup trvá počáteční hypertemplate ${ displaystyle I_ {0} in { mathcal {I}}}$ jako výchozí bod a modeluje šablonu na oběžné dráze pod neznámým, aby se odhadoval diffeomorfismus ${ displaystyle I doteq varphi _ {0} cdot I_ {0}}$ , s parametry, které mají být odhadnuty, log-souřadnice ${ displaystyle theta doteq v_ {0}}$ určení geodetického mapování hyper-šablony ${ displaystyle operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) cdot I_ {0} = I in { mathcal {I}}}$ .

V Bayesovský model náhodné oběžné dráhy výpočetní anatomie pozorované obrazy MRI ${ displaystyle I ^ {D_ {i}}}$ jsou modelovány jako podmíněně Gaussovo náhodné pole se středním polem ${ displaystyle varphi _ {i} cdot I}$ , s ${ displaystyle varphi _ {i}}$ náhodná neznámá transformace šablony. Problémem odhadu MAP je odhad neznámé šablony ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ vzhledem k pozorovaným MRI obrazům.

Main postup pro husté snímky trvá počáteční hypertemplate ${ displaystyle I_ {0} in { mathcal {I}}}$ jako výchozí bod a modeluje šablonu na oběžné dráze pod neznámým, aby se odhadoval diffeomorfismus ${ displaystyle I doteq varphi _ {0} cdot I_ {0}}$ . Pozorovatelné objekty jsou modelovány jako podmíněná náhodná pole, ${ displaystyle I ^ {D_ {i}}}$ A podmíněné Gaussian náhodné pole se středním polem ${ displaystyle varphi _ {i} cdot I doteq varphi _ {i} cdot varphi _ {0} cdot I_ {0}}$ . Neznámá proměnná, která se má explicitně odhadnout pomocí MAP, je mapování hyper-šablony ${ displaystyle varphi _ {0}}$ , s ostatními mapováními považovanými za obtěžující nebo skryté proměnné, které jsou integrovány pomocí Bayesovy procedury. Toho je dosaženo pomocí maximalizace očekávání algoritmus.

Orbitový model se využívá spojením neznámých odhadovaných toků s jejich logickými souřadnicemi ${ displaystyle v_ {i}, i = 1, tečky}$ přes Riemannianův geodetický protokol a exponenciální pro výpočetní anatomie počáteční vektorové pole v tečném prostoru v identitě tak, že ${ displaystyle operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i}) doteq varphi _ {i}}$ , s ${ displaystyle operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0})}$ mapování hyper-šablony. Problém s odhadem MAP se stane

{ displaystyle max _ {v_ {0}} p (I ^ {D}, theta = v_ {0}) = int p (I ^ {D}, theta = v_ {0} mid v_ { 1}, v_ {2}, dots) pi (v_ {1}, v_ {2}, dots) , dv}

Algoritmus EM bere jako úplná data souřadnice vektorového pole parametrizující mapování, ${ displaystyle v_ {i}, i = 1, tečky}$ a iterativně vypočítat podmíněné očekávání

{ displaystyle { begin {cases} Q ( theta = v_ {0}; theta ^ { text {old}} = v_ {0} ^ { text {old}}) & = - operatorname {E } ( log p (I ^ {D}, theta = v_ {0} mid v_ {1}, v_ {2}, dots) mid I ^ {D}, theta ^ { text {starý }}) & = - | ({ bar {I}} ^ { text {old}} - I_ {0} circ operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0 }) ^ {- 1}) { sqrt { beta ^ { text {old}}}} | ^ {2} - | v_ {0} | _ {V} ^ {2} end { případy}}}

Vypočítejte novou šablonu maximalizující Q-funkci, nastavení

{ displaystyle theta ^ { text {nový}} doteq v_ {0} ^ { text {nový}} = arg max _ { theta = v_ {0}} Q ( theta; theta ^ { text {old}} = v_ {0} ^ { text {old}}) = - left | ({ bar {I}} ^ { text {old}} - I_ {0} circ operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0}) ^ {- 1}) { sqrt { beta ^ { text {starý}}}} vpravo | ^ {2} - | v_ {0} | _ {V} ^ {2}}

Vypočtěte aproximaci režimu pro očekávání aktualizující očekávané hodnoty pro hodnoty režimu:

{ displaystyle v_ {i} ^ { text {nový}} = arg max _ {v: { dot { varphi}} = v circ varphi} - int _ {0} ^ {1} | v_ {t} | _ {V} ^ {2} , dt- | I ^ {D_ {i}} - I_ {0} circ operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {0} ^ { text {old}}) ^ {- 1} circ operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v) ^ {- 1} | ^ {2} .i = 1,2, dots}

{ displaystyle beta ^ { text {nový}} (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} | D operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i} ^ { text {new}}) (x) |, { text {with}} { bar {I}} ^ { text {new}} (x) = { frac { sum _ {i = 1 } ^ {n} I ^ {D_ {i}} circ operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i} ^ { text {new}}) | D operatorname {Exp} _ { mathrm {id}} (v_ {i} ^ { text {nový}}) (x) |} { beta ^ { text {starý}} (x)}}}

Reference

^ Christensen, G. E.; Rabbitt, R.D .; Miller, M.I. (01.02.1996). "Deformovatelné šablony využívající velkou deformační kinematiku". Transakce IEEE na zpracování obrazu. 5 (10): 1435–1447. Bibcode:1996ITIP ... 5.1435C. doi:10.1109/83.536892. PMID 18290061.
^ Ashburner, J. (červenec 2007). Msgstr "Rychlý algoritmus difeomorfní registrace obrazu". NeuroImage. 38 (1): 95–113. doi:10.1016 / j.neuroimage.2007.07.007. PMID 17761438.
^ Avants, B. B .; Epstein, C. L .; Grossman, M .; Gee, J. C. (2008-02-01). „Symetrická diffeomorfní registrace obrazu s vzájemnou korelací: hodnocení automatizovaného značení staršího a neurodegenerativního mozku“. Analýza lékařského obrazu. 12 (1): 26–41. doi:10.1016 / j.media.2007.06.004. ISSN 1361-8423. PMC 2276735. PMID 17659998.
^ Miller, Michael; Banerjee, Ayananshu; Christensen, Gary; Joshi, Sarang; Khaneja, Navin; Grenander, Ulf; Matejic, Larissa (01.06.1997). "Statistické metody ve výpočetní anatomii". Statistické metody v lékařském výzkumu. 6 (3): 267–299. doi:10.1177/096228029700600305. PMID 9339500.
^ U. Grenander a M. I. Miller (08.02.2007). Teorie vzorů: Od reprezentace k závěru. Oxford University Press. ISBN 9780199297061.
^ Miller a S.Mori a X. Tang a D. Tward a Y. Zhang (2015-02-14). Bayesovské více deformovatelných šablon Atlas. Mapování mozku: encyklopedická reference. Akademický tisk. ISBN 9780123973160.
^ Srivastava, S .; Miller, M. I .; Grenander, U. (01.01.1997). Byrnes, Christopher I .; Datta, Biswa N .; Martin, Clyde F .; Gilliam, David S. (eds.). Ergodické algoritmy pro speciální euklidovské skupiny pro ATR. Systémy a řízení: Základy a aplikace. Birkhäuser Boston. 327–350. CiteSeerX 10.1.1.44.4751. doi:10.1007/978-1-4612-4120-1_18. ISBN 978-1-4612-8662-2.
^ ^A ^b P. Dupuis, U. Grenander, M.I. Miller, Existence Solutions on Flows of Diffeomorphisms, Quarterly of Applied Math, 1997.
^ ^A ^b Trouvé, A. (1995). "Akce skupiny dimenzí infinie a průzkumné formy". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (francouzsky). 321 (8): 1031–1034.
^ Tang, Xiaoying; Oishi, Kenichi; Faria, Andreia V .; Hillis, Argye E .; Albert, Marilyn S .; Mori, Susumu; Miller, Michael I. (2013-06-18). „Bayesiánský odhad parametrů a segmentace v modelu náhodných orbitů Multi-Atlas“. PLOS ONE. 8 (6): e65591. Bibcode:2013PLoSO ... 865591T. doi:10.1371 / journal.pone.0065591. PMC 3688886. PMID 23824159.

[1] Christensen, G. E.; Rabbitt, R.D .; Miller, M.I. (01.02.1996). "Deformovatelné šablony využívající velkou deformační kinematiku". Transakce IEEE na zpracování obrazu. 5 (10): 1435–1447. Bibcode:1996ITIP ... 5.1435C. doi:10.1109/83.536892. PMID 18290061.

[2] Ashburner, J. (červenec 2007). Msgstr "Rychlý algoritmus difeomorfní registrace obrazu". NeuroImage. 38 (1): 95–113. doi:10.1016 / j.neuroimage.2007.07.007. PMID 17761438.

[3] Avants, B. B .; Epstein, C. L .; Grossman, M .; Gee, J. C. (2008-02-01). „Symetrická diffeomorfní registrace obrazu s vzájemnou korelací: hodnocení automatizovaného značení staršího a neurodegenerativního mozku“. Analýza lékařského obrazu. 12 (1): 26–41. doi:10.1016 / j.media.2007.06.004. ISSN 1361-8423. PMC 2276735. PMID 17659998.

[:1-4] Miller, Michael; Banerjee, Ayananshu; Christensen, Gary; Joshi, Sarang; Khaneja, Navin; Grenander, Ulf; Matejic, Larissa (01.06.1997). "Statistické metody ve výpočetní anatomii". Statistické metody v lékařském výzkumu. 6 (3): 267–299. doi:10.1177/096228029700600305. PMID 9339500.

[:9-5] U. Grenander a M. I. Miller (08.02.2007). Teorie vzorů: Od reprezentace k závěru. Oxford University Press. ISBN 9780199297061.

[:19-6] Miller a S.Mori a X. Tang a D. Tward a Y. Zhang (2015-02-14). Bayesovské více deformovatelných šablon Atlas. Mapování mozku: encyklopedická reference. Akademický tisk. ISBN 9780123973160.

[7] Srivastava, S .; Miller, M. I .; Grenander, U. (01.01.1997). Byrnes, Christopher I .; Datta, Biswa N .; Martin, Clyde F .; Gilliam, David S. (eds.). Ergodické algoritmy pro speciální euklidovské skupiny pro ATR. Systémy a řízení: Základy a aplikace. Birkhäuser Boston. 327–350. CiteSeerX 10.1.1.44.4751. doi:10.1007/978-1-4612-4120-1_18. ISBN 978-1-4612-8662-2.

[:22-8] A ^b P. Dupuis, U. Grenander, M.I. Miller, Existence Solutions on Flows of Diffeomorphisms, Quarterly of Applied Math, 1997.

[:4-9] A ^b Trouvé, A. (1995). "Akce skupiny dimenzí infinie a průzkumné formy". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (francouzsky). 321 (8): 1031–1034.

[10] Tang, Xiaoying; Oishi, Kenichi; Faria, Andreia V .; Hillis, Argye E .; Albert, Marilyn S .; Mori, Susumu; Miller, Michael I. (2013-06-18). „Bayesiánský odhad parametrů a segmentace v modelu náhodných orbitů Multi-Atlas“. PLOS ONE. 8 (6): e65591. Bibcode:2013PLoSO ... 865591T. doi:10.1371 / journal.pone.0065591. PMC 3688886. PMID 23824159.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]