Barbersova věta - Barbiers theorem - Wikipedia

Tyto Polygony Reuleaux mají konstantní šířku a všechny mají stejnou šířku; podle Barbierovy věty mají tedy také stejné obvody.

v geometrie, Barbierova věta uvádí, že každý křivka konstantní šířky má obvod π krát jeho šířka, bez ohledu na jeho přesný tvar.^[1] Tuto větu poprvé publikoval Joseph-Émile Barbier v roce 1860.^[2]

Příklady

Nejznámějšími příklady křivek konstantní šířky jsou kruh a Reuleauxův trojúhelník. U kruhu je šířka stejná jako průměr; kruh o šířce w má obvod πw. Reuleauxův trojúhelník o šířce w skládá se ze tří oblouky z kruhů poloměr w. Každý z těchto oblouků má středový úhel π / 3, tedy obvod Reuleauxova trojúhelníku o šířce w se rovná polovině obvodu kruhu o poloměru w a proto se rovná πw. Podobná analýza dalších jednoduchých příkladů, jako je Polygony Reuleaux dává stejnou odpověď.

Důkazy

Jeden důkaz věty využívá vlastnosti Minkowského částky. Li K. je tělo s konstantní šířkou w, pak Minkowského součet K. a jeho otočení o 180 ° je disk s poloměrem w a obvod 2πw. Minkowského součet však působí lineárně na obvody konvexních těles, tedy na obvod K. musí být polovina obvodu tohoto disku, což je πw jak uvádí teorém.^[3]

Alternativně věta vyplývá okamžitě z Croftonův vzorec v integrální geometrie podle kterého se délka jakékoli křivky rovná míře množiny čar, které křivku překračují, vynásobenou jejich počtem křížení. Jakékoli dvě křivky, které mají stejnou konstantní šířku, protínají sady čar se stejnou měrou, a proto mají stejnou délku. Historicky Crofton odvodil svůj vzorec později než a nezávisle na Barbierově větě.^[4]

Základní pravděpodobnostní důkaz věty lze nalézt na Buffonovy nudle.

Vyšší rozměry

Analog Barbierovy věty pro plochy konstantní šířky je nepravdivé. Zejména jednotková koule má povrchovou plochu ${ displaystyle 4 pi přibližně 12 566}$ , zatímco povrch otáčení a Reuleauxův trojúhelník se stejnou konstantní šířkou má povrchovou plochu ${ displaystyle 8 pi - { tfrac {4} {3}} pi ^ {2} přibližně 11 973}$ .^[5]

Viz také

Blaschke – Lebesgueova věta a izoperimetrická nerovnost, ohraničující oblasti křivek konstantní šířky

Reference

^ Lay, Steven R. (2007), Konvexní množiny a jejich aplikace, Dover, Theorem 11.11, str. 81–82, ISBN 9780486458038.
^ Barbier, E. (1860), „Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert“ (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^E série (ve francouzštině), 5: 273–286. Viz zejména s. 283–285.
^ Věta o Barbierovi (Java) na cut-the-uzel.
^ Sylvester, J. J. (1890), „O lanovkovém řešení Buffonova„ problému jehly “v jeho nejobecnější podobě“ (PDF), Acta Mathematica, 14 (1): 185–205, doi:10.1007 / BF02413320.
^ Bayen, Térence; Henrion, Didier (2012), "Semidefinite programování pro optimalizaci konvexních těl pod omezeními šířky", Optimalizační metody a software, 27 (6): 1073–1099, CiteSeerX 10.1.1.402.9539, doi:10.1080/10556788.2010.547580.

[1] Lay, Steven R. (2007), Konvexní množiny a jejich aplikace, Dover, Theorem 11.11, str. 81–82, ISBN 9780486458038.

[2] Barbier, E. (1860), „Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert“ (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^E série (ve francouzštině), 5: 273–286. Viz zejména s. 283–285.

[3] Věta o Barbierovi (Java) na cut-the-uzel.

[4] Sylvester, J. J. (1890), „O lanovkovém řešení Buffonova„ problému jehly “v jeho nejobecnější podobě“ (PDF), Acta Mathematica, 14 (1): 185–205, doi:10.1007 / BF02413320.

[5] Bayen, Térence; Henrion, Didier (2012), "Semidefinite programování pro optimalizaci konvexních těl pod omezeními šířky", Optimalizační metody a software, 27 (6): 1073–1099, CiteSeerX 10.1.1.402.9539, doi:10.1080/10556788.2010.547580.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]