Blaschke – Lebesgueova věta - Blaschke–Lebesgue theorem - Wikipedia

A Reuleauxův trojúhelník, a křivka konstantní šířky jehož plocha je minimální u všech konvexních sad se stejnou šířkou

v rovinná geometrie the Blaschke – Lebesgueova věta uvádí, že Reuleauxův trojúhelník má nejmenší plochu ze všech křivky dané konstantní šířky.^[1] Ve formě, že každá křivka dané šířky má plochu alespoň tak velkou jako Reuleauxův trojúhelník, je také známá jako Blaschke – Lebesgueova nerovnost.^[2] Je pojmenován po Wilhelm Blaschke a Henri Lebesgue, který jej na počátku 20. století zveřejnil samostatně.

Prohlášení

Šířka konvexní množiny ${ displaystyle K}$ v euklidovské rovině je definována jako minimální vzdálenost mezi dvěma paralelními liniemi, které ji obklopují. Dvě čáry minimální vzdálenosti jsou oba nutně tečny na ${ displaystyle K}$, na opačných stranách. A křivka konstantní šířky je hranice konvexní množiny s vlastností, že pro každý směr rovnoběžných čar jsou dvě tečny s tímto směrem, které jsou tečny k protilehlým stranám křivky, ve vzdálenosti rovné šířce. Tyto křivky zahrnují jak kruh, tak znak Reuleauxův trojúhelník, zakřivený trojúhelník vytvořený z oblouků tří kruhů se stejným poloměrem, každý centrovaný v bodě křížení ostatních dvou kruhů. Oblast ohraničená Reuleauxovým trojúhelníkem o šířce ${ displaystyle w}$ je

${ displaystyle { frac {1} {2}} ( pi - { sqrt {3}}) w ^ {2} přibližně 0,70477w ^ {2}.}$

Blaschke-Lebesgueova věta uvádí, že se jedná o jedinečnou minimální možnou plochu křivky konstantní šířky, a Blaschke-Lebesgueova nerovnost uvádí, že každá konvexní množina šířky ${ displaystyle w}$ má plochu alespoň tak velkou, s rovností pouze tehdy, když je množina ohraničena Reuleauxovým trojúhelníkem.^[1]

Dějiny

Věta Blaschke – Lebesgue byla publikována samostatně v roce 1914 autorem Henri Lebesgue^[3] a v roce 1915 Wilhelm Blaschke.^[4] Od jejich práce bylo publikováno několik dalších důkazů.^{[5][6][7][8][9][10]}

V jiných rovinách

Stejná věta platí také v hyperbolická rovina.^[11] Pro jakoukoli konvexní funkci vzdálenosti v rovině (vzdálenost definovaná jako norma vektorového rozdílu bodů pro jakoukoli normu) platí analogická věta, podle které je křivka minimální plochy s konstantní šířkou průsečíkem tří metrických disků, z nichž každý je vystředěn na hraničním bodě ostatních dvou.^[12][13]

aplikace

Věta Blaschke – Lebesgue byla použita k poskytnutí účinné strategie pro zobecnění hry Bitevní loď, ve kterém jeden hráč má loď vytvořenou protínáním celočíselné mřížky s konvexní množinou a druhý hráč poté, co našel jeden bod na této lodi, si klade za cíl určit jeho polohu pomocí co nejmenšího počtu zmeškaných výstřelů. Pro loď s ${ displaystyle n}$ body mřížky je možné omezit počet zmeškaných snímků ${ displaystyle O ( log log n)}$.^[14]

Související problémy

Podle izoperimetrická nerovnost, křivka konstantní šířky v euklidovské rovině s největší plochou je a kruh.^[1] The obvod křivky konstantní šířky ${ displaystyle w}$ je ${ displaystyle pi w}$, bez ohledu na jeho tvar; tohle je Barbierova věta.^[15]

Není známo, které povrchy s konstantní šířkou v trojrozměrném prostoru mají minimální objem. Bonnesen a Fenchel se domnívali v roce 1934, že minimalizátory jsou dvě Meissnerova těla získaná zaoblením některých okrajů Čtyřstěn Reuleaux,^[16] ale toto zůstává neprokázané.^[17]

Reference