Laplaceova expanze (potenciál) - Laplace expansion (potential)

Ve fyzice je Laplaceova expanze potenciálů, které jsou přímo úměrné inverzní hodnotě vzdálenosti (${displaystyle 1 / r}$), jako Newtonův gravitační potenciál nebo Coulombův elektrostatický potenciál, vyjadřuje je pomocí sférických Legendrových polynomů. V kvantově mechanických výpočtech na atomech se expanze používá při hodnocení integrálů interelektronického odpuzování.

Laplaceovo rozšíření je ve skutečnosti rozšíření inverzní vzdálenosti mezi dvěma body. Nechť body mají polohové vektory ${displaystyle {extbf {r}}}$ a ${displaystyle {extbf {r}} '}$, pak je Laplaceova expanze

${displaystyle {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} = součet _ {ell = 0} ^ {infty} {frac {4pi} {2ell +1}} součet _ {m = -ell} ^ {ell} (- 1) ^ {m} {frac {r_ {scriptscriptstyle <} ^ {ell}} {r_ {scriptscriptstyle>} ^ {ell +1}}} Y_ {ell} ^ {- m } (heta, varphi) Y_ {ell} ^ {m} (heta ', varphi').}$

Tady ${displaystyle {extbf {r}}}$ má sférické polární souřadnice ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ a ${displaystyle {extbf {r}} '}$ má ${displaystyle (r ', heta', varphi ')}$ s homogenními polynomy stupně ${displaystyle ell}$. Dále r_< je min (r, r') a r_> je max (r, r′). Funkce ${displaystyle Y_ {ell} ^ {m}}$ je normalizovaný sférická harmonická funkce. Expanze má jednodušší formu, pokud je napsána z hlediska pevné harmonické,

${displaystyle {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} = součet _ {ell = 0} ^ {infty} součet _ {m = -ell} ^ {ell} (- 1) ^ {m} I_ {ell} ^ {- m} (mathbf {r}) R_ {ell} ^ {m} (mathbf {r} ') quad {ext {with}} quad | mathbf {r} |> | mathbf {r} '|.}$

Derivace

Odvození této expanze je jednoduché. Podle zákon kosinů,

${displaystyle {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} = {frac {1} {sqrt {r ^ {2} + (r') ^ {2} -2rr'cos gamma }}} = {frac {1} {r {sqrt {1 + h ^ {2} -2hcos gamma}}}} quad {hbox {with}} quad h: = {frac {r '} {r}}. }$

Najdeme zde generující funkci Legendární polynomy ${displaystyle P_ {ell} (cos gama)}$ :

${displaystyle {frac {1} {sqrt {1 + h ^ {2} -2hcos gamma}}} = součet _ {ell = 0} ^ {infty} h ^ {ell} P_ {ell} (cos gama).}$

Použití věta o sférické harmonické adici

${displaystyle P_ {ell} (cos gamma) = {frac {4pi} {2ell +1}} součet _ {m = -ell} ^ {ell} (- 1) ^ {m} Y_ {ell} ^ {- m } (heta, varphi) Y_ {ell} ^ {m} (heta ', varphi')}$

dává požadovaný výsledek.

Reference

• Griffiths, David J. (David Jeffery). Úvod do elektrodynamiky. Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall, 1981.