McMullenův problém - McMullen problem
![]() | Nevyřešený problém v matematice: Pro kolik bodů je vždy možné projektivně transformovat body do konvexní polohy? (více nevyřešených úloh z matematiky) |
The McMullenův problém je otevřeným problémem v diskrétní geometrie pojmenoval podle Peter McMullen.
Prohlášení
V roce 1972 navrhl McMullen následující problém:[1]
- Určete největší číslo takové, že pro všechny dané body v obecná pozice v afinitě d-prostor Rd tady je projektivní transformace mapování těchto bodů do konvexní pozice (takže tvoří vrcholy a konvexní mnohostěn ).
Ekvivalentní formulace
Gale transformace
Za použití Gale transformace, lze tento problém přeformulovat jako:
- Určete nejmenší číslo tak, že pro každou sadu bodů X = {X1, X2, ..., Xμ(d)} v lineárně obecné poloze zapnuto Sd − 1 je možné zvolit sadu Y = {ε1X1, ε2X2, ..., εμ(d)Xμ(d)} kde εi = ± 1 pro i = 1, 2, ..., μ(d), takže každá otevřená polokoule Sd − 1 obsahuje alespoň dva členy Y.
Číslo , jsou propojeny vztahy
Rozdělte se na téměř nesouvislé trupy
Jednoduchým geometrickým pozorováním jej lze také přeformulovat jako:
- Určete nejmenší číslo tak, že pro každou sadu X z body v Rd existuje a rozdělit z X do dvou sad A a B s
Vztah mezi a je
Projektivní dualita

An uspořádání řádků zdvojnásobení oproti normálnímu pětiúhelníku Každé pět řádkové projektivní uspořádání, jako je toto, má buňku, které se dotklo všech pět řádků. Přidáním čára v nekonečnu vytváří šestřádkové uspořádání se šesti pětiúhelníkovými plochami a deseti trojúhelníkovými plochami; všechny čáry se nedotknou žádné tváře. Proto řešení problému McMullen pro d = 2 je ν = 5.
Ekvivalent projektivní duální Prohlášení k problému McMullen je určit největší počet tak, že každá sada hyperplanes v obecné pozici v d-dimenzionální skutečný projektivní prostor pro muže uspořádání hyperplánů ve kterém je jedna z buněk ohraničena všemi hyperplany.
Výsledek
Tento problém je stále otevřený. Avšak hranice jsou v následujících výsledcích:
- David Larman to dokázal . (1972)[1]
- Michel Las Vergnas dokázal to . (1986)[2]
- Jorge Luis Ramírez Alfonsín to dokázal . (2001)[3]
Domněnka tohoto problému je , a platí to pro d = 2, 3, 4.[1][4]
Reference
- ^ A b C D. G. Larman (1972), „Soupravy projektivně ekvivalentní vrcholům konvexního mnohostěnu“, Bulletin of London Mathematical Society 4, s. 6–12
- ^ M. Las Vergnas (1986), „Hamilton Paths in Tournaments and a Problem McMullen on Projective Transformations in Rd", Bulletin of London Mathematical Society 18, str. 571–572
- ^ J. L. Ramírez Alfonsín (2001), „Lawrence Oriented Matroids and a Problem of McMullen on Projectective Equivalences of Polytopes“, European Journal of Combinatorics 22, str. 723–731
- ^ D. Forge, M. Las Vergnas a P. Schuchert (2001), „Sada 10 bodů v dimenzi 4, která není projektivně ekvivalentní vrcholům jakéhokoli konvexního mnohostěnu“, European Journal of Combinatorics 22, str. 705–708