A-operad - A∞-operad

V teorii operády v algebra a algebraická topologie, an A_∞- operátor je prostor parametrů pro multiplikační mapu, který je homotopovat souvisle asociativní. (Operad, který popisuje násobení, které je jak homotopy koherentně asociativní, tak homotopy koherentně komutativní, se nazývá E_∞- operátor.)

Definice

V (obvyklém) nastavení operadů s akcí symetrické skupiny na topologické prostory je operad A se říká, že je A_∞-operad pokud jsou všechny jeho prostory A(n) jsou Σ_n-ekvivariantně ekvivalent homotopy do diskrétních prostorů Σ_n (dále jen symetrická skupina ) s jeho multiplikační akcí (kde n ∈ N). V nastavení ne-ads operadů (také nazývaných nesymetrické operáty, operády bez permutace), operad A je A_∞pokud všechny jeho mezery A(n) jsou smluvní. V jiných Kategorie než topologické prostory, pojmy homotopy a kontraktibilita musí být nahrazeny vhodnými analogy, jako např homologické ekvivalence v kategorii řetězové komplexy.

A_n-operáty

Dopis A v terminologii znamená „asociativní“ a symboly nekonečna říkají, že asociativita je vyžadována až po „všechny“ vyšší homotopy. Obecněji existuje slabší představa A_n- operátor (n ∈ N), parametrizující multiplikace, které jsou asociativní pouze do určité úrovně homotopií. Zejména,

A₁-prostory jsou špičaté prostory;
A₂-prostory jsou H-mezery bez podmínek asociativity; a
A₃-prostory jsou homotopické asociativní H-prostory.

A_∞- operátory a mezery v jedné smyčce

Prostor X je prostor smyčky nějakého jiného prostoru, označeného BX, právě když X je algebra nad ${ displaystyle A _ { infty}}$ - operátor a monoid π₀(X) jejích připojených komponent je skupina. Algebra nad ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad se označuje jako ${ displaystyle mathbf {A} _ { infty}}$ -prostor. Tato charakterizace smyčkových prostor má tři důsledky. Za prvé, prostor smyčky je ${ displaystyle A _ { infty}}$ -prostor. Zadruhé, připojeno ${ displaystyle A _ { infty}}$ -prostor X je smyčkový prostor. Za třetí, skupinové dokončení případně odpojen ${ displaystyle A _ { infty}}$ -space je prostor smyčky.

Důležitost ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operáty dovnitř teorie homotopy vychází z tohoto vztahu mezi algebrami ${ displaystyle A _ { infty}}$ - operátory a smyčkové prostory.

A_∞-algebry

Algebra nad ${ displaystyle A _ { infty}}$ - operátor se nazývá ${ displaystyle A _ { infty}}$ -algebra. Mezi příklady patří Kategorie Fukaya symplektického potrubí, pokud lze definovat (viz také pseudoholomorfní křivka ).

Příklady

Nejviditelnější, ne-li zvláště užitečný příklad příkladu ${ displaystyle A _ { infty}}$ - operátor je asociativní operad A dána ${ displaystyle a (n) = Sigma _ {n}}$ . Tento operad popisuje přísně asociativní násobení. Podle definice jakýkoli jiný ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad má mapu A což je homotopická ekvivalence.

Geometrický příklad A_∞-operad je dán Stasheffovými polytopy nebo spolupracovník.

Méně kombinatorickým příkladem je provoz malých intervalů: Prostor ${ displaystyle A (n)}$ sestává ze všech vložení n disjunktní intervaly do jednotkového intervalu.

Viz také

Reference

Stasheff, Jim (Červen – červenec 2004). „Co je ... operad?“ (PDF ). Oznámení Americké matematické společnosti. 51 (6): 630–631. Citováno 2008-01-17.
J. Peter May (1972). Geometrie iterovaných smyčkových prostorů. Springer-Verlag. Archivovány od originál dne 7. 7. 2015. Citováno 2008-02-19.
Martin Markl; Steve Shnider; Jim Stasheff (2002). Operády v algebře, topologii a fyzice. Americká matematická společnost.
Stasheff, James (1963). "Homotopická asociativita H-prostory. I, II ". Transakce Americké matematické společnosti. 108 (2): 275–292, 293–312. doi:10.2307/1993608. JSTOR 1993608.