Γ-konvergence - Γ-convergence - Wikipedia

V variační počet, Γ-konvergence (Gama konvergence) je pojem konvergence pro funkcionáři. To bylo představeno Ennio de Giorgi.

Definice

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologický prostor a ${ displaystyle { mathcal {N}} (x)}$ označit množinu všech sousedství bodu ${ displaystyle x v X}$ . Nechte dále ${ displaystyle F_ {n}: X až { overline { mathbb {R}}}}$ být posloupnost funkcionálů na ${ displaystyle X}$ . The ${ displaystyle Gamma { text {-lower limit}}}$ a ${ displaystyle Gamma { text {- horní limit}}}$ jsou definovány takto:

{ displaystyle Gamma { text {-}} liminf _ {n to infty} F_ {n} (x) = sup _ {N_ {x} in { mathcal {N}} (x) } liminf _ {n to infty} inf _ {y in N_ {x}} F_ {n} (y),}

{ displaystyle Gamma { text {-}} limsup _ {n to infty} F_ {n} (x) = sup _ {N_ {x} in { mathcal {N}} (x) } limsup _ {n to infty} inf _ {y in N_ {x}} F_ {n} (y)}

.

${ displaystyle F_ {n}}$ jsou prý ${ displaystyle Gamma}$ -konvergovat k ${ displaystyle F}$ , pokud existuje funkční ${ displaystyle F}$ takhle ${ displaystyle Gamma { text {-}} liminf _ {n to infty} F_ {n} = Gamma { text {-}} limsup _ {n to infty} F_ {n} = F}$ .

Definice v prvních spočetných prostorech

v první spočetné mezery, výše uvedená definice může být charakterizována z hlediska postupnosti ${ displaystyle Gamma}$ -konvergence následujícím způsobem ${ displaystyle X}$ být první spočetný prostor a ${ displaystyle F_ {n}: X až { overline { mathbb {R}}}}$ posloupnost funkcionálů na ${ displaystyle X}$ . Pak ${ displaystyle F_ {n}}$ jsou prý ${ displaystyle Gamma}$ -konvergovat k ${ displaystyle Gamma}$ -omezit ${ displaystyle F: X až { overline { mathbb {R}}}}$ pokud platí následující dvě podmínky:

Dolní mezní nerovnost: Pro každou sekvenci ${ displaystyle x_ {n} v X}$ takhle ${ displaystyle x_ {n} až x}$ tak jako ${ displaystyle n až + infty}$ ,

{ displaystyle F (x) leq liminf _ {n až infty} F_ {n} (x_ {n}).}

Horní hranice nerovnosti: Pro každého ${ displaystyle x v X}$ , existuje sekvence ${ displaystyle x_ {n}}$ konvergující k ${ displaystyle x}$ takhle

{ displaystyle F (x) geq limsup _ {n to infty} F_ {n} (x_ {n})}

První podmínka to znamená ${ displaystyle F}$ poskytuje asymptotickou společnou dolní mez pro ${ displaystyle F_ {n}}$ . Druhá podmínka znamená, že tato dolní mez je optimální.

Vztah ke konvergenci Kuratowského

${ displaystyle Gamma}$ -konvergence souvisí s pojmem Kuratowského konvergence sad. Nechat ${ displaystyle { text {epi}} (F)}$ označit epigraf funkce ${ displaystyle F}$ a nechte ${ displaystyle F_ {n}: X až { overline { mathbb {R}}}}$ být posloupnost funkcionálů na ${ displaystyle X}$ . Pak

{ displaystyle { text {epi}} ( Gamma { text {-}} liminf _ {n to infty} F_ {n}) = { text {K}} { text {-}} limsup _ {n to infty} { text {epi}} (F_ {n}),}

{ displaystyle { text {epi}} ( Gamma { text {-}} limsup _ {n to infty} F_ {n}) = { text {K}} { text {-}} liminf _ {n to infty} { text {epi}} (F_ {n}),}

kde ${ displaystyle { text {K -}} liminf}$ označuje kuratowského limety nižší a ${ displaystyle { text {K -}} limsup}$ Kuratowski je lídrem v topologii produktu ${ displaystyle X times mathbb {R}}$ . Zejména, ${ displaystyle (F_ {n}) _ {n}}$ ${ displaystyle Gamma}$ -konverguje k ${ displaystyle F}$ v ${ displaystyle X}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle ({ text {epi}} (F_ {n})) _ {n}}$ ${ displaystyle { text {K}}}$ -konverguje k ${ displaystyle { text {epi}} (F)}$ v ${ displaystyle X times mathbb {R}}$ . To je důvod, proč ${ displaystyle Gamma}$ -konvergence se někdy nazývá epi-konvergence.

Vlastnosti

Minimalizátory konvergují k minimalizátorům: Pokud ${ displaystyle F_ {n}}$ ${ displaystyle Gamma}$ -konvergovat k ${ displaystyle F}$ , a ${ displaystyle x_ {n}}$ je minimalizátor pro ${ displaystyle F_ {n}}$ , pak každý bod shluku sekvence ${ displaystyle x_ {n}}$ je minimalizátor ${ displaystyle F}$ .
${ displaystyle Gamma}$ - limity jsou vždy nižší polokontinuální.
${ displaystyle Gamma}$ -konvergence je stabilní za nepřetržitých poruch: Pokud ${ displaystyle F_ {n}}$ ${ displaystyle Gamma}$ -konverguje k ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G: X až [0, + infty)}$ je tedy spojitý ${ displaystyle F_ {n} + G}$ vůle ${ displaystyle Gamma}$ -konvergovat k ${ displaystyle F + G}$ .
Konstantní sled funkcionálů ${ displaystyle F_ {n} = F}$ nemusí nutně ${ displaystyle Gamma}$ -konvergovat k ${ displaystyle F}$ , ale k relaxace z ${ displaystyle F}$ , největší nižší polokontinuální funkční níže ${ displaystyle F}$ .

Aplikace

Důležité použití pro ${ displaystyle Gamma}$ -konvergence je v teorie homogenizace. Lze jej také použít k důslednému ospravedlnění přechodu od diskrétních k teoriím kontinua pro materiály, například v pružnost teorie.

Viz také

Reference

A. Braides: Γ-konvergence pro začátečníky. Oxford University Press, 2002.
G. Dal Maso: Úvod do Γ-konvergence. Birkhäuser, Basel 1993.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.