Kuratowského konvergence - Kuratowski convergence

v matematika, Kuratowského konvergence je pojem konvergence pro sekvence (nebo obecněji sítě ) z kompaktní podmnožiny z metrické prostory, pojmenoval podle Kazimierz Kuratowski. Kuratowského limit řady sad je intuitivně tam, kde jsou sady "akumulovat ".

Definice

Nechť (X, d) být a metrický prostor, kde X je sada a d je funkce vzdálenosti mezi body X.

Pro jakýkoli bod X ∈ X a jakékoli neprázdný kompaktní podmnožina A ⊆ X, definujte vzdálenost mezi bodem a podmnožinou:

${displaystyle d (x, A) = inf {d (x, a) | ain A}}$.

Pro jakoukoli sekvenci takových podmnožin A_n ⊆ X, n ∈ N, Kuratowski limit horší (nebo dolní uzavřený limit) z A_n tak jako n → ∞ je

${displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | limsup _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}$

${displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {pro všechna otevřená sousedství}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq prázdná sada {mbox {pro dostatečně velké}} nend {matice }} ight.ight};}$

the Kuratowski limit lepší (nebo horní uzavřený limit) z A_n tak jako n → ∞ je

${displaystyle mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | liminf _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}$

${displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {pro všechna otevřená sousedství}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {pro nekonečně mnoho}} nend {matice }} noc.noc}.}$

Pokud Kuratowski limity souhlasí nižší a vyšší (tj. Jsou stejná podmnožina X), pak se jejich společná hodnota nazývá Kuratowského limit sad A_n tak jako n → ∞ a označil por_n→∞A_n.

Definice obecné sítě kompaktních podskupin X projít mutatis mutandis.

Vlastnosti

• I když se může zdát protiintuitivní, že Kuratowského limit nižší zahrnuje limit vyšší než vzdálenosti, a naopak, nomenklatura se stává zřetelnější, když vidíme, že pro jakoukoli posloupnost sad

${displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} subseteq mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n}.}$

Tj. limit inferior je menší množina a limit superior je větší.

• Pojmy horní a dolní uzavřená mez vycházejí ze skutečnosti, že Li_n→∞A_n a Ls_n→∞A_n jsou vždy uzavřené sady v metrické topologii na (X, d).

Související pojmy

Pro metrické prostory X máme následující:

• Kuratowského konvergence se shoduje s konvergencí v roce Padla topologie.
• Kuratowského konvergence je slabší než konvergence v Topologie Vietoris.
• Kuratowského konvergence je slabší než konvergence v Hausdorffova metrika.
• Pro kompaktní metrické prostory X„Kuratowského konvergence se shoduje s konvergencí v Hausdorffově metrické i Vietorisově topologii.
• Kuratowksi konvergence epigrafy rozšířených funkcí se skutečnou hodnotou je ekvivalentní ${displaystyle Gamma}$-konvergence těchto funkcí.

Příklady

• Nechat A_n být nulovou množinou hříchu (nx) jako funkce X z R pro sebe

${displaystyle A_ {n} = {ig {} xin mathbf {R} {ig |} sin (nx) = 0 {ig}}.}$

Pak A_n konverguje ve smyslu Kuratowského na celou skutečnou linii R. V tomto případě si toho všimněte A_n nemusí být kompaktní.

Viz také

• Lemma Borel – Cantelli
• Wijsmanova konvergence
• Hausdorffova vzdálenost
• Hemikontinuita
• Topologie Vietoris
• Konvergence gama

Reference

• Kuratowski, Kazimierz (1966). Topologie. Svazky I a II. Nové vydání, revidované a rozšířené. Z francouzštiny přeložil J. Jaworowski. New York: Academic Press. str. xx + 560. PAN0217751

• Pivo, Gerald (1993). Topologie na uzavřených a uzavřených konvexních sadách. Matematika a její aplikace. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. str. xii + 340.