v matematická analýza, epi-konvergence je druh konvergence pro skutečný a rozšířené se skutečnou hodnotou funkce.
Konvergence Epi je důležitá, protože se jedná o vhodný pojem konvergence, s jehož pomocí lze aproximovat minimalizační problémy v oblasti matematická optimalizace. Symetrická představa hypo-konvergence je vhodný pro maximalizaci problémů. Konvergence Mosco je zobecněním epi-konvergence do nekonečných dimenzionálních prostorů.
Definice
Nechat
být metrický prostor, a
funkce pro každého se skutečnou hodnotou přirozené číslo
. Říkáme, že sekvence
epi-konverguje na funkci
pokud pro každého ![x v X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![{ displaystyle { begin {aligned} & liminf _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) geq f (x) { text {pro všechny}} x ^ { nu} to x { text {and}} & limsup _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) leq f (x) { text {pro některé}} x ^ { nu} až x. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acf05a527b74b7f45eeb12e24942d77b8c62ed3)
Rozšířené rozšíření se skutečnou hodnotou
Následující rozšíření umožňuje použít epi-konvergenci na posloupnost funkcí s nekonstantní doménou.
Označit podle
the rozšířená reálná čísla. Nechat
být funkcí
pro každého
. Sekvence
epi-konverguje k
pokud pro každého ![x v X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![{ displaystyle { begin {aligned} & liminf _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) geq f (x) { text {pro všechny}} x ^ { nu} to x { text {and}} & limsup _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) leq f (x) { text {pro některé}} x ^ { nu} až x. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acf05a527b74b7f45eeb12e24942d77b8c62ed3)
Epi-konvergence se ve skutečnosti shoduje s
-konvergence v prvních spočítatelných prostorech.
Hypo-konvergence
Epi-konvergence je vhodná topologie, pomocí které lze aproximovat problémy s minimalizací. Pro maximalizaci problémů se používá symetrický pojem hypo-konvergence.
hypo-konverguje k
-li
![{ displaystyle limsup _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) leq f (x) { text {pro všechny}} x ^ { nu} to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02552609abfc7654d750919107511ff62258ed3a)
a
![{ displaystyle liminf _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) geq f (x) { text {pro některé}} x ^ { nu} to X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d562d9bb6ae5f64b0833318a5ff32c51baa5b5f)
Vztah k problémům s minimalizací
Předpokládejme, že máme obtížný problém s minimalizací
![{ displaystyle inf _ {x v C} g (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903e9bcf227e5284271a27f5a118b2b0837bbb8f)
kde
a
. Můžeme se pokusit přiblížit tento problém posloupností jednodušších problémů
![{ displaystyle inf _ {x v C ^ { nu}} g ^ { nu} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fca32e98809ac162cb9f8de2c57ff943c133edd)
pro funkce
a sady
.
Epi-konvergence poskytuje odpověď na otázku: V jakém smyslu by měly aproximace konvergovat k původnímu problému, aby bylo zaručeno, že aproximační řešení konvergují k řešení originálu?
Tyto optimalizační problémy můžeme vložit do epi-konvergenčního rámce definováním rozšířených funkcí se skutečnou hodnotou
![{ displaystyle { begin {aligned} f (x) & = { begin {cases} g (x), & x in C, infty, & x not in C, end {cases}} [4pt] f ^ { nu} (x) & = { begin {cases} g ^ { nu} (x), & x v C ^ { nu}, infty, & x not v C ^ { nu}. end {případech}} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9db4be93eed06bc528e86e3206cb26ae1998558)
Takže problémy
a
jsou ekvivalentní původnímu a přibližnému problému.
Li
epi-konverguje k
, pak
. Kromě toho, pokud
je mezní bod minimalizátorů z
, pak
je minimalizátor
. V tomto smyslu,
![{ displaystyle lim _ {v to infty} operatorname {argmin} f ^ { nu} subseteq operatorname {argmin} f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543fba5c7e8670de04aa8db3f90f65d101c2c660)
Epi-konvergence je nejslabší pojem konvergence, pro který tento výsledek platí.
Vlastnosti
epi-konverguje k
kdyby a jen kdyby
hypo-konverguje k
.
epi-konverguje k
kdyby a jen kdyby
konverguje k
jako sady, v Painlevé – Kuratowski smysl množinové konvergence. Tady,
je epigraf funkce
.- Li
epi-konverguje k
, pak
je nižší polokontinuální. - Li
je konvexní pro každého
a
epi-konverguje k
, pak
je konvexní. - Li
a obojí
a
epi-konvergovat do
, pak
epi-konverguje k
. - Li
konverguje rovnoměrně na
na každé kompaktní sadě
a
jsou tedy spojité
epi-konverguje a hypo-konverguje k
. - Obecně platí, že epi-konvergence ani nenaznačuje, ani z ní nevyplývá bodová konvergence. Na bodově konvergentní rodinu funkcí lze vložit další předpoklady, aby byla zaručena epi-konvergence.
Reference