Wittova věta - Witts theorem - Wikipedia

„Wittova věta“ nebo „Wittova věta“ mohou také odkazovat na Věta o pevném bodě Bourbaki – Witt teorie řádu.

V matematice Wittova věta, pojmenoval podle Ernst Witt, je základním výsledkem v algebraické teorii kvadratické formy: jakýkoli izometrie mezi dvěma podprostory nonsingular kvadratický prostor přes pole k lze rozšířit na izometrii celého prostoru. Obdobné tvrzení platí také pro šikmo-symetrické, Hermitian a šikmo-Hermitian bilineární formy přes libovolná pole. Věta platí pro klasifikaci kvadratických forem nad k a zejména umožňuje definovat Wittova skupina Ž(k), který popisuje „stabilní“ teorii kvadratických forem nad polem k.

Prohlášení

Nechat (PROTI, b) být konečný trojrozměrný vektorový prostor nad a pole k z charakteristický odlišné od 2 společně s nedegenerovaným symetrickým nebo zkoseným symetrickým bilineární forma. Li F : U → U′ je izometrie mezi dvěma podprostory PROTI pak F rozšiřuje na izometrii PROTI.

Wittova věta znamená, že dimenze maxima zcela izotropní podprostor (prázdný prostor) z PROTI je neměnný, nazývaný index nebo Wittův index z b,^[1] a navíc, že izometrická skupina z (PROTI, b) činy přechodně na množinu maximálních izotropních podprostorů. Tato skutečnost hraje důležitou roli v teorii struktury a teorie reprezentace izometrické skupiny a v teorii redukční dvojice.

Wittova věta o zrušení

Nechat (PROTI, q), (PROTI₁, q₁), (PROTI₂, q₂) být tři kvadratické mezery nad polem k. Předpokládat, že

${ displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) oplus (V, q) simeq (V_ {2}, q_ {2}) oplus (V, q).}$

Pak kvadratické mezery (PROTI₁, q₁) a (PROTI₂, q₂) jsou izometrické:

${ displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) simeq (V_ {2}, q_ {2}).}$

Jinými slovy, přímý součet (PROTI, q) objevující se na obou stranách izomorfismu mezi kvadratickými mezerami může být „zrušeno“.

Wittova věta o rozkladu

Nechat (PROTI, q) být kvadratickým prostorem nad polem k. Pak přiznává a Wittův rozklad:

${ displaystyle (V, q) simeq (V_ {0}, 0) oplus (V_ {a}, q_ {a}) oplus (V_ {h}, q_ {h}),}$

kde PROTI₀ = ker q je radikální z q, (PROTI_A, q_A) je anizotropní kvadratický prostor a (PROTI_h, q_h) je rozdělit kvadratický prostor. Anizotropní součet, dále označovaný jako základní formaa hyperbolický součet ve Wittově rozkladu (PROTI, q) jsou určeny jednoznačně až po izomorfismus.^[2]

Říká se, že jsou kvadratické formy se stejnou základní formou podobný nebo Wittův ekvivalent.

Citace

Reference

• Emil Artin (1957) Geometrická algebra, strana 121
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Úvod do kvadratických forem nad poli, Postgraduální studium matematiky, 67Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-1095-2, PAN  2104929, Zbl  1068.11023
• Lorenz, Falko (2008), Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer-Verlag, s. 15–27, ISBN  978-0-387-72487-4, Zbl  1130.12001
• O'Meara, O. Timothy (1973), Úvod do kvadratických forem, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 117, Springer-Verlag, Zbl  0259.10018