Wijsmanova konvergence - Wijsman convergence - Wikipedia

Wijsmanova konvergence je variace Hausdorffova konvergence vhodné pro práci s neomezené sady Wijsmanova konvergence je intuitivně konvergence v Hausdorffova metrika tak jako bodová konvergence je jednotná konvergence.

Dějiny

Konvergenci definoval Robert Wijsman.^[1]Stejnou definici dříve použil Zdeněk Frolík.^[2]Ještě dříve, Hausdorff ve své knize Grundzüge der Mengenlehre definované tzv uzavřené limity;pro správné metrické prostory je to stejné jako Wijsmanova konvergence.

Nechť (X, d) být metrický prostor a nechat Cl (X) označují sbírku všech d- uzavřené podmnožiny X. Pro bod X ∈ X a sada A ∈ Cl (X), nastavit

{ displaystyle d (x, A) = inf _ {a v A} d (x, a).}

Sekvence (nebo síť ) sad A_i ∈ Cl (X) se říká, že je Wijsman konvergentní na A ∈ Cl (X) pokud pro každého X ∈ X,

{ displaystyle d (x, A_ {i}) až d (x, A).}

Wijsmanova konvergence indukuje a topologie na Cl (X), známý jako Wijsman topologie.

Wijsmanova topologie velmi silně závisí na metrice d. I když jsou dvě metriky rovnoměrně ekvivalentní, mohou generovat různé topologie Wijsman.
Beerova věta: pokud (X, d) je kompletní, oddělitelný metrický prostor, pak Cl (X) s Wijsman topologií je a Polský prostor, tj. je oddělitelný a měřitelný pomocí úplné metriky.
Cl (X) s Wijsman topologie je vždy a Tychonoffův prostor. Navíc má jeden Levi-Lechickiho věta: (X, d) je oddělitelný kdyby a jen kdyby Cl (X) je buď měřitelný, nejdříve spočítatelné nebo druhý spočetný.
Pokud je bodová konvergence Wijsmanovy konvergence nahrazena jednotnou konvergencí (jednotně v X), pak získáme Hausdorffovu konvergenci, kde je Hausdorffova metrika dána vztahem

{ displaystyle d _ { mathrm {H}} (A, B) = sup _ {x v X} { big |} d (x, A) -d (x, B) { big |}. }

Topologie Hausdorff a Wijsman na Cl (X) se shodují právě tehdy, když (X, d) je zcela ohraničený prostor.

^ Wijsman, Robert A. (1966). "Konvergence posloupností konvexních množin, kuželů a funkcí. II". Trans. Amer. Matematika. Soc. Americká matematická společnost. 123 (1): 32–45. doi:10.2307/1994611. JSTOR 1994611. PAN0196599
^ Z. Frolík, O topologické konvergenci množin, Czechoskovak Math. J. 10 (1960), 168–180

Pivo, Gerald (1993). Topologie na uzavřených a uzavřených konvexních sadách. Matematika a její aplikace 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. str. xii + 340. ISBN 0-7923-2531-1. PAN1269778
Pivo, Gerald (1994). "Wijsmanova konvergence: průzkum". Set-Valued Anal. 2 (1–2): 77–94. doi:10.1007 / BF01027094. PAN1285822