Věta Wiener – Ikehara - Wiener–Ikehara theorem

The Věta Wiener – Ikehara je Tauberianova věta představil Shikao Ikehara  (1931 ). Vyplývá to z Wienerova Tauberianova věta, a lze je použít k prokázání věta o prvočísle (PNT) (Chandrasekharan, 1969).

Prohlášení

Nechat A(X) být nezáporný, monotóní neklesající funkce X, definované pro 0 ≤X <∞. Předpokládejme to

${displaystyle f (s) = int _ {0} ^ {infty} A (x) e ^ {- xs}, dx}$

konverguje pro ℜ (s)> 1 do funkce ƒ(s) a to pro některé nezáporné číslo C,

${displaystyle f (s) - {frac {c} {s-1}}}$

má příponu jako spojitá funkce pro ℜ (s) ≥ 1. Poté omezit tak jako X jde do nekonečna E^−X A(X) se rovná c.

Jedna konkrétní aplikace

Důležitou číselně-teoretickou aplikací věty je Dirichletova řada formuláře

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a (n) n ^ {- s}}$

kde A(n) není negativní. Pokud řada konverguje na analytickou funkci v

${displaystyle Re (s) geq b}$

s jednoduchým pólem zbytku C na s = b, pak

${displaystyle sum _ {nleq X} a (n) sim {frac {c} {b}} X ^ {b}.}$

Toto aplikujeme na logaritmickou derivaci Funkce Riemann zeta, kde koeficienty v Dirichletově řadě jsou hodnoty von Mangoldtova funkce, je možné odvodit PNT ze skutečnosti, že funkce zeta nemá na řádku žádné nuly

${displaystyle Re (s) = 1.}$

Reference

• S. Ikehara (1931), „Rozšíření Landauovy věty v analytické teorii čísel“, Journal of Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of Technology, 10: 1–12, Zbl  0001.12902
• Wiener, Norbert (1932), „Tauberianovy věty“, Annals of Mathematics, Druhá série, 33 (1): 1–100, doi:10.2307/1968102, ISSN  0003-486X, JFM  58.0226.02, JSTOR  1968102
• K. Chandrasekharan (1969). Úvod do teorie analytických čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag. ISBN  3-540-04141-9.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie. Cambridge trakty v pokročilé matematice. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. 259–266. ISBN  0-521-84903-9.