Weinstein – Aronszajn identita - Weinstein–Aronszajn identity

v matematika, Weinstein – Aronszajn identita uvádí, že pokud ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou matice velikosti m × n a n × m respektive (jeden nebo oba mohou být nekonečné), pak za předpokladu ${ displaystyle AB}$ je z stopová třída (a tedy také je ${ displaystyle BA}$),

${ displaystyle det (I_ {m} + AB) = det (I_ {n} + BA),}$

kde ${ displaystyle I_ {k}}$ je k × k matice identity.

Úzce souvisí s Lemma determinant matice a jeho zobecnění. To je určující analogie Identita matice Woodburyho pro inverze matice.

Důkaz

Totožnost může být prokázána následovně.^[1] Nechat ${ displaystyle M}$ být matice obsahující čtyři bloky ${ displaystyle I_ {m}}$, ${ displaystyle -A}$, ${ displaystyle B}$ a ${ displaystyle I_ {n}}$.

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}}.}$

Protože Já_m je invertibilní dává vzorec pro determinant blokové matice

${ displaystyle det { start {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}} = det (I_ {m}) det (I_ {n} -BI_ {m } ^ {- 1} (- A)) = det (I_ {n} + BA).}$

Protože Já_n je invertibilní, dává vzorec pro determinant blokové matice

${ displaystyle det { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}} = det (I_ {n}) det (I_ {m} - (- A ) I_ {n} ^ {- 1} B) = det (I_ {m} + AB).}$

Tím pádem

${ displaystyle det (I_ {n} + BA) = det (I_ {m} + AB).}$

Aplikace

Tato identifikace je užitečná při vývoji a Bayes odhadce pro vícerozměrné Gaussovy distribuce.

Identita také najde aplikace v teorie náhodných matic vztahem determinantů velkých matic k determinantům menších.^[2]

Reference

Tento lineární algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.