Lemma determinant matice - Matrix determinant lemma

v matematika, zejména lineární algebra, maticové determinantové lema počítá určující součtu an invertibilní matice A a dyadický produkt, u proti^Tsloupce vektor u a řádek vektor proti^T.^[1][2]

Prohlášení

Předpokládat A je invertibilní čtvercová matice a u, proti jsou sloupec vektory. Potom to říká lema matice determinantu

${ displaystyle det left ( mathbf {A} + mathbf {uv} ^ { textyf {T}} doprava) = doleva (1+ mathbf {v} ^ { textyf {T}} mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {u} right) , det left ( mathbf {A} right) ,.}$

Tady, uv^T je vnější produkt dvou vektorů u a proti.

Věta může být také uvedena ve smyslu adjugovaná matice z A:

${ displaystyle det left ( mathbf {A} + mathbf {uv} ^ { textyf {T}} doprava) = det left ( mathbf {A} vpravo) + mathbf {v} ^ { textyf {T}} mathrm {adj} doleva ( mathbf {A} doprava) mathbf {u} ,,}$

v takovém případě platí, zda čtvercová matice je či není A je invertibilní.

Důkaz

Nejprve důkaz zvláštního případu A = Já vyplývá z rovnosti:^[3]

${ displaystyle { begin {pmatrix} mathbf {I} & 0 mathbf {v} ^ { textyf {T}} & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} mathbf {I} + mathbf {uv} ^ { Textyf {T}} & mathbf {u} 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} mathbf {I} & 0 - mathbf {v} ^ { textyf {T}} & 1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} mathbf {I} & mathbf {u} 0 & 1 + mathbf {v} ^ { textyf {T}} mathbf {u } end {pmatrix}}.}$

Determinant na levé straně je součinem determinantů tří matic. Jelikož první a třetí matice jsou trojúhelníkové matice s jednotkovou úhlopříčkou, jejich determinanty jsou pouze 1. Determinant střední matice je naší požadovanou hodnotou. Determinant pravé strany je jednoduše (1 + proti^Tu). Takže máme výsledek:

${ displaystyle det left ( mathbf {I} + mathbf {uv} ^ { textyf {T}} doprava) = doleva (1+ mathbf {v} ^ { textyf {T}} mathbf {u} right).}$

Obecný případ pak lze najít jako:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} det left ( mathbf {A} + mathbf {uv} ^ { textyf {T}} vpravo) & = det left ( mathbf {A} vpravo ) det left ( mathbf {I} + left ( mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {u} right) mathbf {v} ^ { textyf {T}} doprava) & = det left ( mathbf {A} right) left (1+ mathbf {v} ^ { textyf {T}} left ( mathbf {A} ^ {- 1} mathbf { u} right) right). end {zarovnáno}}}$

aplikace

Pokud je určující a inverzní k A jsou již známy, vzorec poskytuje a číselně levné způsob výpočtu determinantu A opraveno maticí uv^T. Výpočet je relativně levný, protože určující A + uv^T nemusí být počítán od nuly (což je obecně drahé). Použitím jednotkové vektory pro u a / nebo proti, jednotlivé sloupce, řádky nebo prvky^[4] z A může být takto manipulováno a odpovídajícím způsobem aktualizován determinant vypočítán relativně levně.

Když se matematické determinantní lemma používá ve spojení s Sherman – Morrisonův vzorec, inverzní i determinantní lze pohodlně aktualizovat společně.

Zobecnění

Předpokládat A je invertibilní n-podle-n matice a U, PROTI jsou n-podle-m matice. Pak

${ displaystyle operatorname {det} left ( mathbf {A} + mathbf {UV} ^ { textyf {T}} right) = operatorname {det} left ( mathbf {I_ {m}} + mathbf {V} ^ { textyf {T}} mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {U} vpravo) operatorname {det} ( mathbf {A}).}$

Ve zvláštním případě ${ displaystyle mathbf {A} = mathbf {I_ {n}}}$ to je Weinstein – Aronszajn identita.

Vzhledem k tomu, navíc invertible m-podle-m matice Ž, vztah lze také vyjádřit jako

${ displaystyle operatorname {det} left ( mathbf {A} + mathbf {UWV} ^ { textyf {T}} doprava) = det left ( mathbf {W} ^ {- 1} + mathbf {V} ^ { textyf {T}} mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {U} vpravo) det vlevo ( mathbf {W} vpravo) det vlevo ( mathbf {A} right).}$

Viz také

• The Sherman – Morrisonův vzorec, který ukazuje, jak aktualizovat inverzní, A⁻¹, získat (A + uv^T)⁻¹.
• The Woodburyův vzorec, který ukazuje, jak aktualizovat inverzní, A⁻¹, získat (A + UCV^T)⁻¹.
• The binomická inverzní věta pro (A + UCV^T)⁻¹.

Reference