Von Neumannův paradox - Von Neumann paradox

v matematika, von Neumannův paradox, pojmenoval podle John von Neumann, je myšlenka, že lze zlomit rovinnou postavu, jako je jednotka čtverec do sad bodů a každou sadu podrobit an afinní transformace zachovávající oblast tak, že výsledkem jsou dvě rovinné postavy stejné velikosti jako originál. To bylo prokázáno v roce 1929 John von Neumann, za předpokladu, že axiom volby. Je založen na dřívějším Banach – Tarski paradox, což je zase založeno na Hausdorffův paradox.

Banach a Tarski to dokázali pomocí izometrické transformace Výsledek rozebrání a opětovného sestavení dvourozměrné postavy by nutně měl stejnou plochu jako originál. To by znemožnilo vytvoření dvou čtverců jednotek z jednoho. Ale von Neumann si uvědomil, že trikem takových takzvaných paradoxních rozkladů bylo použití a skupina transformací, které zahrnují jako a podskupina A volná skupina se dvěma generátory. Skupina transformací zachovávajících oblast (ať už speciální lineární skupina nebo speciální afinní skupina ) obsahuje takové podskupiny, a to otevírá možnost provádění paradoxních rozkladů s jejich využitím.

Náčrt metody

Následuje neformální popis metody nalezené von Neumannem. Předpokládejme, že máme volná skupina H oblast zachovávající lineární transformace generované dvěma transformacemi, σ a τ, které nejsou daleko od prvku identity. Být volnou skupinou znamená, že všechny její prvky lze vyjádřit jedinečně ve formě ${displaystyle sigma ^ {u_ {1}} au ^ {v_ {1}} sigma ^ {u_ {2}} au ^ {v_ {2}} cdots sigma ^ {u_ {n}} au ^ {v_ {n} }}$ pro některé n, Kde ${displaystyle u}$s a ${displaystyle v}$s jsou všechna nenulová celá čísla, s výjimkou možná prvního ${displaystyle u}$ a poslední ${displaystyle v}$. Tuto skupinu můžeme rozdělit na dvě části: ty, které začínají nalevo s σ na nenulovou mocninu (tuto sadu nazýváme A) a ty, které začínají τ na nějakou moc (tj. ${displaystyle u_ {1}}$ je nula - nazýváme tuto sadu Ba zahrnuje identitu).

Pokud budeme pracovat v jakémkoli bodě v euklidovském 2-prostoru různými prvky H dostaneme takzvanou oběžnou dráhu tohoto bodu. Všechny body v rovině lze tedy rozdělit na oběžné dráhy, kterých je nekonečné číslo s mohutnost kontinua. Za použití axiom volby, můžeme si vybrat jeden bod z každé oběžné dráhy a volat sadu těchto bodů M. Vyloučíme počátek, kterým je pevný bod H. Pokud pak budeme operovat M všemi prvky H, vygenerujeme každý bod roviny (kromě počátku) přesně jednou. Pokud budeme operovat M všemi prvky A nebo B, dostaneme dvě disjunktní množiny, jejichž sjednocení jsou všechny body kromě počátku.

Nyní vezmeme nějakou postavu, jako je čtverec jednotky nebo disk jednotky. Poté v něm vybereme úplně jinou postavu, například menší čtverec se středem počátku. Velkou postavu můžeme zakrýt několika kopiemi malé postavy, i když některými body zakrytými dvěma nebo více kopiemi. Poté můžeme každý bod velké postavy přiřadit jedné z kopií malé postavy. Zavoláme sady odpovídající každé kopii ${displaystyle C_ {1}, C_ {2}, tečky, C_ {m}}$. Nyní provedeme individuální mapování každého bodu velké postavy na bod v jeho vnitřku pomocí pouze transformací zachovávajících oblast. Bereme body patřící k ${displaystyle C_ {1}}$ a přeložit je tak, aby střed ${displaystyle C_ {1}}$ čtverec je na počátku. Poté v ní vezmeme ty body, které jsou v sadě A definované výše a operovat na nich pomocí operace zachování oblasti σ τ. To je dá do sady B. Poté vezmeme body patřící k B a operovat s nimi pomocí σ². Nyní budou stále uvnitř B, ale sada těchto bodů bude disjunktní od předchozí sady. Postupujeme tímto způsobem pomocí σ³τ na A bodů z C₂ (po centrování) a σ⁴ na jeho B body atd. Tímto způsobem jsme namapovali všechny body z velké postavy (kromě některých pevných bodů) způsobem jedna k jedné na B zadejte body ne příliš daleko od středu a uvnitř velké postavy. Poté můžeme provést druhé mapování na A zadejte body.

V tomto okamžiku můžeme použít metodu Cantor-Bernstein-Schroederova věta. Tato věta nám říká, že pokud máme injekce ze sady D nastavit E (například od velké postavy po A typ bodů v něm) a injekce z E na D (například mapování identity z A zadejte body na obrázku sami), pak existuje a osobní korespondence mezi D a E. Jinými slovy, mít mapování od velké postavy k podmnožině A body v něm, můžeme vytvořit mapování (bijection) od velké postavy k Všechno the A body v něm. (V některých regionech jsou body mapovány samy k sobě, v jiných jsou mapovány pomocí mapování popsaného v předchozím odstavci.) Podobně můžeme vytvořit mapování od velké postavy ke všem B body v něm. Podíváme-li se na to opačně, můžeme rozdělit figurku na její A a B body, a poté každý z nich namapujte zpět na celý obrázek (tj. obsahující oba druhy bodů)!

Tato skica vysvětluje některé věci, například to, jak zacházet s pevnými body. Ukazuje se, že k tomu je zapotřebí více mapování a více sad.

Důsledky

Paradox čtverce lze posílit následovně:

Jakékoli dvě ohraničené podmnožiny euklidovské roviny s neprázdnými interiéry jsou rovnocenné s ohledem na afinní mapy zachovávající oblast.

To má důsledky týkající se problém opatření. Jak poznamenává von Neumann,

„Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives adds Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), dass [sic] gegenüber allen Abbildungen von A₂ invariant wäre. “^[1]

„V souladu s tím již v rovině neexistuje žádná nezáporná doplňková míra (pro kterou má jednotkový čtverec míru 1), která je neměnná vzhledem ke všem transformacím patřícím A₂ [skupina afinních transformací zachovávajících oblast]. “

Abychom to ještě trochu vysvětlili, otázka, zda existuje konečně aditivní míra, která je zachována při určitých transformacích, závisí na tom, jaké transformace jsou povoleny. The Banachovo opatření množin v rovině, která je zachována překlady a rotacemi, není zachována neizometrickými transformacemi, i když zachovávají oblast polygonů. Jak bylo vysvětleno výše, body roviny (jiné než počátek) lze rozdělit na dva husté sady které můžeme nazvat A a B. Pokud A body daného polygonu jsou transformovány určitou transformací zachovávající oblast a B body jiným, obě sady se mohou stát podmnožinami souboru B body ve dvou nových polygonech. Nové polygony mají stejnou oblast jako starý mnohoúhelník, ale dvě transformované sady nemohou mít stejnou míru jako dříve (protože obsahují pouze část B bodů), a proto neexistuje opatření, které by „fungovalo“.

Třída skupin izolovaných von Neumannem v průběhu studia fenoménu Banach-Tarski se ukázala jako velmi důležitá pro mnoho oblastí matematiky: jedná se o přístupné skupiny nebo skupiny s neměnným průměrem a zahrnují všechny konečné a všechny řešitelné skupiny. Obecně řečeno, paradoxní dekompozice vznikají, když skupina použitá pro ekvivalence v definici ekvidecomposability je ne přístupný.

Nedávný pokrok

Von Neumannova práce nechala otevřenou možnost paradoxního rozkladu vnitřku jednotkového čtverce vzhledem k lineární skupině SL(2,R) (Vůz, otázka 7.4). V roce 2000 Miklós Laczkovich prokázal, že takový rozklad existuje.^[2] Přesněji řečeno A být rodinou všech ohraničených podmnožin letadla s neprázdným vnitřkem a v kladné vzdálenosti od počátku a B rodina všech rovinných množin s vlastností, kterou spojení konečně mnoha překládá pod některými prvky SL(2,R) obsahuje propíchnuté okolí původu. Pak všechny sady v rodině A jsou SL(2,R) -equidecomposable a podobně pro soubory v B. Z toho vyplývá, že obě rodiny se skládají z paradoxních množin.

Reference