Varadhansovo lemma - Varadhans lemma - Wikipedia

v matematika, Varadhanovo lemma je výsledkem od teorie velkých odchylek pojmenoval podle S. R. Srinivasa Varadhan. Výsledek poskytuje informace o asymptotická distribuce statistiky φ(Z_ε) rodiny náhodné proměnné Z_ε tak jako ε se stává malým z hlediska a rychlostní funkce pro proměnné.

Prohlášení o lemmatu

Nechat X být běžný topologický prostor; nechť (Z_ε)_ε>0 být rodinou náhodných proměnných, které mají hodnoty v X; nechat μ_ε být zákonem (míra pravděpodobnosti ) z Z_ε. Předpokládejme, že (μ_ε)_ε>0 uspokojuje princip velké odchylky s dobrou funkcí sazby Já : X → [0, + ∞]. Nechat ϕ  : X → R být kdokoli spojitá funkce. Předpokládejme, že platí alespoň jedna z následujících dvou podmínek: buď ocasní podmínka

${ displaystyle lim _ {M až infty} limsup _ { varepsilon až 0} { big (} varepsilon log mathbf {E} { big [} exp { big (} phi (Z _ { varepsilon}) / varepsilon { big)} , mathbf {1} { big (} phi (Z _ { varepsilon}) geq M { big)} { big]} { big)} = - infty,}$

kde 1(E) označuje funkce indikátoru akce E; nebo pro některé y > 1, okamžik stav

${ displaystyle limsup _ { varepsilon až 0} { big (} varepsilon log mathbf {E} { big [} exp { big (} gamma phi (Z _ { varepsilon}) / varepsilon { big)} { big]} { big)} < infty.}$

Pak

${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0} varepsilon log mathbf {E} { big [} exp { big (} phi (Z _ { varepsilon}) / varepsilon { big) } { big]} = sup _ {x in X} { big (} phi (x) -I (x) { big)}.}$

Viz také

• Laplaceův princip (teorie velkých odchylek)

Reference

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Techniky a aplikace velkých odchylek. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. str. xvi + 396. ISBN  0-387-98406-2. PAN  1619036. (Viz teorém 4.3.1)