Ultragraph C * -algebra - Ultragraph C*-algebra

V matematice, an ultragraf C * -algebra je univerzální C * -algebra generovaná dílčí izometrie na kolekci Hilbertových prostorů vytvořených z ultragrafu^[1]^{str. 6-7}. Tyto C * -algebry byly vytvořeny za účelem současného zobecnění tříd graf C * -algebry a Exel – Laca algebry, poskytující jednotný rámec pro studium těchto objektů.^[1] Je to proto, že každý graf lze kódovat jako ultragraf a podobně každý nekonečný graf poskytující algebry Exel-Laca lze také kódovat jako ultragraf.

Definice

Ultragrafy

An ultragraf ${ displaystyle { mathcal {G}} = (G ^ {0}, { mathcal {G}} ^ {1}, r, s)}$ sestává ze sady vrcholů ${ displaystyle G ^ {0}}$ , sada hran ${ displaystyle { mathcal {G}} ^ {1}}$ , zdrojová mapa ${ displaystyle s: { mathcal {G}} ^ {1} na G ^ {0}}$ a mapa dosahu ${ displaystyle r: { mathcal {G}} ^ {1} na P (G ^ {0}) setminus { emptyset }}$ přičemž hodnoty v napájecí sada sbírka ${ displaystyle P (G ^ {0}) setminus { prázdná sada }}$ neprázdných podmnožin sady vrcholů. Směrovaný graf je speciální případ ultragrafu, ve kterém je rozsah každé hrany singleton, a ultragrafy lze považovat za zobecněný orientovaný graf, ve kterém každá hrana začíná na jediném vrcholu a ukazuje na neprázdnou podmnožinu vrcholů.

Příklad

Ultragraph

{ displaystyle ( {v, w, x }, {e, f, g }, s, r)}

Snadný způsob vizualizace ultragrafu je zvážit směrovaný graf se sadou označených vrcholů, kde každý štítek odpovídá podmnožině v obraze prvku mapy rozsahu. Například dostal ultragraf s vrcholy a popisky hran

${ displaystyle { mathcal {G}} ^ {0} = {v, w, x }}$ , ${ displaystyle { mathcal {G}} ^ {1} = {e, f, g }}$

se zdrojem mapy rozsahu

${ displaystyle { begin {matrix} s (e) = v & s (f) = w & s (g) = x r (e) = {v, w, x } & r (f) = {x } & r (g) = {v, w } end {matrix}}}$

lze vizualizovat jako obrázek vpravo.

Ultragrafické algebry

Vzhledem k ultragrafu ${ displaystyle { mathcal {G}} = (G ^ {0}, { mathcal {G}} ^ {1}, r, s)}$ , definujeme ${ displaystyle { mathcal {G}} ^ {0}}$ být nejmenší podmnožinou ${ displaystyle P (G ^ {0})}$ obsahující singletonové sady ${ displaystyle { {v }: v v G ^ {0} }}$ obsahující sady rozsahů ${ displaystyle {r (e): e in { mathcal {G}} ^ {1} }}$ a uzavřeny pod křižovatkami, odbory a relativními doplňky. A Cuntz – Krieger ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -rodina je sbírka projekcí ${ displaystyle {p_ {A}: A in { mathcal {G}} ^ {0} }}$ společně se sbírkou dílčí izometrie ${ displaystyle {s_ {e}: e in { mathcal {G}} ^ {1} }}$ se vzájemně uspokojivými ortogonálními rozsahy

${ displaystyle p _ { emptyset}}$ , ${ displaystyle p_ {A} p_ {B} = p_ {A cap B}}$ , ${ displaystyle p_ {A} + p_ {B} -p_ {A cap B} = p_ {A cup B}}$ pro všechny ${ displaystyle A v { mathcal {G}} ^ {0}}$ ,
${ displaystyle s_ {e} ^ {*} s_ {e} = p_ {r (e)}}$ pro všechny ${ displaystyle e in { mathcal {G}} ^ {1}}$ ,
${ displaystyle p_ {v} = součet _ {s (e) = v} s_ {e} s_ {e} ^ {*}}$ kdykoli ${ displaystyle v v G ^ {0}}$ je vrchol, který vydává konečný počet hran, a
${ displaystyle s_ {e} s_ {e} ^ {*} leq p_ {s (e)}}$ pro všechny ${ displaystyle e in { mathcal {G}} ^ {1}}$ .

Ultragraf C * -algebra ${ displaystyle C ^ {*} ({ mathcal {G}})}$ je univerzální C * -algebra generované a Cuntz – Krieger ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ -rodina.

Vlastnosti

Každý graf C * -algebry je považován za ultragrafickou algebru pouhým zvážením grafu jako zvláštního případu ultragrafu a uvědomením si, že ${ displaystyle { mathcal {G}} ^ {0}}$ je sbírka všech konečných podskupin ${ displaystyle G ^ {0}}$ a ${ displaystyle p_ {A} = součet _ {v v A} p_ {v}}$ pro každého ${ displaystyle A v { mathcal {G}} ^ {0}}$ . Každá algebra Exel – Laca je také ultragrafem C * -algebra: If ${ displaystyle A}$ je nekonečná čtvercová matice se sadou indexů ${ displaystyle I}$ a položky v ${ displaystyle {0,1 }}$ , lze definovat ultragraf podle ${ displaystyle G ^ {0}: =}$ , ${ displaystyle G ^ {1}: = I}$ , ${ displaystyle s (i) = i}$ , a ${ displaystyle r (i) = {j v I: A (i, j) = 1 }}$ . To lze ukázat ${ displaystyle C ^ {*} ({ mathcal {G}})}$ je izomorfní s algebrou Exel – Laca ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {A}}$ .^[1]

Ultragraph C * -algebry jsou užitečné nástroje pro studium jak grafů C * -algeber, tak Exel – Laca algeber. Mezi další výhody patří modelování algebry Exel – Laca jako ultragrafické C * -algebry, které umožňuje použít ultragraf jako nástroj ke studiu souvisejících C * -algeber, čímž poskytuje možnost použít spíše graficko-teoretické techniky než maticové techniky, při studiu algebry Exel – Laca. Ultragraph C * -algebry byly použity k prokázání, že každá jednoduchá AF-algebra je izomorfní buď s grafem C * -algebra, nebo Exel – Laca algebra.^[2] Byly také použity k prokázání, že každá AF-algebra bez žádného (nenulového) konečněrozměrného kvocientu je isomorfní s Exel-Laca algebrou.^[2]

Zatímco třídy grafů C * -algebry, Exel – Laca algebry a ultragrafické C * -algebry obsahují každá C * -algebry, které nejsou izomorfní k žádné C * -algebře v ostatních dvou třídách, ukázalo se, že tři třídy se shodují na Morita ekvivalence.^[3]

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C Jednotný přístup k algebrám Exel – Laca a C * -algebrám spojeným s grafy Mark Tomforde, J. Operator Theory 50 (2003), č. 2, 345–368.
^ ^A ^b Realizace AF-algeber jako grafové algebry, Exel-Laca algebry a ultragrafové algebry, Takeshi Katsura, Aidan Sims a Mark Tomforde, J. Funct. Anální. 257 (2009), č. 5, 1589–1620.
^ Grafové algebry, algebry Exel – Laca a ultragrafické algebry se shodují až do rovnocennosti podle Mority., Takeshi Katsura, Paul Muhly, Aidan Sims a Mark Tomforde, J. Reine Angew. Matematika. 640 (2010), 135–165.

[Tom-1] A ^b ^C Jednotný přístup k algebrám Exel – Laca a C * -algebrám spojeným s grafy Mark Tomforde, J. Operator Theory 50 (2003), č. 2, 345–368.

[KST-2] A ^b Realizace AF-algeber jako grafové algebry, Exel-Laca algebry a ultragrafové algebry, Takeshi Katsura, Aidan Sims a Mark Tomforde, J. Funct. Anální. 257 (2009), č. 5, 1589–1620.

[3] Grafové algebry, algebry Exel – Laca a ultragrafické algebry se shodují až do rovnocennosti podle Mority., Takeshi Katsura, Paul Muhly, Aidan Sims a Mark Tomforde, J. Reine Angew. Matematika. 640 (2010), 135–165.

[1]

[2]

[3]