Leavittova cesta algebra - Leavitt path algebra - Wikipedia

V matematice, a Leavittova cesta algebra je univerzální algebra vytvořená z řízeného grafu. Leavittovy cesty algebry zobecňují Leavittovy algebry a lze je také považovat za algebraické analogy grafu C * -algebry. Leavittovy cesty algebry byly současně představeny v roce 2005 Gene Abrams a Gonzalo Aranda Pino^[1] stejně jako Pere Ara, María Moreno a Enrique Pardo,^[2] přičemž ani jedna ze dvou skupin nevěděla o práci druhé.^[3] Leavittovy cesty algebry byly zkoumány desítkami matematiků od jejich zavedení a v roce 2020 byly přidány Leavittovy cesty algebry Klasifikace matematických předmětů s kódem 16S88 pod obecnou disciplínou Associative Rings and Algebras.^[4]

Terminologie grafů

Teorie Leavittových algeber cest používá terminologii pro grafy podobné teorii C * -algebraistů, která se mírně liší od té, kterou používají teoretici grafů. Termín graf se obvykle rozumí a řízený graf ${ displaystyle E = (E ^ {0}, E ^ {1}, r, s)}$ skládající se z počitatelné sady vrcholů ${ displaystyle E ^ {0}}$, spočetná sada hran ${ displaystyle E ^ {1}}$a mapy ${ displaystyle r, s: E ^ {1} rightarrow E ^ {0}}$ identifikace rozsahu a zdroje každé hrany. Vrchol ${ displaystyle v v E ^ {0}}$ se nazývá a dřez když ${ displaystyle s ^ {- 1} (v) = emptyset}$; tj. v něm nejsou žádné hrany ${ displaystyle E}$ se zdrojem ${ displaystyle v}$. Vrchol ${ displaystyle v v E ^ {0}}$ se nazývá nekonečný emitor když ${ displaystyle s ^ {- 1} (v)}$ je nekonečný; tj. v něm je nekonečně mnoho hran ${ displaystyle E}$ se zdrojem ${ displaystyle v}$. Vrchol se nazývá a singulární vrchol pokud je to buď umyvadlo, nebo nekonečný emitor a vrchol se nazývá a pravidelný vrchol pokud to není singulární vrchol. Všimněte si, že vrchol ${ displaystyle v}$ je normální, právě když je počet hran v ${ displaystyle E}$ se zdrojem ${ displaystyle v}$ je konečný a nenulový. Nazývá se graf řádek-konečný pokud nemá žádné nekonečné zářiče; tj. pokud je každý vrchol buď běžným vrcholem, nebo dřezem.

A cesta je konečná posloupnost hran ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ s ${ displaystyle r (e_ {i}) = s (e_ {i + 1})}$ pro všechny ${ displaystyle 1 leq i leq n-1}$. An nekonečná cesta je nespočetně nekonečná posloupnost hran ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots}$ s ${ displaystyle r (e_ {i}) = s (e_ {i + 1})}$ pro všechny ${ displaystyle i in mathbb {N}}$. A cyklus je cesta ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ s ${ displaystyle r (e_ {n}) = s (e_ {1})}$a výstup na cyklus ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ je hrana ${ displaystyle f v E ^ {1}}$ takhle ${ displaystyle s (f) = s (e_ {i})}$ a ${ displaystyle f neq e_ {i}}$ pro některé ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$. Cyklus ${ displaystyle e_ {1} e_ {2} ldots e_ {n}}$ se nazývá a jednoduchý cyklus -li ${ displaystyle s (e_ {i}) neq s (e_ {1})}$ pro všechny ${ displaystyle 2 leq i leq n}$.

Následuje dvě důležité podmínky grafu, které vznikají při studiu algebry Leavittovy cesty.

Stav (L): Každý cyklus v grafu má opuštění.

Podmínka (K): V grafu není žádný vrchol, který by byl právě na jednom jednoduchém cyklu. Ekvivalentně graf splňuje podmínku (K) tehdy a jen tehdy, pokud každý vrchol v grafu buď není na žádném cyklu, nebo na dvou nebo více jednoduchých cyklech.

Cuntz-Kriegerovy vztahy a univerzální vlastnictví

Opravte pole ${ displaystyle K}$. A Cuntz – Krieger ${ displaystyle E}$-rodina je sbírka ${ displaystyle {s_ {e} ^ {*}, s_ {e}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ v ${ displaystyle K}$-algebra tak, že následující tři vztahy (tzv Cuntz – Kriegerovy vztahy) jsou spokojeni:

(CK0) ${ displaystyle p_ {v} p_ {w} = { start {cases} p_ {v} & { text {if}} v = w 0 & { text {if}} v neq w end { případy}} quad}$ pro všechny ${ displaystyle v, w v E ^ {0}}$,

(CK1) ${ displaystyle s_ {e} ^ {*} s_ {f} = { begin {cases} p_ {r (e)} & { text {if}} e = f 0 & { text {if}} e neq f end {cases}} quad}$ pro všechny ${ displaystyle e, f v E ^ {0}}$,

(CK2) ${ displaystyle p_ {v} = součet _ {s (e) = v} s_ {e} s_ {e} ^ {*}}$ kdykoli ${ displaystyle v}$ je pravidelný vrchol a

(CK3) ${ displaystyle p_ {s (e)} s_ {e} = s_ {e}}$ pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$.

Leavittova cesta algebra odpovídající ${ displaystyle E}$, označeno ${ displaystyle L_ {K} (E)}$, je definován jako ${ displaystyle K}$-algebra generovaná Cuntz – Kriegerem ${ displaystyle E}$- to je rodina univerzální v tom smyslu, že kdykoli ${ displaystyle {t_ {e}, t_ {e} ^ {*}, q_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$ je Cuntz – Krieger ${ displaystyle E}$-rodina v ${ displaystyle K}$-algebra ${ displaystyle A}$ existuje a ${ displaystyle K}$-algebra homomorfismus ${ displaystyle phi: L_ {K} (E) do A}$ s ${ displaystyle phi (s_ {e}) = t_ {e}}$ pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$, ${ displaystyle phi (s_ {e} ^ {*}) = t_ {e} ^ {*}}$ pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$, a ${ displaystyle phi (p_ {v}) = q_ {v}}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$.

Definujeme ${ displaystyle p_ {v} ^ {*}: = p_ {v}}$ pro ${ displaystyle v v E ^ {0}}$a pro cestu ${ displaystyle alpha: = e_ {1} ldots e_ {n}}$ definujeme ${ displaystyle s _ { alpha}: = s_ {e_ {1}} ldots s_ {e_ {n}}}$ a ${ displaystyle s _ { alpha} ^ {*}: = s_ {e_ {n}} ^ {*} ldots s_ {e_ {1}} ^ {*}}$. Pomocí vztahů Cuntz – Krieger to lze ukázat

Tedy typický prvek ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ má formu ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} s _ { alpha _ {i}} s _ { beta _ {i}} ^ {*}}$ pro skaláry ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n} v K}$ a cesty ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}, beta _ {1}, ldots, beta _ {n}}$ v ${ displaystyle E}$. Li ${ displaystyle K}$ je pole s involucí ${ displaystyle lambda mapsto { overline { lambda}}}$ (např. kdy ${ displaystyle K = mathbb {C}}$), pak lze definovat * -operaci na ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ podle ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} s _ { alpha _ {i}} s _ { beta _ {i}} ^ {*} mapsto sum _ {i = 1} ^ {n} { overline { lambda _ {i}}} s _ { beta _ {i}} s _ { alpha _ {i}} ^ {*}}$ to dělá ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ do * -algebry.

Navíc to lze ukázat pro jakýkoli graf ${ displaystyle E}$, Leavittova cesta algebra ${ displaystyle L _ { mathbb {C}} (E)}$ je izomorfní s hustou * -subalgebrou grafu C * -algebra ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$.

Příklady

Leavittovy cesty algebry byly vypočítány pro mnoho grafů a následující tabulka ukazuje některé konkrétní grafy a jejich algebry cesty Leavittovy. Používáme konvenci, že dvojitá šipka nakreslená z jednoho vrcholu do druhého a označená ${ displaystyle infty}$ označuje, že od prvního vrcholu k druhému existuje nespočetně mnoho hran.

Směrovaný graf ${ displaystyle E}$	Leavittova cesta algebra ${ displaystyle L_ {K} (E)}$
	${ displaystyle K}$, podkladové pole
	${ displaystyle K [x, x ^ {- 1}]}$, Laurentovy polynomy s koeficienty v ${ displaystyle K}$
	${ displaystyle M_ {n} (K)}$, ${ displaystyle n krát n}$ matice s položkami v ${ displaystyle K}$
	${ displaystyle M _ { infty} {K}}$, spočitatelně indexované, konečně podporované matice se záznamy v ${ displaystyle K}$
	${ displaystyle M_ {n} (K [x, x ^ {- 1}])}$, ${ displaystyle n krát n}$ matice s položkami v ${ displaystyle K [x, x ^ {- 1}]}$
	the Leavittova algebra ${ displaystyle L_ {K} (n)}$
	${ displaystyle M _ { infty} {K} ^ {1}}$, sjednocení algebry ${ displaystyle M _ { infty} {K}}$

Korespondence mezi grafem a algebraickými vlastnostmi

Stejně jako u grafů C * -algebry, grafově-teoretické vlastnosti ${ displaystyle E}$ odpovídají algebraickým vlastnostem ${ displaystyle L_ {K} (E)}$. Je zajímavé, že se často stává, že vlastnosti grafu ${ displaystyle E}$ , které jsou ekvivalentní s algebraickou vlastností ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ jsou stejné vlastnosti grafu ${ displaystyle E}$ , které jsou ekvivalentní odpovídající C * -algebraické vlastnosti ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$a navíc mnoho vlastností pro ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ jsou nezávislé na poli ${ displaystyle K}$.

V následující tabulce je uveden krátký seznam některých známějších ekvivalentů. Čtenář může chtít porovnat tuto tabulku s odpovídající tabulka pro graf C * -algebry.

Majetek ${ displaystyle E}$	Majetek ${ displaystyle C ^ {*} (E)}$
${ displaystyle E}$ je konečný graf.	${ displaystyle L_ {K} (E)}$ je konečný rozměr.
Sada vrcholů ${ displaystyle E ^ {0}}$ je konečný.	${ displaystyle L_ {K} (E)}$ je unital (tj. ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ obsahuje multiplikativní identitu).
${ displaystyle E}$ nemá žádné cykly.	${ displaystyle L_ {K} (E)}$ je ultramatický ${ displaystyle K}$-algebra (tj. přímý limit konečně-dimenzionálního ${ displaystyle K}$-algebry).
${ displaystyle E}$ splňuje následující tři vlastnosti: Stav (L), pro každý vrchol ${ displaystyle v}$ a každá nekonečná cesta ${ displaystyle alpha}$ existuje směrovaná cesta z ${ displaystyle v}$ na vrchol ${ displaystyle alpha}$, a pro každý vrchol ${ displaystyle v}$ a každý singulární vrchol ${ displaystyle w}$ existuje směrovaná cesta z ${ displaystyle v}$ na ${ displaystyle w}$	${ displaystyle L_ {K} (E)}$ je jednoduchý.
${ displaystyle E}$ splňuje následující tři vlastnosti: Stav (L), pro každý vrchol ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle E}$ existuje cesta z ${ displaystyle v}$ do cyklu.	Každý levý ideál ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ obsahuje nekonečný idempotent. (Když ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ je jednoduché toto je ekvivalentní ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ být čistě nekonečným prstenem.)

Hodnocení

Pro cestu ${ displaystyle alpha: = e_ {1} ldots e_ {n}}$ nechali jsme ${ displaystyle | alpha |: = n}$ označit délku ${ displaystyle alpha}$. Pro každé celé číslo ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$ definujeme ${ displaystyle L_ {K} (E) _ {n}: = operatorname {span} _ {K} {s _ { alpha} s _ { beta} ^ {*}: | alpha | - | beta | = n }}$. Lze ukázat, že toto definuje a ${ displaystyle mathbb {Z}}$- hodnocení na algebře Leavittovy cesty ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ a to ${ displaystyle L_ {K} (E) = bigoplus _ {n in mathbb {Z}} L_ {K} (E) _ {n}}$ s ${ displaystyle L_ {K} (E) _ {n}}$ je složkou homogenních prvků stupně ${ displaystyle n}$. Je důležité si uvědomit, že známkování závisí na výběru generujícího Cuntz-Kriegera ${ displaystyle E}$-rodina ${ displaystyle {s_ {e}, s_ {e} ^ {*}, p_ {v}: e v E ^ {1}, v v E ^ {0} }}$. Hodnocení na Leavittově algebře ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ je algebraický analog akce měřidla v grafu C * -algebra ${ displaystyle C * (E)}$ a je to základní nástroj při analýze struktury ${ displaystyle L_ {K} (E)}$.

Věty o jedinečnosti

Existují dvě známé věty o jedinečnosti algebry Leavittovy cesty: věta o odstupňované jedinečnosti a Cuntz-Kriegerova věta o jedinečnosti. Jsou analogické věta jedinečnosti měřidla a věta jedinečnosti Cuntz-Krieger pro graf C * -algebry. Formální prohlášení o větách o jedinečnosti jsou následující:

Věta o odstupňované jedinečnosti: Opravte pole ${ displaystyle K}$. Nechat ${ displaystyle E}$ být graf, a nechť ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ být přidružená Leavittova cesta algebra. Li ${ displaystyle A}$ je známkou ${ displaystyle K}$-algebra a ${ displaystyle phi: L_ {K} (E) do A}$ je odstupňovaný homomorfismus algebry s ${ displaystyle phi (p_ {v}) neq 0}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$, pak ${ displaystyle phi}$ je injekční.

Cuntz-Kriegerova věta o jedinečnosti: Opravte pole ${ displaystyle K}$. Nechat ${ displaystyle E}$ být grafem splňujícím podmínku (L) a nechat ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ být přidružená Leavittova cesta algebra. Li ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle K}$-algebra a ${ displaystyle phi: L_ {K} (E) do A}$ je homomorfismus algebry s ${ displaystyle phi (p_ {v}) neq 0}$ pro všechny ${ displaystyle v v E ^ {0}}$, pak ${ displaystyle phi}$ je injekční.

Ideální struktura

Termín ideál používáme v naší algebře Leavittovy cesty jako „oboustranný ideál“. Ideální struktura ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ lze určit z ${ displaystyle E}$. Podmnožina vrcholů ${ displaystyle H subseteq E ^ {0}}$ je nazýván dědičný pokud pro všechny ${ displaystyle e v E ^ {1}}$, ${ displaystyle s (e) v H}$ naznačuje ${ displaystyle r (e) v H}$. Dědičná podmnožina ${ displaystyle H}$ je nazýván nasycený pokud kdykoli ${ displaystyle v}$ je pravidelný vrchol s ${ displaystyle s ^ {- 1} (v) subseteq H}$, pak ${ displaystyle v v H}$. Nasycené dědičné podskupiny ${ displaystyle E}$ jsou částečně seřazené podle zařazení a tvoří mřížku se setkáním ${ displaystyle H_ {1} klín H_ {2}: = H_ {1} čepice H_ {2}}$ a připojit se ${ displaystyle H_ {1} vee H_ {2}}$ definována jako nejmenší nasycená dědičná podmnožina obsahující ${ displaystyle H_ {1} pohár H_ {2}}$.

Li ${ displaystyle H}$ je nasycená dědičná podmnožina, ${ displaystyle I_ {H}}$ je definován jako oboustranný ideální v ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ generováno uživatelem ${ displaystyle {p_ {v}: v v H }}$. Oboustranný ideál ${ displaystyle I}$ z ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ se nazývá a odstupňovaný ideální pokud ${ displaystyle I}$ má ${ displaystyle mathbb {Z}}$- hodnocení ${ displaystyle I = bigoplus _ {n in mathbb {Z}} I_ {n}}$ a ${ displaystyle I_ {n} = L_ {K} (E) _ {n} cap I}$ pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$. Odstupňované ideály jsou částečně uspořádány začleněním a tvoří mřížku se setkáním ${ displaystyle I_ {1} klín I_ {2}: = I_ {1} čepice I_ {2}}$ a kloub ${ displaystyle I_ {1} vee I_ {2}}$ definován jako ideál generovaný ${ displaystyle I_ {1} pohár I_ {2}}$. Pro jakoukoli nasycenou dědičnou podmnožinu ${ displaystyle H}$, ideál ${ displaystyle I_ {H}}$ je klasifikován.

Následující věta popisuje, jak odstupňované ideály ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ odpovídají nasyceným dědičným podskupinám ${ displaystyle E}$.

Teorém: Opravte pole ${ displaystyle K}$a nechte ${ displaystyle E}$ být řádkově konečný graf. Pak platí následující:

1. Funkce ${ displaystyle H mapsto I_ {H}}$ je mřížkový izomorfismus z mřížky nasycených dědičných podskupin ${ displaystyle E}$ do mřížky odstupňovaných ideálů ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ s inverzí danou ${ displaystyle I mapsto {v v E ^ {0}: p_ {v} v I }}$.
2. Pro jakoukoli nasycenou dědičnou podmnožinu ${ displaystyle H}$kvocient ${ displaystyle L_ {K} (E) / I_ {H}}$ je ${ displaystyle *}$-izomorfní až ${ displaystyle L_ {K} (E setminus H)}$, kde ${ displaystyle E setminus H}$ je podgrafem ${ displaystyle E}$ se sadou vrcholů ${ displaystyle (E setminus H) ^ {0}: = E ^ {0} setminus H}$ a okrajová sada ${ displaystyle (E setminus H) ^ {1}: = E ^ {1} setminus r ^ {- 1} (H)}$.
3. Pro jakoukoli nasycenou dědičnou podmnožinu ${ displaystyle H}$, ideál ${ displaystyle I_ {H}}$ je Morita ekvivalentní ${ displaystyle L_ {K} (E_ {H})}$, kde ${ displaystyle E_ {H}}$ je podgrafem ${ displaystyle E}$ se sadou vrcholů ${ displaystyle E_ {H} ^ {0}: = H}$ a okrajová sada ${ displaystyle E_ {H} ^ {1}: = s ^ {- 1} (H)}$.
4. Li ${ displaystyle E}$ splňuje podmínku (K), pak každý ideál z ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ je klasifikován a ideály ${ displaystyle L_ {K} (E)}$ jsou v korespondenci jedna s jednou s nasycenými dědičnými podmnožinami ${ displaystyle E}$.

Reference