Zkrácená projektivní rovina - Truncated projective plane

V geometrii, a zkrácená projektivní rovina (TPP), také známý jako a dvojí afinní letadlo, je speciální druh a hypergraf nebo geometrická konfigurace který je konstruován následujícím způsobem.^[1][2]

• Vezměte konečný projektivní rovina.
• Odstraňte jeden z bodů (vrcholů) v rovině.
• Odstraňte všechny čáry (hrany) obsahující daný bod.

Tyto objekty byly studovány v mnoha různých prostředích, často na sobě nezávislých, a proto bylo vyvinuto mnoho terminologií. Také různé oblasti mají tendenci klást různé typy otázek o těchto objektech a zajímají se o různé aspekty stejných objektů.

Příklad

Zvažte Fano letadlo, což je projektivní rovina řádu 2. Má 7 vrcholů {1,2,3,4,5,6,7} a 7 hran {123, 145, 167, 246, 257, 347, 356}.

Může být zkrácen např. odstraněním vrcholu 7 a hran, které jej obsahují. Zbývající hypergraf je TPP řádu 2. Má 6 vrcholů {1,2,3,4,5,6} a 4 hrany {123, 154, 624, 653}. Jedná se o tripartitní hypergraf se stranami {1,6}, {2,5}, {3,4} (které jsou přesně sousedy odstraněného vrcholu 7). Také se tomu říká Pasch hypergraf, kvůli jeho spojení s Paschův axiom.^[3]:4

Kombinatorika duálních afinních rovin

Konečná projektivní rovina řádu n má n + 1 bod na každém řádku (n + 1 = r v popisu hypergrafu). Existují n² + n + 1 celkový počet bodů a stejný počet řádků. Každý bod je zapnutý n + 1 řádek. Každé dva odlišné body leží na jedinečné linii a každé dvě odlišné linie se setkávají v jedinečném bodě.

Odebráním bodu a všech linií, které procházejí tímto bodem, má zbývající konfiguraci n² + n body, n² řádky, každý bod je zapnutý n řádky a každý řádek obsahuje n + 1 bod. Každá dvojice odlišných linií se stále setkává v jedinečném bodě, ale dva odlišné body jsou nanejvýš na jedné linii. Tato duální afinní rovina je tedy konfigurací typu ((n² + n)_n (n²)_{n + 1}).

Body lze rozdělit na n + 1 sady n bodů za kus, kde žádné dva body ve stejné sadě oddílů nejsou spojeny přímkou. Tyto sady jsou analogy tříd paralelních linií v afinní rovině a někteří autoři označují body v dělicí části jako paralelní body v souladu s dvojí povahou struktury.^[4]

Projektivní roviny konstruované z konečná pole (Desarguesiánská letadla ) mít automorfické skupiny ten čin přechodně na bodech roviny, takže pro tyto roviny je bod odstraněný, aby vytvořil dvojitou afinní rovinu, nepodstatný, výsledky výběru různých bodů jsou izomorfní. Existují však nedesarguesiánská letadla a volba bodu, který se v nich odstraní, může mít za následek neizomorfní duální afinní roviny se stejnými parametry.

Afinní rovina se získá odstraněním přímky a všech bodů na této přímce z projektivní roviny. Protože projektivní rovina je samo-duální konfigurace, je dvojí Konfigurace afinní roviny se získá z projektivní roviny odstraněním bodu a všech přímek procházejících tímto bodem. Odtud název této konfigurace.

Vlastnosti hypergrafu

Je známo, že projektivní rovina řádu r-1 existuje kdykoli r-1 je hlavní síla; totéž platí pro TPP.

Konečná projektivní rovina řádu r-1 obsahuje r²-r+1 vrcholy a r²-r+1 hrany; proto TPP objednávky r-1 obsahuje r²-r vrcholy a r²-2r+1 hrany.

TPP objednávky r-1 je r- částečný hypergraf: jeho vrcholy lze rozdělit na r části tak, že každá hyperedge obsahuje přesně jeden vrchol každé části. Například v TPP objednávky 2 jsou 3 části {1,6}, {2,5} a {3,4}. Obecně platí, že každý z r části obsahují r-1 vrcholy.

Každá hrana v TPP protíná každou druhou hranu. Proto je jeho maximální velikost shody 1:

${ displaystyle nu (H) = 1}$.

Na druhou stranu, pokrytí všech okrajů TPP vyžaduje vše r-1 vrcholy jedné z částí. Proto je jeho minimální velikost vrcholového krytu r-1:

${ displaystyle tau (H) = r-1}$.

Proto je TPP extrémním hypergrafem pro Ryserova domněnka.^[5][1][6]

Minimální velikost částečného vrcholového krytu TPP je r-1 také: přiřazení váhy 1 /r ke každému vrcholu (což je vrcholový kryt, protože každý hyperedge obsahuje r vrcholy) poskytuje zlomkové krytí velikosti (r²-r)/r=r-1.

Jeho maximum zlomková shoda velikost je r-1 také: přiřazení váhy 1 / (r-1) ke každému hyperedge (což je shoda, protože každý vrchol je obsažen v r-1 hrany) poskytuje zlomkové shody velikosti (r²-2r+1)/(r-1)=r-1. Proto:^[7]

${ displaystyle tau ^ {*} (H) = nu ^ {*} (H) = r-1}$.

Všimněte si, že výše uvedená frakční shoda je dokonalá, protože její velikost se rovná počtu vrcholů v každé části r- částečný hypergraf. Neexistuje však žádná dokonalá shoda a navíc je maximální velikost shody pouze 1. To je na rozdíl od situace v bipartitních grafech, ve kterých je perfektní shoda zlomková shoda znamená existenci dokonalého shody.

Designově-teoretické aspekty

Na duální afinní letadla lze pohlížet jako na bodový zbytek projektivní roviny,^[8] A 1-design,^[9] a klasičtěji jako a taktická konfigurace.^[10]

Jelikož se nejedná o párově vyvážené designy (PBD), nebyly z hlediska teoreticko-konstrukčního rozsáhle studovány. Taktické konfigurace jsou však zejména v geometrii ústředními tématy konečná geometrie.

Dějiny

Podle Dembowski (1968, str. 5), termín „taktická konfigurace“ se zdá být způsoben E. H. Moorem v roce 1896.^[11] Historie duálních konfigurací viz Dualita (projektivní geometrie) #Historie.

Poznámky

Reference

• Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter; Lenz, Hanfried (1986), Teorie designu, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  3-411-01675-2
• Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, PAN  0233275