Trigonometrie čtyřstěnu - Trigonometry of a tetrahedron

The trigonometrie čtyřstěnu^[1] vysvětluje vztahy mezi délky a různé typy úhly generála čtyřstěn.

Trigonometrické veličiny

Klasické trigonometrické veličiny

Následují trigonometrické veličiny obecně spojené s obecným čtyřstěnem:

6. den délky hran - spojené s šesti okraji čtyřstěnu.
12. den úhly obličeje - jsou tři pro každou ze čtyř tváří čtyřstěnu.
6. den vzepětí - přidružené k šesti hranám čtyřstěnu, protože jakékoli dvě strany čtyřstěnu jsou spojeny hranou.
4 plné úhly - přidružený ke každému bodu čtyřstěnu.

Nechat ${ displaystyle X = { overline {P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4}}}}$ být obecný čtyřstěn, kde ${ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$ jsou libovolné body v trojrozměrný prostor.

Kromě toho ${ displaystyle e_ {ij}}$ být hranou, která se spojuje ${ displaystyle P_ {i}}$ a ${ displaystyle P_ {j}}$ a nechte ${ displaystyle F_ {i}}$ být tváří čtyřstěnu naproti bodu ${ displaystyle P_ {i}}$ ; jinými slovy:

${ displaystyle e_ {ij} = { overline {P_ {i} P_ {j}}}}$
${ displaystyle F_ {i} = { overline {P_ {j} P_ {k} P_ {l}}}}$

kde ${ displaystyle i, j, k, l in {1,2,3,4 }}$ a ${ Displaystyle i neq j neq k neq l}$ .

Definujte následující množství:

${ displaystyle d_ {ij}}$ = délka hrany ${ displaystyle e_ {ij}}$
${ displaystyle alpha _ {i, j}}$ = úhel rozložení v bodě ${ displaystyle P_ {i}}$ na obličeji ${ displaystyle F_ {j}}$
${ displaystyle theta _ {ij}}$ = vzepětí úhel mezi dvěma plochami sousedícími s hranou ${ displaystyle e_ {ij}}$
${ displaystyle Omega _ {i}}$ = plný úhel v bodě ${ displaystyle P_ {i}}$

Plocha a objem

Nechat ${ displaystyle Delta _ {i}}$ být plocha obličeje ${ displaystyle F_ {i}}$ . Tuto plochu lze vypočítat pomocí Heronův vzorec (jsou-li známy všechny tři délky hran):

{ displaystyle Delta _ {i} = { sqrt { frac {(d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (- d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} -d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} + d_ {jl} -d_ {kl})} {16}}}}

nebo podle následujícího vzorce (jsou-li známy úhel a dvě odpovídající hrany):

{ displaystyle Delta _ {i} = { frac {1} {2}} d_ {jk} d_ {jl} sin alpha _ {j, i}}

Nechat ${ displaystyle h_ {i}}$ být nadmořská výška od bodu ${ displaystyle P_ {i}}$ do obličeje ${ displaystyle F_ {i}}$ . The objem ${ displaystyle V}$ čtyřstěnu ${ displaystyle X}$ je dáno následujícím vzorcem:

{ displaystyle V = { frac {1} {3}} Delta _ {i} h_ {i}}

Splňuje následující vztah:^[2]

{ displaystyle 288V ^ {2} = { begin {vmatrix} 2Q_ {12} & Q_ {12} + Q_ {13} -Q_ {23} & Q_ {12} + Q_ {14} -Q_ {24} Q_ {12} + Q_ {13} -Q_ {23} & 2Q_ {13} & Q_ {13} + Q_ {14} -Q_ {34} Q_ {12} + Q_ {14} -Q_ {24} & Q_ {13 } + Q_ {14} -Q_ {34} a 2Q_ {14} end {vmatrix}}}

kde ${ displaystyle Q_ {ij} = d_ {ij} ^ {2}}$ jsou čtverce (délka na druhou) hran.

Základní výroky trigonometrie

Afinní trojúhelník

Vezměte si obličej ${ displaystyle F_ {i}}$ ; okraje budou mít délky ${ displaystyle d_ {jk}, d_ {jl}, d_ {kl}}$ a příslušné opačné úhly jsou dány vztahem ${ displaystyle alpha _ {l, i}, alpha _ {k, i}, alpha _ {j, i}}$ .

Obvyklé zákony pro planární trigonometrie držení trojúhelníku pro tento trojúhelník.

Projektivní trojúhelník

Zvažte projektivní (sférický) trojúhelník na místě ${ displaystyle P_ {i}}$ ; vrcholy tohoto projektivního trojúhelníku jsou tři linie, které se spojují ${ displaystyle P_ {i}}$ s dalšími třemi vrcholy čtyřstěnu. Okraje budou mít sférické délky ${ displaystyle alpha _ {i, j}, alpha _ {i, k}, alpha _ {i, l}}$ a příslušné protilehlé sférické úhly jsou dány vztahem ${ displaystyle theta _ {ij}, theta _ {ik}, theta _ {il}}$ .

Obvyklé zákony pro sférická trigonometrie podržte tento projektivní trojúhelník.

Zákony trigonometrie pro čtyřstěn

Věta o střídání sinusů

Vezměte čtyřstěn ${ displaystyle X}$ , a zvažte bod ${ displaystyle P_ {i}}$ jako vrchol. Věta o střídání sinusů je dána následující identitou:

{ displaystyle sin ( alpha _ {j, l}) sin ( alpha _ {k, j}) sin ( alpha _ {l, k}) = sin ( alpha _ {j, k }) sin ( alpha _ {k, l}) sin ( alpha _ {l, j})}

Jeden může zobrazit dvě strany této identity jako odpovídající orientaci povrchu ve směru hodinových ručiček a proti směru hodinových ručiček.

Prostor všech tvarů čtyřstěnů

Uvedení kteréhokoli ze čtyř vrcholů do role Ó poskytuje čtyři takové identity, ale maximálně tři z nich jsou nezávislé; jsou-li "ve směru hodinových ručiček" strany tří ze čtyř identit vynásobeny a je odvozeno, že produkt je roven součinu stran "proti směru hodinových ručiček" ve stejných třech identitách, a potom jsou společné faktory zrušeny z obou stran, výsledek je čtvrtá identita.

Tři úhly jsou úhly nějakého trojúhelníku právě tehdy, je-li jejich součet 180 ° (π radiány). Jaká podmínka na 12 úhlech je nezbytná a dostatečná, aby to bylo 12 úhlů nějakého čtyřstěnu? Je zřejmé, že součet úhlů kterékoli strany čtyřstěnu musí být 180 °. Jelikož existují čtyři takové trojúhelníky, existují čtyři taková omezení součtů úhlů a počtu stupně svobody tím se sníží z 12 na 8. Čtyři vztahy dané sinusový zákon dále snížit počet stupňů volnosti, z 8 na ne 4, ale 5, protože čtvrté omezení není nezávislé na prvních třech. Prostor všech tvarů čtyřstěnů je tedy 5-dimenzionální.^[3]

Zákon sinusů pro čtyřstěn

Vidět: Zákon sinusů

Zákon kosinů pro čtyřstěn

The zákon kosinů pro čtyřstěn^[4] Vztahuje se na oblasti každé tváře čtyřstěnu a vzepětí kolem bodu. Je dána následující identitou:

{ displaystyle Delta _ {i} ^ {2} = Delta _ {j} ^ {2} + Delta _ {k} ^ {2} + Delta _ {l} ^ {2} -2 ( Delta _ {j} Delta _ {k} cos theta _ {il} + Delta _ {j} Delta _ {l} cos theta _ {ik} + Delta _ {k} Delta _ {l} cos theta _ {ij})}

Vztah mezi vzepětými úhly čtyřstěnu

Vezměte obecný čtyřstěn ${ displaystyle X}$ a promítat tváře ${ displaystyle F_ {i}, F_ {j}, F_ {k}}$ do roviny s obličejem ${ displaystyle F_ {l}}$ . Nechat ${ displaystyle c_ {ij} = cos theta _ {ij}}$ .

Poté oblast obličeje ${ displaystyle F_ {l}}$ je dáno součtem projektovaných ploch takto:

{ displaystyle Delta _ {l} = Delta _ {i} c_ {jk} + Delta _ {j} c_ {ik} + Delta _ {k} c_ {ij}}

Nahrazením

{ displaystyle i, j, k, l in {1,2,3,4 }}

s každou ze čtyř stran čtyřstěnu získá jedna homogenní soustavu lineárních rovnic:

{ displaystyle { begin {cases} - Delta _ {1} + Delta _ {2} c_ {34} + Delta _ {3} c_ {24} + Delta _ {4} c_ {23} = 0 Delta _ {1} c_ {34} - Delta _ {2} + Delta _ {3} c_ {14} + Delta _ {4} c_ {13} = 0 Delta _ { 1} c_ {24} + Delta _ {2} c_ {14} - Delta _ {3} + Delta _ {4} c_ {12} = 0 Delta _ {1} c_ {23} + Delta _ {2} c_ {13} + Delta _ {3} c_ {12} - Delta _ {4} = 0 end {případů}}}

Tento homogenní systém bude mít řešení přesně tehdy, když:

{ displaystyle { begin {vmatrix} -1 & c_ {34} & c_ {24} & c_ {23} c_ {34} & - 1 & c_ {14} & c_ {13} c_ {24} & c_ {14} & - 1 & c_ {12} c_ {23} & c_ {13} & c_ {12} & - 1 end {vmatrix}} = 0}

Rozšířením tohoto determinantu získáme vztah mezi vzepětými úhly čtyřstěnu,^[1] jak následuje:

{ displaystyle 1- součet _ {1 leq já

Zkosit vzdálenosti mezi hranami čtyřstěnu

Vezměte obecný čtyřstěn ${ displaystyle X}$ a nechte ${ displaystyle P_ {ij}}$ být bodem na hraně ${ displaystyle e_ {ij}}$ a ${ displaystyle P_ {kl}}$ být bodem na hraně ${ displaystyle e_ {kl}}$ tak, aby úsečka ${ displaystyle { overline {P_ {ij} P_ {kl}}}}$ je kolmá na obě ${ displaystyle e_ {ij}}$ & ${ displaystyle e_ {kl}}$ . Nechat ${ displaystyle R_ {ij}}$ být délka úsečky ${ displaystyle { overline {P_ {ij} P_ {kl}}}}$ .

Najít ${ displaystyle R_ {ij}}$ :^[1]

Nejprve vytvořte linii ${ displaystyle P_ {k}}$ paralela k ${ displaystyle e_ {il}}$ a další linka skrz ${ displaystyle P_ {i}}$ paralela k ${ displaystyle e_ {kl}}$ . Nechat ${ displaystyle O}$ být průsečík těchto dvou linií. Připojte se k bodům ${ displaystyle O}$ a ${ displaystyle P_ {j}}$ . Podle konstrukce ${ displaystyle { overline {OP_ {i} P_ {l} P_ {k}}}}$ je rovnoběžník a tedy ${ displaystyle { overline {OP_ {k} P_ {i}}}}$ a ${ displaystyle { overline {OP_ {l} P_ {i}}}}$ jsou shodné trojúhelníky. Tedy čtyřstěn ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y = { overline {OP_ {i} P_ {j} P_ {k}}}}$ mají stejný objem.

V důsledku toho množství ${ displaystyle R_ {ij}}$ se rovná výšce od bodu ${ displaystyle P_ {k}}$ do obličeje ${ displaystyle { overline {OP_ {i} P_ {j}}}}$ čtyřstěnu ${ displaystyle Y}$ ; to je ukázáno překladem úsečky ${ displaystyle { overline {P_ {ij} P_ {kl}}}}$ .

Podle objemového vzorce čtyřstěn ${ displaystyle Y}$ splňuje následující vztah:

{ displaystyle 3V = R_ {ij} krát Delta ({ overline {OP_ {i} P_ {j}}})}

kde

{ displaystyle Delta ({ overline {OP_ {i} P_ {j}}})}

je oblast trojúhelníku

{ displaystyle { overline {OP_ {i} P_ {j}}}}

. Od délky úsečky

{ displaystyle { overline {OP_ {i}}}}

je rovný

{ displaystyle d_ {kl}}

(tak jako

{ displaystyle { overline {OP_ {i} P_ {l} P_ {k}}}}

je rovnoběžník):

{ displaystyle Delta ({ overline {OP_ {i} P_ {j}}}) = { frac {1} {2}} d_ {ij} d_ {kl} sin lambda}

kde

{ displaystyle lambda = úhel OP_ {i} P_ {j}}

. Předchozí vztah se tedy stává:

{ displaystyle 6V = R_ {ij} d_ {ij} d_ {kl} sin lambda}

Získat

{ displaystyle sin lambda}

, zvažte dva sférické trojúhelníky:

Vezměte sférický trojúhelník čtyřstěnu ${ displaystyle X}$ na místě ${ displaystyle P_ {i}}$ ; bude to mít strany ${ displaystyle alpha _ {i, j}, alpha _ {i, k}, alpha _ {i, l}}$ a opačné úhly ${ displaystyle theta _ {ij}, theta _ {ik}, theta _ {il}}$ . Podle sférického zákona kosinů: ${ displaystyle cos alpha _ {i, k} = cos alpha _ {i, j} cos alpha _ {i, l} + sin alpha _ {i, j} sin alpha _ {i, l} cos theta _ {ik}}$
Vezměte sférický trojúhelník čtyřstěnu ${ displaystyle X}$ na místě ${ displaystyle P_ {i}}$ . Strany jsou dány ${ displaystyle alpha _ {i, l}, alpha _ {k, j}, lambda}$ a jediný známý opačný úhel je úhel ${ displaystyle lambda}$ , dána ${ displaystyle pi - theta _ {ik}}$ . Podle sférického zákona kosinů: ${ displaystyle cos lambda = cos alpha _ {i, l} cos alpha _ {k, j} - sin alpha _ {i, l} sin alpha _ {k, j} cos theta _ {ik}}$

Kombinace dvou rovnic poskytuje následující výsledek:

{ displaystyle cos alpha _ {i, k} sin alpha _ {k, j} + cos lambda sin alpha _ {i, j} = cos alpha _ {i, l} left ( cos alpha _ {i, j} sin alpha _ {k, j} + sin alpha _ {i, j} cos alpha _ {k, j} right) = cos alpha _ {i, l} sin alpha _ {l, j}}

Tvorba ${ displaystyle cos lambda}$ předmět:

{ displaystyle cos lambda = cos alpha _ {i, l} { frac { sin alpha _ {l, j}} { sin alpha _ {i, j}}} - cos alpha _ {i, k} { frac { sin alpha _ {k, j}} { sin alpha _ {i, j}}}}

Takže pomocí kosinového zákona a některé základní trigonometrie:

{ displaystyle cos lambda = { frac {d_ {ij} ^ {2} + d_ {ik} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {ik}}} { frac {d_ {ik}} {d_ {kl}}} - { frac {d_ {ij} ^ {2} + d_ {il} ^ {2} -d_ {jl} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {il}}} { frac {d_ {il}} {d_ {kl}}} = { frac {d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ { il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {kl}}}}

Tím pádem:

{ displaystyle sin lambda = { sqrt {1- vlevo ({ frac {d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ { jk} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {kl}}} vpravo) ^ {2}}} = { frac { sqrt {4d_ {ij} ^ {2} d_ {kl} ^ {2 } - (d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}) ^ {2}}} {2d_ {ij} d_ {kl}}}}

Tak:

{ displaystyle R_ {ij} = { frac {12V} { sqrt {4d_ {ij} ^ {2} d_ {kl} ^ {2} - (d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}) ^ {2}}}}}

{ displaystyle R_ {ik}}

a

{ displaystyle R_ {il}}

se získají permutací délek hran.

Všimněte si, že jmenovatel je re-formulací Bretschneider-von Staudtův vzorec, který hodnotí plochu obecného konvexního čtyřúhelníku.

Reference

^ ^A ^b ^C Richardson, G. (1902-03-01). „Trigonometrie čtyřstěnu“. Matematický věstník. 2 (32): 149–158. doi:10.2307/3603090. JSTOR 3603090.
^ 100 velkých problémů elementární matematiky. New York: Dover Publications. 1965-06-01. ISBN 9780486613482.
^ Rassat, André; Fowler, Patrick W. (2004). „Existuje„ nejvíce chirální čtyřstěn “?“. Chemistry: A European Journal. 10 (24): 6575–6580. doi:10.1002 / chem.200400869. PMID 15558830.
^ Lee, Jung Rye (červen 1997). "Zákon kosinů v čtyřstěnu". J. Korea. Soc. Matematika. Educ. Ser. B: Čistá aplikace. Matematika. 4 (1): 1–6. ISSN 1226-0657.

[:0-1] A ^b ^C Richardson, G. (1902-03-01). „Trigonometrie čtyřstěnu“. Matematický věstník. 2 (32): 149–158. doi:10.2307/3603090. JSTOR 3603090.

[2] 100 velkých problémů elementární matematiky. New York: Dover Publications. 1965-06-01. ISBN 9780486613482.

[3] Rassat, André; Fowler, Patrick W. (2004). „Existuje„ nejvíce chirální čtyřstěn “?“. Chemistry: A European Journal. 10 (24): 6575–6580. doi:10.1002 / chem.200400869. PMID 15558830.

[4] Lee, Jung Rye (červen 1997). "Zákon kosinů v čtyřstěnu". J. Korea. Soc. Matematika. Educ. Ser. B: Čistá aplikace. Matematika. 4 (1): 1–6. ISSN 1226-0657.

[1]

[2]

[3]

[4]