Omezovač toku - Flux limiter

Omezovače toku jsou používány v schémata s vysokým rozlišením - numerická schémata používaná zejména k řešení problémů ve vědě a inženýrství dynamika tekutin, popsal parciální diferenciální rovnice (PDE). Používají se ve schématech s vysokým rozlišením, například MUSCL schéma, aby se zabránilo rušivým oscilacím (kroutením), které by se jinak vyskytly u prostorových diskretizačních schémat vysokého řádu v důsledku šoků, diskontinuit nebo ostrých změn v doméně řešení. Řešení tvoří omezovače toku spolu s vhodným schématem vysokého rozlišení celková odchylka klesá (TVD).

Všimněte si, že omezovače toku jsou také označovány jako omezovače sklonu protože oba mají stejnou matematickou formu a oba mají za následek omezení gradientu řešení v blízkosti šoků nebo diskontinuit. Obecně se termín omezovač toku používá, když omezovač působí na systém tavidla, a omezovač svahu se používá, když omezovač působí na systém státy (jako tlak, rychlost atd.).

Jak fungují

Hlavní myšlenkou konstrukce schémat omezovačů toku je omezit prostorové derivace na realistické hodnoty - pro vědecké a technické problémy to obvykle znamená fyzicky realizovatelné a smysluplné hodnoty. Používají se v schémata s vysokým rozlišením pro řešení problémů popsaných PDE a vstoupí do provozu, pouze pokud jsou přítomny ostré vlnové fronty. Pro hladce se měnící vlny omezovače toku nepracují a prostorové derivace mohou být reprezentovány aproximacemi vyššího řádu bez zavedení rušivých kmitů. Zvažte 1D semi-diskrétní schéma níže,

${displaystyle {frac {du_ {i}} {dt}} + {frac {1} {Delta x_ {i}}} vlevo [Fleft (u_ {i + {frac {1} {2}}} vpravo) -Fleft ( u_ {i- {frac {1} {2}}} ight) ight] = 0,}$

kde, ${displaystyle Fleft (u_ {i + {frac {1} {2}}} ight)}$ a ${displaystyle Fleft (u_ {i- {frac {1} {2}}} v pořádku)}$ představují okrajové toky pro i buňka. Pokud tyto okrajové toky mohou být reprezentovány nízký a vysoký schémata rozlišení, pak omezovač toku může přepínat mezi těmito schématy v závislosti na gradientech v blízkosti konkrétní buňky, jak je uvedeno níže,

${displaystyle Fleft (u_ {i + {frac {1} {2}}} ight) = f_ {i + {frac {1} {2}}} ^ {low} -phi left (r_ {i} ight) left (f_ {i + {frac {1} {2}}} ^ {low} -f_ {i + {frac {1} {2}}} ^ {high} ight)}$,

${displaystyle Fleft (u_ {i- {frac {1} {2}}} ight) = f_ {i- {frac {1} {2}}} ^ {low} -phi left (r_ {i-1} ight ) vlevo (f_ {i- {frac {1} {2}}} ^ {low} -f_ {i- {frac {1} {2}}} ^ {high} ight)}$,

kde

${displaystyle f ^ {low} =}$tok s nízkým rozlišením,

${displaystyle f ^ {high} =}$tok s vysokým rozlišením,

${displaystyle phi (r) =}$ funkce omezovače toku,

a ${displaystyle r}$ představuje poměr po sobě jdoucích přechodů na síti řešení, tj.

${displaystyle r_ {i} = {frac {u_ {i} -u_ {i-1}} {u_ {i + 1} -u_ {i}}}}$.

Funkce omezovače je omezena tak, aby byla větší nebo rovna nule, tj. ${displaystyle phi (r) geq 0}$. Proto, když je omezovač roven nule (ostrý gradient, protilehlé svahy nebo nulový gradient), tok je reprezentován a schéma s nízkým rozlišením. Podobně, když je omezovač roven 1 (hladké řešení), je reprezentován a schéma s vysokým rozlišením. Různé omezovače mají různé spínací charakteristiky a jsou vybírány podle konkrétního schématu problému a řešení. Nebylo zjištěno, že by žádný konkrétní omezovač fungoval dobře na všechny problémy, a konkrétní výběr se obvykle provádí pokusem a omylem.

Funkce omezovače

Níže jsou uvedeny běžné formy funkce omezovače toku / sklonu, ${displaystyle phi (r)}$:

KOUZLO [ne 2. řád TVD] (Zhou, 1995)

${displaystyle phi _ {cm} (r) = left {{egin {array} {ll} {frac {rleft (3r + 1ight)} {left (r + 1ight) ^ {2}}}, quad r> 0, quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {cm} (r) = 3 0quad quad ,, quad rleq 0end {array}} ight.}$

HCUS [ne 2. řád TVD] (Waterson & Deconinck, 1995)

${displaystyle phi _ {hc} (r) = {frac {1.5left (r + left | right | ight)} {left (r + 2ight)}}; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {hc} (r ) = 3}$.

RYCHLE [ne TVD druhého řádu] (Waterson & Deconinck, 1995)

${displaystyle phi _ {hq} (r) = {frac {2left (r + left | right | ight)} {left (r + 3ight)}}; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {hq} (r) = 4}$.

Koren (Koren, 1993) - přesný třetí řád pro dostatečně plynulé údaje^[1]

${displaystyle phi _ {kn} (r) = max left [0, min left (2r, min left ({dfrac {(1 + 2r)} {3}}, 2ight) ight) ight]; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {kn} (r) = 2}$.

minmod - symetrický (Jikry, 1986)

${displaystyle phi _ {mm} (r) = max vlevo [0, min vlevo (1, vpravo) vpravo]; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {mm} (r) = 1}$.

monotónní centrální (MC) - symetrický (van Leer, 1977)

${displaystyle phi _ {mc} (r) = max vlevo [0, min vlevo (2r, 0,5 (1 + r), 2ight) ight]; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {mc} (r) = 2 }$.

Osher (Chakravarthy a Osher, 1983)

${displaystyle phi _ {os} (r) = max vlevo [0, min vlevo (r, eta ight) ight], quad left (1leq eta leq 2ight); quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {os} (r ) = eta}$.

ospre - symetrický (Waterson & Deconinck, 1995)

${displaystyle phi _ {op} (r) = {frac {1.5left (r ^ {2} + right)} {left (r ^ {2} + r + 1ight)}}; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {op} (r) = 1,5}$.

chytrý [ne TVD druhého řádu] (Gaskell & Lau, 1988)

${displaystyle phi _ {sm} (r) = max vlevo [0, min vlevo (2r, vlevo (0,25 + 0,75 vpravo), 4ight) ight]; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {sm} (r) = 4}$.

superbee - symetrický (Roe, 1986)

${displaystyle phi _ {sb} (r) = max vlevo [0, min vlevo (2r, 1ight), min vlevo (r, 2ight) ight]; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {sb} (r) = 2}$.

Sweby - symetrický (Sweby, 1984)

${displaystyle phi _ {sw} (r) = max vlevo [0, min vlevo (eta r, 1ight), min vlevo (r, eta ight) ight], quad left (1leq eta leq 2ight); quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {sw} (r) = eta}$.

UMIST (Lien & Leschziner, 1994)

${displaystyle phi _ {um} (r) = max vlevo [0, min vlevo (2r, vlevo (0,25 + 0,75 vpravo), vlevo (0,75 + 0,25 vpravo), 2ight) ight]; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {um} (r) = 2}$.

van Albada 1 - symetrický (van Albada, et al., 1982)

${displaystyle phi _ {va1} (r) = {frac {r ^ {2} + r} {r ^ {2} +1}}; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {va1} (r) = 1 }$.

dodávka Albada 2 - alternativní forma [ne TVD druhého řádu] použitá na schématech vysokého prostorového uspořádání (Kermani, 2003)

${displaystyle phi _ {va2} (r) = {frac {2r} {r ^ {2} +1}}; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {va2} (r) = 0}$.

van Leer - symetrický (van Leer, 1974)

${displaystyle phi _ {vl} (r) = {frac {r + left | right |} {1 + left | right |}}; quad lim _ {rightarrow infty} phi _ {vl} (r) = 2}$.

Všechny výše uvedené omezovače jsou označeny jako symetrický, vykazují následující vlastnost symetrie,

${displaystyle {frac {phi left (right)} {r}} = phi left ({frac {1} {r}} ight)}$.

Toto je žádoucí vlastnost, protože zajišťuje, že omezující akce pro přechody vpřed a vzad fungují stejným způsobem.

Přípustná oblast omezovače pro schémata TVD druhého řádu.

Pokud není uvedeno jinak, výše uvedené funkce omezovače jsou druhého řádu TVD. To znamená, že jsou navrženy tak, aby procházely určitou oblastí řešení, známou jako oblast TVD, aby byla zaručena stabilita schématu. Omezovače TVD druhého řádu splňují alespoň následující kritéria:

• ${displaystyle rleq phi (r) leq 2r, left (0leq rleq 1ight)}$,
• ${displaystyle 1leq phi (r) leq r, left (1leq rleq 2ight)}$,
• ${displaystyle 1leq phi (r) leq 2, left (r> 2ight)}$,
• ${displaystyle phi (1) = 1}$,

Přípustná oblast omezovače pro schémata TVD druhého řádu je uvedena v Sweby diagram opačně (Sweby, 1984) a níže jsou zobrazeny grafy zobrazující funkce omezovače překryté oblastí TVD. Na tomto obrázku byly vygenerovány grafy pro omezovače Osher a Sweby pomocí ${displaystyle eta = 1,5}$.

Funkce omezovače překrývaly oblast TVD druhého řádu.

Zobecněný omezovač minmod

Dalším omezovačem, který má zajímavou podobu, je van-Leerova jednoparametrická rodina omezovačů minmod (van Leer, 1979; Harten a Osher, 1987; Kurganov a Tadmor, 2000). Je definován následovně

${displaystyle phi _ {mg} (u, heta) = max left (0, min left (heta r, {frac {1 + r} {2}}, heta ight) ight), quad heta in left [1,2ight ].}$

Poznámka: ${displaystyle phi _ {mg}}$ je nejvíce disipativní pro${displaystyle heta = 1,}$ když se sníží na ${displaystyle phi _ {mm},}$ a je nejméně disipativní pro ${displaystyle heta = 2}$.

Viz také

• Godunovova věta
• Schéma vysokého rozlišení
• MUSCL schéma
• Sergej K. Godunov
• Celková variace klesá

Poznámky

Reference

• Chakravarthy, S.R .; Osher, S. (1983), „Aplikace Osherova systému protivětrného větru pro Eulerovy rovnice s vysokým rozlišením“, Proc. 6. konference o výpočetní dynamice tekutin AIAA, str. 363–373, AIAA Paper 83-1943, archivovány od originál dne 17.05.2011, vyvoláno 2008-03-31
• Gaskell, P.H .; Lau, A.K.C. (1988), „Konvekční transport kompenzovaný zakřivením: SMART, nový transportní algoritmus zachovávající omezenost“, Int. J. Num. Pervitin Kapaliny, 8 (6): 617–641, Bibcode:1988IJNMF ... 8..617G, doi:10.1002 / fld.1650080602
• Harten, A .; Osher, S. (1987), „Rovnoměrně vysoká přesná neoscilující schémata. Já.“, SIAM J. Numer. Anální., 24 (2): 279–309, Bibcode:1987SJNA ... 24..279H, doi:10.1137/0724022
• Hirsch, C. (1990), Numerický výpočet interních a externích toků. Svazek 2: Výpočtové metody pro neviditelné a viskózní tokyWiley
• Kermani, M.J .; Gerber, A.G .; Stockie, J.M. (2003), „Termodynamicky založená předpověď vlhkosti pomocí Roeova schématu“, 4. konference íránské společnosti AeroSpace, Amir Kabir University of Technology, Teherán, Írán, 27. – 29. LednaCS1 maint: umístění (odkaz)
• Koren, B. (1993), „Robustní metoda diskretizace proti větru pro advekční, difúzní a zdrojové termíny“, Vreugdenhil, C.B .; Koren, B. (eds.), Numerické metody pro řešení problémů s difúzíBraunschweig: Vieweg, str. 117, ISBN  3-528-07645-3
• Kurganov, A .; Tadmor, E. (2000), Řešení dvourozměrných Riemannů problémů pro dynamiku plynu bez Riemannova řešení problémůZpráva odboru matematiky, Univ. Michigan Dostupné online na: CiteSeer.
• Lien, FS; Leschziner, M.A. (1994), „Upstream monotónní interpolace pro skalární transport s aplikací na složité turbulentní proudění“, Int. J. Num. Pervitin Kapaliny, 19 (6): 527–548, Bibcode:1994IJNMF..19..527L, doi:10.1002 / fld.1650190606
• Leonard, B.P .; Leschziner, M. A.; McGuirk, J. (1978), „RYCHLÝ algoritmus: rovnoměrně metoda konečných rozdílů 3. řádu pro vysoce konvektivní toky“, Proc. 1. konf. o numerických metodách v laminárním a turbulentním proudění, Swansea, s. 807
• Roe, P.L. (1986), „Charakteristická schémata pro Eulerovy rovnice“, Annu. Rev. Fluid Mech., 18: 337–365, Bibcode:1986AnRFM..18..337R, doi:10.1146 / annurev.fl.18.010186.002005
• Sweby, P.K. (1984), „Schémata s vysokým rozlišením používající omezovače toku pro zákony hyperbolického zachování“, SIAM J. Numer. Anální., 21 (5): 995–1011, Bibcode:1984SJNA ... 21..995S, doi:10.1137/0721062
• Van Albada, G.D .; Van Leer, B .; Roberts, W.W. (1982), „Srovnávací studie výpočetních metod v dynamice kosmického plynu“, Astronomie a astrofyzika, 108: 76–84, Bibcode:1982A & A ... 108 ... 76V
• Van Leer, B. (1974), „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu II. Monotónnost a zachování kombinované ve schématu druhého řádu“, J. Comput. Phys., 14 (4): 361–370, Bibcode:1974JCoPh..14..361V, doi:10.1016/0021-9991(74)90019-9
• Van Leer, B. (1977), „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu III. Schémata konečných diferencí se středem proti proudu pro ideální stlačitelné proudění“, J. Comput. Phys., 23 (3): 263–275, Bibcode:1977JCoPh..23..263V, doi:10.1016/0021-9991(77)90094-8
• Van Leer, B. (1979), „Směrem ke konečnému konzervativnímu rozdílovému schématu V. Pokračování Godunovovy metody druhého řádu“, J. Comput. Phys., 32: 101–136, Bibcode:1979JCoPh..32..101V, doi:10.1016/0021-9991(79)90145-1
• Waterson, N.P .; Deconinck, H. (1995), Jednotný přístup k návrhu a aplikaci omezených konvekčních schémat vyššího řádu (VKI Předtisk 1995-21)
• Zhou, G. (1995), Numerické simulace fyzických diskontinuit v tokech jedné a více tekutin pro libovolná Machova čísla (Disertační práce), Goteborg, Švédsko: Chalmers Univ. Tech.

Další čtení

• Hirsch, C. (1990), Numerický výpočet interních a externích toků, svazek 2: Výpočtové metody pro proudy Inviscid a ViscousWiley, ISBN  978-0-471-92452-4
• Laney, Culbert B. (1998), Výpočetní Gasdynamics, Cambridge University Press, doi:10.2277/0521570697, ISBN  978-0-521-57069-5
• LeVeque, Randall (1990), Numerické metody zákonů o ochraně přírodyETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag, ISBN  3-7643-2464-3
• LeVeque, Randall (2002), Metody konečného objemu pro hyperbolické problémy, Cambridge University Press, ISBN  0-521-00924-3
• Toro, E.F. (1999), Riemannovy řešení a numerické metody pro dynamiku tekutin (2. vyd.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-65966-8
• Tannehill, John C .; Anderson, Dale Arden; Pletcher, Richard H. (1997), Výpočetní mechanika tekutin a přenos tepla (2. vyd.), Taylor a Francis, ISBN  1-56032-046-X
• Wesseling, Pieter (2001), Principy výpočetní dynamiky tekutin, Springer-Verlag, ISBN  3-540-67853-0