Hybridní rozdílové schéma - Hybrid difference scheme - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Listopad 2012) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Tento článek je hlavní část může být příliš krátký a nedostatečně shrnout klíčové body jeho obsahu. Zvažte prosím rozšíření potenciálního zákazníka na poskytnout přístupný přehled všech důležitých aspektů článku. (Listopad 2012) tento článek potřebuje víc odkazy na další články pomoci integrovat to do encyklopedie. Prosím pomozte vylepšit tento článek přidáním odkazů které jsou relevantní pro kontext v rámci stávajícího textu. (Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The hybridní rozdílové schéma^[1][2] je metoda použitá v numerickém řešení pro konvekce – difúze problémy. Poprvé to představil Spalding (1970). Je to kombinace centrální rozdílové schéma a schéma rozdílu proti větru protože využívá příznivé vlastnosti obou těchto schémat.^[3][4]

Úvod^[5]

Hybridní rozdílové schéma je metoda používaná v numerickém řešení problémů s konvekcí a difúzí. Tyto problémy hrají důležitou roli v výpočetní dynamika tekutin. Lze jej popsat obecnou parciální rovnicí následovně:^[6]

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} ( rho phi) + nabla ( rho mathbf {u} phi) , = nabla ( Gamma cdot operatorname {grad } phi) + S _ { phi}}$${ displaystyle ;}$ (1)

Kde, ${ displaystyle rho}$ je hustota, ${ displaystyle mathbf {u}}$ je vektor rychlosti, ${ displaystyle Gamma}$ je koeficient difúze a ${ displaystyle S _ { phi}}$ je zdrojový termín. V této vlastnosti rovnice ${ displaystyle phi}$ může být teplota, vnitřní energie nebo složka vektoru rychlosti ${ displaystyle mathbf {u}}$ ve směrech x, yaz.

Pro jednorozměrnou analýzu problému konvekce a difúze v ustáleném stavu a bez zdroje se rovnice redukuje na,

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x}} ( rho u phi) , = { frac { částečné} { částečné x}} vlevo ( Gamma { frac { částečné phi} { částečné x}} vpravo), quad 0$ ${ displaystyle ;}$ (2)

S okrajovými podmínkami, ${ displaystyle phi (0) , = phi _ {0}}$ a ${ displaystyle phi (L) , = phi _ {L}}$, kde L je délka, ${ displaystyle phi _ {0}}$ a ${ displaystyle phi _ {L}}$ jsou dané hodnoty.

Generování mřížky

Integrační rovnice 2 přes ovládání hlasitosti obsahující uzel N a používat Gaussova věta tj.,

${ displaystyle int _ {CV} nabla ( rho mathbf {u} phi) dV , = int _ {A} mathbf {n} cdot ( rho mathbf {u} phi) dA}$ ${ displaystyle ;}$ (3)

Poskytuje následující výsledek,

${ displaystyle left ( rho uA phi right) _ {r} - left ( rho uA phi right) _ {l}}$ = ${ displaystyle left ( Gamma A { frac { částečné phi} { částečné x}} pravé) _ {r} - left ( Gamma A { frac { částečné phi} { částečné x}} vpravo) _ {l}}$ ${ displaystyle ;}$(4)

Kde A je průřez rovnice musí také splňovat rovnice spojitosti, tj.,

${ displaystyle left ( rho uA right) _ {r} - left ( rho uA right) _ {l}}$ = 0 ${ displaystyle ;}$ (5)

Nyní definujme proměnné F a D, které reprezentují konvekční hmotnostní tok a difúzní vodivost na tvářích buněk,

${ displaystyle F , = rho uA}$${ displaystyle ;}$ a ${ displaystyle ;}$${ displaystyle D , = { frac { Gamma A} { delta x}}}$ ${ displaystyle ;}$ (6)

Proto rovnice (4) a (5) transformujte do následujících rovnic:

${ displaystyle F_ {r} phi _ {r} -F_ {l} phi _ {l} , = D_ {r} ( phi _ {R} - phi _ {N}) - D_ {l } ( phi _ {N} - phi _ {L})}$ ${ displaystyle ;}$ (7)

${ displaystyle F_ {r} -F_ {l} , = 0}$ ${ displaystyle ;}$ (8)

Kde malá písmena označují hodnoty na tvářích a velká písmena označují hodnoty v uzlech. Definujeme také bezrozměrný parametr Číslo Péclet (Pe) jako měřítko relativních sil konvekce a difúze,

${ displaystyle Pe , = { frac {F} {D}} , = { frac { rho u} { Gamma / delta x}}}$ ${ displaystyle ;}$ (9)

Pro nízké číslo Peclet (| Pe | <2) je tok charakterizován jako dominovaný difúzí. U velkého počtu Pecletů toku dominuje konvekce.

Centrální a protivětrný rozdíl^[3][7]

Obrázek 1: Mřížka použitá pro diskretizaci ve schématu středního rozdílu

Ve výše uvedených rovnicích (7) a (8), pozorujeme, že požadované hodnoty jsou na tvářích, místo na uzlech. Proto jsou k dosažení tohoto cíle zapotřebí aproximace.

V centrálním rozdílovém schématu nahradíme hodnotu na ploše průměrem hodnot na sousedních uzlech,

${ displaystyle phi _ {r} , = { frac { phi _ {R} + phi _ {N}} {2}}}$ ${ displaystyle ;}$ a ${ displaystyle ;}$ ${ displaystyle phi _ {l} , = { frac { phi _ {N} + phi _ {L}} {2}}}$ ${ displaystyle ;}$ (10)

Obrázek 2: Mřížka použitá pro diskretizaci ve schématu rozdílu proti větru pro kladné číslo Peclet (Pe> 0)

Obrázek 3: Mřížka použitá pro diskretizaci ve schématu rozdílu proti větru pro záporné číslo Peclet (Pe <0)

Uvedením těchto hodnot do rovnice (7) a přeskupením získáme následující výsledek,

${ displaystyle a_ {N} phi _ {N} , = a_ {R} phi _ {R} + a_ {L} phi _ {L}}$ ${ displaystyle ;}$ (11)

kde,

${ displaystyle a_ {L}}$	${ displaystyle a_ {R}}$	${ displaystyle a_ {N}}$
${ displaystyle D_ {l} + { frac {F_ {l}} {2}}}$	${ displaystyle D_ {r} - { frac {F_ {r}} {2}}}$	${ displaystyle a_ {R} + a_ {L} + (F_ {r} -F_ {l})}$

Ve schématu Upwind nahradíme hodnotu na ploše hodnotou v sousedním předřazeném uzlu. Například pro tok doprava (Pe> 0), jak je znázorněno na obrázku, nahradíme hodnoty následujícím způsobem;

${ displaystyle phi _ {l} , = phi _ {L}}$${ displaystyle ;}$ a ${ displaystyle ;}$${ displaystyle phi _ {r} , = phi _ {N}}$ ${ displaystyle ;}$ (12)

A pro Pe <0 dáme hodnoty, jak je znázorněno na obrázku 3,

${ displaystyle phi _ {r} , = phi _ {R}}$${ displaystyle ;}$ a ${ displaystyle ;}$${ displaystyle phi _ {l} , = phi _ {N}}$ ${ displaystyle ;}$ (13)

Uvedením těchto hodnot do rovnice (7) a přeskupení dostaneme stejnou rovnici jako rovnice (11), s následujícími hodnotami koeficientů:

${ displaystyle a_ {L}}$	${ displaystyle a_ {R}}$	${ displaystyle a_ {N}}$
${ displaystyle D_ {l} + max (F_ {l}, 0)}$	${ displaystyle D_ {r} + max (-F_ {r}, 0)}$	${ displaystyle a_ {R} + a_ {L} + (F_ {r} -F_ {l})}$

Hybridní rozdílové schéma^[3][7]

Obrázek 4: Diagram ukazující variaci jakékoli vlastnosti (ϕ) podél délky (L) při různých číslech Peclet (Pe)

Hybridní rozdílové schéma Spaldinga (1970) je kombinací centrálního rozdílového schématu a rozdílového schématu proti větru. Využívá centrální rozdílové schéma, které je přesné druhého řádu, pro malá čísla Peclet (| Pe | <2). Pro velká čísla Peclet (| Pe |> 2) používá schéma rozdílu vzad, které nejprve objednává přesně, ale bere v úvahu konvekci tekutiny.

Jak je vidět na obrázku 4, pro Pe = 0 je to lineární distribuce a pro vysoké Pe přebírá hodnotu proti proudu v závislosti na směru proudění. Například hodnota na levé straně za různých okolností je,

${ displaystyle phi _ {l} , = left [ left (1 + { frac {2} {Pe_ {l}}} right) { frac { phi _ {L}} {2} } + left (1 - { frac {2} {Pe_ {l}}} right) { frac { phi _ {N}} {2}} right] ,}$ ${ displaystyle ;}$ pro ${ displaystyle ;}$ ${ displaystyle -2$${ displaystyle ;}$ (14)

${ displaystyle phi _ {l} , = phi _ {L}}$ ${ displaystyle ;}$ pro ${ displaystyle ;}$ ${ displaystyle Pe_ {l} { text {≥}} 2}$ ${ displaystyle ;}$ (15)

${ displaystyle phi _ {l} , = phi _ {N}}$ ${ displaystyle ;}$ pro ${ displaystyle ;}$ ${ displaystyle Pe_ {l} { text {≤}} - 2}$ ${ displaystyle ;}$ (16)

Dosazením těchto hodnot do rovnice (7) dostaneme stejnou rovnici (11) s následujícími hodnotami koeficientů,

${ displaystyle a_ {L}}$	${ displaystyle a_ {R}}$	${ displaystyle a_ {N}}$
${ displaystyle max left [F_ {l}, left (D_ {l} + { frac {F_ {l}} {2}} right), 0 right]}$	${ displaystyle max left [-F_ {r}, left (D_ {r} - { frac {F_ {r}} {2}} right), 0 right]}$	${ displaystyle a_ {r} + a_ {l} + (F_ {r} -F_ {l})}$

Výhody a nevýhody

Využívá příznivé vlastnosti centrálního rozdílu a schématu proti větru. Přepíná na rozdílové schéma proti větru, když centrální rozdílové schéma vytváří nepřesné výsledky pro vysoká čísla Peclet. Produkuje fyzicky realistické řešení a osvědčil se při predikci praktických toků. Jedinou nevýhodou spojenou s hybridním rozdílovým schématem je přesnost, pokud jde o Taylor série chyba zkrácení je pouze první objednávka.

Viz také

• Diferenční schéma proti větru pro proudění

Reference

externí odkazy

• http://proceedings.fyper.com/eccomascfd2006/documents/595.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110228093510102.pdf
• http://www.internonlinearscience.org/upload/papers/20110227034844410.pdf