Komplex Toda – Smith - Toda–Smith complex

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Specifický problém je: Nejasné pro běžné uživatele, potřebuje odborníka ke kontrole informací. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Červenec 2015) tento článek popisuje pouze jeden vysoce specializovaný aspekt přidruženého předmětu. Prosím pomozte vylepšit tento článek přidáním obecnějších informací. The diskusní stránka může obsahovat návrhy. (Červenec 2015) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Komplex Toda – Smith“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice Komplexy Toda – Smith jsou spektra charakterizovaný tím, že má obzvláště jednoduchý BP-homologie, a jsou užitečné objekty v stabilní homotopická teorie.

Komplexy Toda – Smith poskytují příklady periodických vlastních map. Tyto vlastní mapy byly původně využity k vytvoření nekonečných rodin prvků v homotopy skupin koulí. Jejich existence směřovala k nilpotence věty o periodicitě^[1].

Matematický kontext

Příběh začíná titulem ${ displaystyle p}$ mapa na ${ displaystyle S ^ {1}}$ (jako kruh v složité letadlo ):

${ displaystyle S ^ {1} až S ^ {1} ,}$

${ displaystyle z mapsto z ^ {p} ,}$

Titul ${ displaystyle p}$ mapa je dobře definována pro ${ displaystyle S ^ {k}}$ obecně, kde ${ displaystyle k in mathbb {N}}$Pokud použijeme nekonečno suspenze funktor na tuto mapu, ${ displaystyle Sigma ^ { infty} S ^ {1} to Sigma ^ { infty} S ^ {1} =: mathbb {S} ^ {1} to mathbb {S} ^ {1 }}$ a vezmeme cofiber výsledné mapy:

${ displaystyle S { xrightarrow {p}} S do S / p}$

Zjistili jsme to ${ displaystyle S / p}$ má pozoruhodnou vlastnost pocházející z a Mooreův prostor (tj. prostor pro návrhářskou (ko) homologii: ${ displaystyle H ^ {n} (X) simeq Z / p}$, a ${ displaystyle { tilde {H}} ^ {*} (X)}$ je triviální pro všechny ${ displaystyle * neq n}$).

Rovněž je třeba poznamenat, že periodické mapy, ${ displaystyle alpha _ {t}}$, ${ displaystyle beta _ {t}}$, a ${ displaystyle gamma _ {t}}$, pocházejí z map stupňů mezi komplexy Toda – Smith, ${ displaystyle V (0) _ {k}}$, ${ displaystyle V (1) _ {k}}$, a ${ displaystyle V_ {2} (k)}$ resp.

Formální definice

The ${ displaystyle n}$komplex Toda – Smith, ${ displaystyle V (n)}$ kde ${ displaystyle n v -1,0,1,2,3, ldots}$, je konečné spektrum, které splňuje vlastnost, kterou má BP-homologie, ${ displaystyle BP _ {*} (V (n)): = [ mathbb {S} ^ {0}, BP wedge V (n)]}$, je izomorfní s ${ displaystyle BP _ {*} / (p, ldots, v_ {n})}$.

To znamená, že komplexy Toda – Smith jsou zcela charakterizovány svými ${ displaystyle BP}$-místní vlastnosti a jsou definovány jako jakýkoli objekt ${ displaystyle V (n)}$ splňující jednu z následujících rovnic:

${ displaystyle { begin {aligned} BP _ {*} (V (-1)) & simeq BP _ {*} [6pt] BP _ {*} (V (0)) & simeq BP _ {*} / p [6pt] BP _ {*} (V (1)) & simeq BP _ {*} / (p, v_ {1}) [2pt] & {} , , , vdots end {zarovnaný}}}$

Může to čtenáři pomoci si to vybavit ${ displaystyle BP _ {*} = mathbb {Z} _ {p} [v_ {1}, v_ {2}, ...]}$, ${ displaystyle deg v_ {i}}$ = ${ displaystyle 2 (p ^ {i} -1)}$.

Příklady komplexů Toda – Smith

• the sférické spektrum, ${ displaystyle BP _ {*} (S ^ {0}) simeq BP _ {*}}$, který je ${ displaystyle V (-1)}$.
• mod Moorovo spektrum, ${ displaystyle BP _ {*} (S / p) simeq BP _ {*} / p}$, který je ${ displaystyle V (0)}$

Reference