Přetváření tenzoru - Tensor reshaping

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Přetváření tenzoru“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Leden 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v multilineární algebra, a přetváření z tenzory je jakýkoli bijekce mezi množinou indexy z objednat -${ displaystyle d}$ tenzor a množina indexů objednávky-${ displaystyle ell}$ tenzor, kde ${ displaystyle ell$. Použití indexů předpokládá tenzory v souřadnicové reprezentaci s ohledem na základnu. Souřadnicovou reprezentaci tenzoru lze považovat za vícerozměrné pole, a bijekce z jedné sady indexů do druhé proto představuje přeskupení prvků pole do pole jiného tvaru. Takové přeskupení představuje zvláštní druh lineární mapa mezi vektorovým prostorem objednávky-${ displaystyle d}$ tenzory a vektorový prostor řádu-${ displaystyle ell}$ tenzory.

Definice

Dáno kladné celé číslo ${ displaystyle d}$, notace ${ displaystyle [d]}$ Odkazuje na soubor ${ displaystyle {1, tečky, d }}$ první d kladná celá čísla.

Pro každé celé číslo ${ displaystyle k}$ kde ${ displaystyle 1 leq k leq d}$ pro kladné celé číslo ${ displaystyle d}$, nechť PROTI_k označit n_k-dimenzionální vektorový prostor přes pole ${ displaystyle F}$. Pak existují izomorfismy vektorového prostoru (lineární mapy)

kde ${ displaystyle pi in { mathfrak {S}} _ {d}}$ je jakýkoli permutace a ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {d}}$ je symetrická skupina na ${ displaystyle d}$ elementy. Prostřednictvím těchto (a dalších) izomorfismů vektorového prostoru lze tenzor interpretovat několika způsoby jako${ displaystyle ell}$ tenzor kde ${ displaystyle ell leq d}$.

Znázornění souřadnic

První izomorfismus vektorového prostoru na seznamu výše, ${ displaystyle V_ {1} otimes cdots otimes V_ {d} simeq F ^ {n_ {1}} otimes cdots otimes F ^ {n_ {d}}}$, dává souřadnicová reprezentace abstraktního tenzoru. Předpokládejme, že každý z ${ displaystyle d}$ vektorové prostory ${ displaystyle V_ {k}}$ má základ ${ displaystyle {v_ {1} ^ {k}, v_ {2} ^ {k}, ldots, v_ {n_ {k}} ^ {k} }}$. Vyjádření tenzoru vzhledem k tomuto základu má formu

kde koeficienty ${ displaystyle a_ {j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {d}}}$ jsou prvky ${ displaystyle F}$. Souřadnicová reprezentace ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {j} ^ {k}}$ je ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ standardní základní vektor z ${ displaystyle F ^ {n_ {k}}}$. To lze považovat za d-dimenzionální pole, jehož prvky jsou koeficienty ${ displaystyle a_ {j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {d}}}$.

Vektorizace

Prostřednictvím bijektivní mapy ${ displaystyle mu: [n_ {1}] krát cdots krát [n_ {d}] až [n_ {1} cdots n_ {d}]}$, izomorfismus vektorového prostoru mezi ${ displaystyle F ^ {n_ {1}} otimes cdots otimes F ^ {n_ {d}}}$ a ${ displaystyle F ^ {n_ {1} cdots n_ {d}}}$ je postaven přes mapování ${ displaystyle mathbf {e} _ {j_ {1}} ^ {1} otimes cdots otimes mathbf {e} _ {j_ {d}} ^ {d} mapsto mathbf {e} _ { mu (j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {d})},}$ kde pro každé přirozené číslo ${ displaystyle j}$ takhle ${ displaystyle 1 leq j leq n_ {1} cdots n_ {d}}$, vektor ${ displaystyle mathbf {e} _ {j}}$ označuje jth standardní základní vektor ${ displaystyle F ^ {n_ {1} cdots n_ {d}}}$. V takovém přetvoření je tenzor jednoduše interpretován jako a vektor v ${ displaystyle F ^ {n_ {1} cdots n_ {d}}}$. Toto je známé jako vektorizace, a je analogický k vektorizace matic. Standardní volba bijekce ${ displaystyle mu}$ je takový

${ displaystyle operatorname {vec} ({ mathcal {A}}): = { begin {bmatrix} a_ {1,1, ldots, 1} & a_ {2,1, ldots, 1} & cdots & a_ {n_ {1}, 1, ldots, 1} & a_ {1,2,1, ldots, 1} & cdots & a_ {n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {d}} end {bmatrix}} ^ {T},}$

což je v souladu se způsobem, jakým operátor dvojtečky v Matlab a GNU oktáva přetvoří tenzor vyššího řádu na vektor. Obecně platí, že vektorizace ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je vektor ${ displaystyle [a _ { mu ^ {- 1} (j)}] _ {j = 1} ^ {n_ {1} cdots n_ {d}}}$.

Obecné zploštění

Pro jakoukoli permutaci ${ displaystyle pi in { mathfrak {S}} _ {d}}$ tady je kanonický izomorfismus mezi dvěma tenzorovými produkty vektorových prostorů ${ displaystyle V_ {1} otimes V_ {2} otimes cdots otimes V_ {d}}$ a ${ displaystyle V _ { pi (1)} otimes V _ { pi (2)} otimes cdots otimes V _ { pi (d)}}$. Závorky jsou z těchto produktů obvykle vynechány kvůli přirozený izomorfismus mezi ${ displaystyle V_ {i} otimes (V_ {j} otimes V_ {k})}$ a ${ displaystyle (V_ {i} otimes V_ {j}) otimes V_ {k}}$, ale může být samozřejmě znovu zavedeno, aby se zdůraznilo určité seskupení faktorů. Ve skupině

${ displaystyle (V _ { pi (1)} otimes cdots otimes V _ { pi (r_ {1})}) otimes (V _ { pi (r_ {1} +1)} otimes cdots otimes V _ { pi (r_ {2})}) otimes cdots otimes (V _ { pi (r _ { ell -1} +1)} otimes cdots otimes V _ { pi (r_ { ell})}),}$

existují ${ displaystyle ell}$ skupiny s ${ displaystyle r_ {j} -r_ {j-1}}$ faktory v ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ skupina (kde ${ displaystyle r_ {0} = 0}$ a ${ displaystyle r _ { ell} = d}$).

Pronájem ${ displaystyle S_ {j} = ( pi (r_ {j-1} +1), pi (r_ {j-1} +2), ldots, pi (r_ {j}))}$ pro každého ${ displaystyle j}$ uspokojující ${ displaystyle 1 leq j leq ell}$, an ${ displaystyle (S_ {1}, S_ {2}, ldots, S _ { ell})}$-ploštění tenzoru ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, označeno ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {(S_ {1}, S_ {2}, ldots, S _ { ell})}}$, se získá uplatněním výše uvedených dvou procesů v každém z ${ displaystyle ell}$ skupiny faktorů. To znamená, že souřadnicová reprezentace ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ skupina faktorů se získá pomocí izomorfismu ${ displaystyle (V _ { pi (r_ {j-1} +1)} otimes V _ { pi (r_ {j-1} +2)} otimes cdots otimes V _ { pi (r_ {j })}) simeq (F ^ {n _ { pi (r_ {j-1} +1)}} otimes F ^ {n _ { pi (r_ {j-1} +2)}} otimes cdots otimes F ^ {n _ { pi (r_ {j})}}}}$, což vyžaduje zadání základů pro všechny vektorové prostory ${ displaystyle V_ {k}}$. Výsledek je poté vektorizován pomocí bijekce ${ displaystyle mu _ {j}: [n _ { pi (r_ {j-1} +1)}] krát [n _ { pi (r_ {j-1} +2)}] krát cdots times [n _ { pi (r_ {j})}] do [N_ {S_ {j}}]}}$ získat prvek ${ displaystyle F ^ {N_ {S_ {j}}}}$, kde ${ displaystyle N_ {S_ {j}}: = prod _ {i = r_ {j-1} +1} ^ {r_ {j}} n _ { pi (i)}}$, součin rozměrů vektorových prostorů v ${ displaystyle j ^ { text {th}}}$ skupina faktorů. Výsledkem aplikace těchto izomorfismů v rámci každé skupiny faktorů je prvek ${ displaystyle F ^ {N_ {S_ {1}}} otimes cdots otimes F ^ {N_ {S _ { ell}}}}$, což je tenzor řádu ${ displaystyle ell}$.

Vektorizace ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je ${ displaystyle (S_ {1})}$- obnovování, ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {(S_ {1})}}$ kde ${ displaystyle S_ {1} = (1,2; ldots, d)}$.

Imatrikulace

Nechat ${ displaystyle { mathcal {A}} in F ^ {n_ {1}} otimes F ^ {n_ {2}} otimes cdots otimes F ^ {n_ {d}}}$ být souřadnicovou reprezentací abstraktního tenzoru vzhledem k základně standardní faktor-k zploštění z ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je ${ displaystyle (S_ {1}, S_ {2})}$- obnovení, ve kterém ${ displaystyle S_ {1} = (k)}$ a ${ displaystyle S_ {2} = (1,2, ldots, k-1, k + 1, ldots, d)}$. Standardní zploštění je obvykle označeno

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {(k)}: = { mathcal {A}} _ {(S_ {1}, S_ {2})}}$

Tyto přetváření se někdy nazývají imatrikulace nebo odvíjí v literatuře. Standardní volba pro bijekce ${ displaystyle mu _ {1}, mu _ {2}}$ je ten, který odpovídá změně tvaru funkce v Matlabu a GNU Octave, a to

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {(k)}: = { begin {bmatrix} a_ {1,1, ldots, 1,1,1, ldots, 1} & a_ {2,1, ldots, 1,1,1, ldots, 1} & cdots & a_ {n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k-1}, 1, n_ {k + 1}, ldots , n_ {d}} a_ {1,1, ldots, 1,2,1, ldots, 1} & a_ {2,1, ldots, 1,2,1, ldots, 1} & cdots & a_ {n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k-1}, 2, n_ {k + 1}, ldots, n_ {d}} vdots & vdots && vdots a_ {1,1, ldots, 1, n_ {k}, 1, ldots, 1} & a_ {2,1, ldots, 1, n_ {k}, 1, ldots, 1} & cdots & a_ {n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k-1}, n_ {k}, n_ {k + 1}, ldots, n_ {d}} end {bmatrix}}}$