Ražba mincí Sylver - Sylver coinage
 | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. (Duben 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
Ražba mincí Sylver je matematická hra pro dva hráče, vynalezl John H. Conway. To je popsáno v kapitole 18Vítězné způsoby pro vaše matematické hry. Tento článek shrnuje tuto kapitolu.
Oba hráči se střídali a pojmenovali kladně celá čísla větší než 1, které nejsou součtem nezáporných násobků dříve pojmenovaných celých čísel. Hráč, který takové číslo nemůže pojmenovat, prohrává. Například pokud hráč A otevře 2, B může vyhrát pojmenováním 3.
Ražba Sylver je pojmenována poJames Joseph Sylvester, který dokázal, že pokud A a bjsou relativně prime kladná celá čísla, pak (A − 1)(b - 1) - 1 je největší číslo, které není součtem záporných násobků A a b. Pokud tedy A a b jsou první dva tahy ve hře mincí sylver, tento vzorec dává největší počet, který lze ještě hrát. Obecněji, pokud největší společný dělitel z dosud odehraných tahů je G, pak jen konečně mnoho násobků G mohou zůstat přehrávány a poté, co jsou všechny přehrány, pak G musí klesat při dalším tahu. Každá hra mincí sylver proto musí nakonec skončit. Když má mincovní hra Sylver pouze konečný počet zbývajících tahů, největší číslo, které lze ještě hrát, se nazývá Frobeniusovo číslo a nalezení tohoto čísla se nazývá problém s mincí.
Příklad
Ukázková hra mezi A a B:
- A se otevře s 5. Nyní žádný hráč nemůže pojmenovat 5, 10, 15, ....
- B jména 4. Žádný hráč nyní nemůže pojmenovat 4, 5, 8, 9, 10 nebo jakékoli číslo větší než 11.
- Jména 11. Nyní zbývají pouze čísla 2, 3, 6 a 7.
- Názvy B 6. Nyní zbývají pouze čísla 2, 3 a 7.
- Jména 7. Nyní jsou zbývající čísla pouze 2 a 3.
- J jména 2. Nyní zbývá pouze 3 čísla.
- A name 3, nezanechávající nic pro B, a vyhrává.
Každý z tahů A byl na vítěznou pozici.
Analýza
Na rozdíl od mnoha podobných matematických her nebylo mincovnictví Sylver zcela vyřešeno, hlavně proto, že mnoho pozic má nekonečně mnoho možných tahů. Kromě toho hlavní věta, která identifikuje třídu vítězných pozic, kvůli R. L. Hutchingsovi, zaručuje, že taková pozice má vítěznou strategii, ale strategii neidentifikuje. Hutchingsova věta uvádí, že některý z prvočísla 5, 7, 11, 13,…, vyhrává jako první tah, ale o následujících výherních tahech je známo jen velmi málo: toto jsou jediné známé vítězné otvory.
Když největší společný dělitel z dosud provedených tahů je 1, zbývající sada čísel, která lze přehrát, bude a konečná množina, a lze jej matematicky popsat jako množinu mezer a numerická poloskupina. Některé z těchto konečných pozic, včetně všech pozic poté, co druhý hráč zareagoval na jeden z vítězných tahů Hutchingsa, umožňují speciální tah, který Sicherman nazývá „ender“. Ender je číslo, které lze přehrát pouze okamžitě: hraní jakékoli jiné číslo by to vyloučilo. Pokud existuje ender, je to vždy největší číslo, které lze ještě přehrát. Například po tahech (4,5) je největší počet, který lze ještě přehrát, 11. Hra 11 nemůže vyloučit žádná menší čísla, ale hraní kteréhokoli z menších dostupných čísel (1, 2, 3, 6 nebo 7) by vyloučil hraní 11, takže 11 je ender. Pokud existuje ender, další hráč může vyhrát následováním a argument o krádeži strategie. Pokud může vyhrát jeden z nekončících tahů, další hráč provede tento vítězný tah. A pokud nevyhraje žádný z tahů, které nekončí, pak může vyhrát další hráč hraním enderu a tím, že druhého hráče donutí provést jeden z dalších nevýherních tahů. Ačkoli tento argument dokazuje, že další hráč může vyhrát, neidentifikuje vítěznou strategii hráče. Poté, co jako první tah odehrajete prvočíslo, které je 5 nebo větší, může první hráč ve hře ražení mincí Sylver vždy zvítězit podle této (nekonstruktivní) enderové strategie v příštím tahu.
 | Nevyřešený problém v matematice: Existují nějaké nepočáteční výherní úvodní tahy v mincích Sylver? (více nevyřešených úloh z matematiky) |
Pokud existují další výherní otvory, musí být 3plynulá čísla (čísla formuláře 2i3j pro nezáporná celá čísla i a j) Pro, pokud nějaké číslo n který není této formy a není primární, pak může druhý hráč vyhrát výběrem velkého primárního faktoru nPrvních několik 3 hladkých čísel, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 a 12, všechny ztrácí otvory, pro které jsou známy kompletní strategie, podle nichž může druhý hráč vyhrát. Dicksonovo lemma (aplikováno na dvojice exponentů (i, j) z těchto čísel), pouze konečně mnoho 3-hladkých čísel může vyhrávat otvory, ale není známo, zda některá z nich jsou.Conway (2017) nabídl cenu 1 000 $ za určení, kdo vyhraje v prvním nevyřešeném případě, úvodním tahu 16, jako součást řady problémů s cenami, včetně Conwayův problém s 99 grafy, minimální rozteč Danzerovy sady a thrackle dohad.
Reference
- Berlekamp, Elwyn R.; Conway, John H.; Guy, Richard K. (1982). "18. Císař a jeho peníze" (PDF). Vítězné způsoby pro vaše matematické hry, Sv. II: Zejména hry. Akademický tisk. str. 575–606.
- Conway, John H. (2017). „Pět problémů s 1 000 USD (aktualizace 2017)“ (PDF). On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Citováno 2019-02-12.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Guy, Richard K. (1976). „Dvacet otázek týkajících se Conwayovy mince Sylver Coinage“. Výzkumné problémy. Americký matematický měsíčník. 83 (8): 634–637. doi:10.2307/2319892. PAN 1538138.
- Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. C7. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
- Michael, T. S. (2009). „6. Od známek po mince Sylver“. Jak hlídat uměleckou galerii a další diskrétní matematická dobrodružství. JHU Stiskněte. str.169 –206. ISBN 9780801897047.
- Sicherman, George (2002). „Teorie a praxe ražení mincí Sylver“ (PDF). Celá čísla. 2. G2.
- Sylvester, James J. (1884). „Otázka 7382“. Matematické otázky. Vzdělávací časy. 41: 21.