Superkvadrik - Superquadrics
v matematika, superquadrics nebo super kvadrics (taky superkvadratika) jsou rodinou geometrické tvary definované vzorci, které se podobají vzorcům z elipsoidy a další kvadrics kromě toho, že kvadratura operace jsou nahrazeny libovolnými pravomocemi. Mohou být viděni jako trojrozměrní příbuzní superellips. Termín může odkazovat na pevný předmět nebo na jeho povrch, v závislosti na kontextu. Rovnice níže určují povrch; těleso je určeno nahrazením znaků rovnosti znaménky menší než nebo stejné.
Superkvadriky obsahují mnoho tvarů, které se podobají kostky, oktaedra, válce, pastilky a vřetena se zaoblenými nebo ostrými rohy. Díky své flexibilitě a relativní jednoduchosti jsou populární geometrické modelování nástroje, zejména v počítačová grafika.
Někteří autoři, jako např Alan Barr, definujte "superkvadrik" včetně obou superellipsoidy a supertoroidy.[1][2] (Správné) supertoroidy však nejsou superkvadriky, jak jsou definovány výše; a zatímco některé superkvadriky jsou superellipsoidy, ani jedna z nich není obsažena v druhé. Komplexní pokrytí geometrických vlastností superkvadrik a způsob jejich zotavení z rozsah obrázků je pojednáno v monografii [3].
Vzorce
Implicitní rovnice
Povrch základního superquadricu je dán vztahem
kde r, s, a t jsou kladná reálná čísla, která určují hlavní rysy superquadricu. A to:
- méně než 1: špičatý osmistěn upravený tak, aby měl konkávní tváře a ostré hrany.
- přesně 1: obyčejný osmistěn.
- mezi 1 a 2: osmistěn upravený tak, aby měl konvexní plochy, tupé hrany a tupé rohy.
- přesně 2: koule
- větší než 2: kostka upravená tak, aby měla zaoblené hrany a rohy.
- nekonečný (v omezit ): kostka
Každý exponent lze samostatně měnit, aby se získaly kombinované tvary. Například pokud r=s= 2 a t= 4, získá se rotační těleso, které se podobá elipsoidu s kulatým průřezem, ale zploštělými konci. Tento vzorec je zvláštním případem vzorce superellipsoidu, pokud (a pouze pokud) r = s.
Je-li libovolný exponent povolen jako záporný, tvar se rozšíří do nekonečna. Takovým tvarům se někdy říká super-hyperboloidy.
Základní tvar nahoře zahrnuje od -1 do +1 podél každé osy souřadnic. Obecná superquadric je výsledkem škálování tento základní tvar v různých množstvích A, B, C podél každé osy. Jeho obecná rovnice je
Parametrický popis
Parametrické rovnice z hlediska povrchových parametrů u a proti (odpovídá zeměpisné délce a šířce, pokud m se rovná 2) jsou
kde jsou pomocné funkce
a znaková funkce sgn (X) je
Vytváření kódu
Následující GNU oktáva kód generuje aproximaci sítě superquadric:
funkceodplata=superquadric(epsilon, a)n=50; etamax=pi/2; etamin=-pi/2; wmax=pi; wmin=-pi; podrobně=(etamax-etamin)/n; dw=(wmax-wmin)/n; [i,j] = mřížka(1:n+1,1:n+1) eta = etamin + (i-1) * podrobně; w = wmin + (j-1) * dw; X = A(1) .* podepsat(cos(eta)) .* břišní svaly(cos(eta)).^epsilon(1) .* podepsat(cos(w)) .* břišní svaly(cos(w)).^epsilon(1); y = A(2) .* podepsat(cos(eta)) .* břišní svaly(cos(eta)).^epsilon(2) .* podepsat(hřích(w)) .* břišní svaly(hřích(w)).^epsilon(2); z = A(3) .* podepsat(hřích(eta)) .* břišní svaly(hřích(eta)).^epsilon(3); pletivo(X,y,z); koncová funkce;
Reference
- ^ Alan H. Barr (leden 1981), Superquadrics a transformace zachovávající úhel. IEEE_CGA vol. 1 č. 1, s. 11–23
- ^ Alan H. Barr (1992), Pevné fyzicky založené superkvadriky. Kapitola III.8 Grafické drahokamy III, editoval D. Kirk, str. 137–159
- ^ Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina (2000) Segmentace a obnova superkvadrik. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht