Podskupiny cyklických skupin - Subgroups of cyclic groups

v abstraktní algebra, každý podskupina a cyklická skupina je cyklický. Navíc pro a konečný cyklická skupina objednávky n, je pořadí každé podskupiny dělitelem na pro každého dělitele existuje přesně jedna podskupina.[1][2] Tento výsledek se nazývá základní věta o cyklických skupinách.[3][4]

Konečné cyklické skupiny

Pro každou konečnou skupinu G řádu n, následující prohlášení jsou ekvivalentní:

  • G je cyklický.
  • Pro každého dělitele d z n, G má nejvýše jednu podskupinu objednávky d.

Pokud jsou obě (a tedy obě) pravdivé, vyplývá z toho, že existuje přesně jedna podskupina objednávky d, pro každého dělitele n. Toto tvrzení je známé pod různými jmény, jako např charakterizace podskupinami.[5][6][7] (Viz také cyklická skupina pro nějakou charakterizaci.)

Existují jiné konečné skupiny než cyklické skupiny s vlastností, že všechny správné podskupiny jsou cyklické; the Kleinová skupina je příklad. Skupina Klein má však více než jednu podskupinu řádu 2, takže nesplňuje podmínky charakterizace.

Nekonečná cyklická skupina

Nekonečná cyklická skupina je isomorfní s aditivní podskupinou Z celých čísel. Existuje jedna podskupina dZ pro každé celé číslo d (skládající se z násobků d), a s výjimkou banální skupiny (generované d = 0) každá taková podskupina je sama o sobě nekonečnou cyklickou skupinou. Protože nekonečná cyklická skupina je a volná skupina na jednom generátoru (a triviální skupina je volná skupina na žádných generátorech), lze tento výsledek považovat za speciální případ Nielsen – Schreierova věta že každá podskupina volné skupiny je sama o sobě zdarma.[8]

Základní věta pro konečné cyklické skupiny může být stanovena ze stejné věty pro nekonečné cyklické skupiny zobrazením každé konečné cyklické skupiny jako kvocientová skupina nekonečné cyklické skupiny.[8]

Mřížka podskupin

V konečném i nekonečném případě je mřížka podskupin cyklické skupiny je isomorfní s dvojí a dělitelnost mříž. V konečném případě mřížka podskupin cyklické skupiny řádu n je izomorfní s dvojníkem mřížky dělitelů n, s podskupinou objednávky n/d pro každého dělitele d. Podskupina objednávky n/d je podskupina podskupiny objednávky n/E kdyby a jen kdyby E je dělitel d. Mřížku podskupin nekonečné cyklické skupiny lze popsat stejným způsobem jako duál mřížky dělitelnosti všech kladných celých čísel. Pokud je nekonečná cyklická skupina reprezentována jako skupina aditiv na celá čísla, pak podskupina generovaná d je podskupina podskupiny generované E kdyby a jen kdyby E je dělitel d.[8]

Mřížky dělitelnosti jsou distribuční mřížky, a tedy i mřížky podskupin cyklických skupin. To poskytuje další alternativní charakterizaci konečných cyklických skupin: jsou to přesně konečné skupiny, jejichž mřížky podskupin jsou distribuční. Obecněji, a konečně generovaná skupina je cyklický právě tehdy, když je jeho mřížka podskupin rozdělovací a libovolná skupina je lokálně cyklický jestliže a jen jeho mřížka podskupin je distribuční.[9] Skupina aditiv racionální čísla poskytuje příklad skupiny, která je místně cyklická a která má distribuční mřížku podskupin, ale která sama o sobě není cyklická.

Reference

  1. ^ Hall, Marshalle (1976), Teorie skupin, American Mathematical Society, Theorem 3.1.1, pp. 35–36, ISBN  9780821819678
  2. ^ Vinberg, Borisrnest Borisovich (2003), Kurz algebry, Postgraduální studium matematiky, 56, American Mathematical Society, Theorem 4.50, pp. 152–153, ISBN  9780821834138.
  3. ^ Joseph A. Gallian (2010), „Základní věta cyklických skupin“, Současná abstraktní algebra, str. 77, ISBN  9780547165097
  4. ^ W. Keith Nicholson (1999), „Cyklické skupiny a řád prvku“, Úvod do abstraktní algebry, str. 110, ISBN  0471331090
  5. ^ Steven Roman (2011). Základy teorie skupin: Pokročilý přístup. Springer. str. 44. ISBN  978-0-8176-8300-9.
  6. ^ V. K. Balakrishnan (1994). Schaumův přehled kombinatoriky. McGraw-Hill Prof Med / Tech. str. 155. ISBN  978-0-07-003575-1.
  7. ^ Markus Stroppel (2006). Lokálně kompaktní skupiny. Evropská matematická společnost. str. 64. ISBN  978-3-03719-016-6.
  8. ^ A b C Aluffi, Paolo (2009), „6.4 Příklad: Podskupiny cyklických skupin“, Algebra, kapitola 0, Postgraduální studium matematiky, 104, American Mathematical Society, str. 82–84, ISBN  9780821847817.
  9. ^ Ruda, Øystein (1938), "Struktury a teorie grup. II", Duke Mathematical Journal, 4 (2): 247–269, doi:10.1215 / S0012-7094-38-00419-3, hdl:10338.dmlcz / 100155, PAN  1546048.