Stufe (algebra) - Stufe (algebra)

v teorie pole, pobočka matematika, Stufe (/ʃtuːfə/; Německy: úroveň) s(F) a pole F je nejmenší počet čtverců, jejichž součet je −1. Pokud nelze -1 napsat jako součet čtverců, s(F) = ${ displaystyle infty}$. V tomto případě, F je formálně skutečné pole. Albrecht Pfister dokázal, že Stufe, je-li konečný, je vždy mocninou 2 a že naopak každá síla 2 se vyskytuje.^[1]

Pravomoci 2

Li ${ displaystyle s (F) neq infty}$ pak ${ displaystyle s (F) = 2 ^ {k}}$ pro některé přirozené číslo ${ displaystyle k}$.^[1][2]

Důkaz: Nechat ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ být vybrán tak, aby ${ displaystyle 2 ^ {k} leq s (F) <2 ^ {k + 1}}$. Nechat ${ displaystyle n = 2 ^ {k}}$. Pak existují ${ displaystyle s = s (F)}$ elementy ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {s} in F setminus {0 }}$ takhle

${ displaystyle 0 = spodní výztuha {1 + e_ {1} ^ {2} + cdots + e_ {n-1} ^ {2}} _ {=: , a} + spodní výztuha {e_ {n} ^ {2} + cdots + e_ {s} ^ {2}} _ {=: , b} ;.}$

Oba ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou součty ${ displaystyle n}$ čtverce a ${ displaystyle a neq 0}$, protože jinak ${ displaystyle s (F) <2 ^ {k}}$, na rozdíl od předpokladu o ${ displaystyle k}$.

Podle teorie Formuláře Pfister, produkt ${ displaystyle ab}$ je sama o sobě součtem ${ displaystyle n}$ čtverce, to znamená, ${ displaystyle ab = c_ {1} ^ {2} + cdots + c_ {n} ^ {2}}$ pro některé ${ displaystyle c_ {i} ve F}$. Ale od ${ displaystyle a + b = 0}$, také máme ${ displaystyle -a ^ {2} = ab}$, a tedy

${ displaystyle -1 = { frac {ab} {a ^ {2}}} = left ({ frac {c_ {1}} {a}} right) ^ {2} + cdots + left ({ frac {c_ {n}} {a}} vpravo) ^ {2},}$

a tudíž ${ displaystyle s (F) = n = 2 ^ {k}}$.

Pozitivní charakteristika

Libovolné pole ${ displaystyle F}$ s pozitivním charakteristický má ${ displaystyle s (F) leq 2}$.^[3]

Důkaz: Nechat ${ displaystyle p = operatorname {char} (F)}$. Postačuje k prokázání nároku na ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$.

Li ${ displaystyle p = 2}$ pak ${ displaystyle -1 = 1 = 1 ^ {2}}$, tak ${ displaystyle s (F) = 1}$.

Li ${ displaystyle p> 2}$ zvažte sadu ${ displaystyle S = {x ^ {2}: x in mathbb {F} _ {p} }}$ čtverců. ${ displaystyle S setminus {0 }}$ je podskupina z index ${ displaystyle 2}$ v cyklická skupina ${ displaystyle mathbb {F} _ {p} ^ { times}}$ s ${ displaystyle p-1}$ elementy. Tím pádem ${ displaystyle S}$ obsahuje přesně ${ displaystyle { tfrac {p + 1} {2}}}$ prvky, a stejně tak ${ displaystyle -1-S}$.Od té doby ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ jen má ${ displaystyle p}$ prvků celkem, ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle -1-S}$ nemůže být disjunktní, to znamená, že existují ${ displaystyle x, y in mathbb {F} _ {p}}$ s ${ displaystyle S ni x ^ {2} = - 1-y ^ {2} v -1-S}$ a tudíž ${ displaystyle -1 = x ^ {2} + y ^ {2}}$.

Vlastnosti

Stufe s(F) souvisí s Pythagorovo číslo str(F) od str(F) ≤ s(F) + 1.^[4] Li F tehdy není formálně reálné s(F) ≤ str(F) ≤ s(F) + 1.^[5][6] Aditivní pořadí formuláře (1), a tedy exponent z Wittova skupina z F se rovná 2s(F).^[7][8]

Příklady

• The Stufe of a kvadraticky uzavřené pole je 1.^[8]
• Stufe z algebraické číslo pole je ∞, 1, 2 nebo 4 (Siegelova věta).^[9] Příklady jsou Q, Q(√−1), Q(√ − 2) a Q(√−7).^[7]
• The Stufe of a konečné pole GF (q) je 1, pokud q ≡ 1 mod 4 a 2 if q ≡ 3 mod 4.^[3][8][10]
• The Stufe of a místní pole lichá charakteristika zbytku se rovná charakteristice jeho zbytkového pole. Stufe pole 2-adic Q₂ je 4.^[9]

Poznámky

Reference

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symetrické bilineární formuláře. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN  3-540-06009-X. Zbl  0292.10016.
• Rajwade, A. R. (1993). Čtverce. Série přednášek London Mathematical Society. 171. Cambridge University Press. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.

Další čtení

• Knebusch, Manfred; Scharlau, Winfried (1980). Algebraická teorie kvadratických forem. Obecné metody a formy Pfister. Seminář DMV. 1. Poznámky od Heisooka Leeho. Boston - Basilej - Stuttgart: Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-1206-8. Zbl  0439.10011.