Stieltjes – Wigertovy polynomy - Stieltjes–Wigert polynomials - Wikipedia

V matematice Stieltjes – Wigertovy polynomy (pojmenoval podle Thomas Jan Stieltjes a Carl Severin Wigert ) jsou rodina základních hypergeometrických ortogonální polynomy v základním Schéma Askey, pro funkci hmotnosti ^[1]

${ displaystyle w (x) = { frac {k} { sqrt { pi}}} x ^ {- 1/2} exp (-k ^ {2} log ^ {2} x)}$

na kladné reálné linii X > 0.

The momentový problém pro polynomy Stieltjes – Wigert je neurčitý; jinými slovy, existuje mnoho dalších opatření poskytujících stejnou rodinu ortogonálních polynomů (viz Kreinův stav ).

Koekoek a kol. (2010) uvádějí v oddíle 14.27 podrobný seznam vlastností těchto polynomů.

Definice

Polynomy jsou uvedeny v termínech základní hypergeometrické funkce a Pochhammer symbol podle^[2]

${ displaystyle displaystyle S_ {n} (x; q) = { frac {1} {(q; q) _ {n}}} {} _ {1} phi _ {1} (q ^ {- n}, 0; q, -q ^ {n + 1} x),}$

kde

${ displaystyle q = exp left (- { frac {1} {2k ^ {2}}} right).}$

Ortogonalita

Protože momentový problém pro tyto polynomy je neurčitý existuje mnoho různých váhových funkcí na [0, ∞], pro které jsou ortogonální. Dva příklady takových váhových funkcí jsou

${ displaystyle { frac {1} {(- x, -qx ^ {- 1}; q) _ { infty}}}}$

a

${ displaystyle { frac {k} { sqrt { pi}}} x ^ {- 1/2} exp left (-k ^ {2} log ^ {2} x right).}$

Poznámky

Reference

• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Základní hypergeometrická řadaEncyklopedie matematiky a její aplikace, 96 (2. vyd.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521833574, ISBN  978-0-521-83357-8, PAN  2128719
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A .; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometrické ortogonální polynomy a jejich q-analogySpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, PAN  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Ch. 18, Ortogonální polynomy“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Szegő, Gábor (1975), Ortogonální polynomy, Colloquium Publications 23, American Mathematical Society, čtvrté vydání, ISBN  978-0-8218-1023-1, PAN  0372517
• Stieltjes, T. -J. (1894), „Obnovení sur les frakcí pokračuje“, Ann. Fac. Sci. Toulouse (francouzsky), VIII: 1–122, doi:10,5802 / po 108, JFM  25.0326.01, PAN  1344720
• Wang, Xiang-Sheng; Wong, Roderick (2010). "Jednotná asymptotika některých q-ortogonálních polynomů". J. Math. Anální. Appl. 364 (1): 79–87. doi:10.1016 / j.jmaa.2009.10.038.
• Wigert, S. (1923), „Sur les polynomes orthogonaux et l'Aproximation des fonctions continue“, Archiv matematiky, astronomů a fysiků (francouzsky), 17: 1–15, JFM  49.0296.01