Měřitelná skupina - Measurable group

V matematice, a měřitelná skupina je speciální typ skupina v křižovatce mezi teorie skupin a teorie míry. Ke studiu se používají měřitelné skupiny opatření je abstraktní prostředí a často s ním úzce souvisí topologické skupiny.

Definice

Nechat ${ displaystyle (G, circ)}$ A skupina s skupinové právo

${ displaystyle circ: G krát G to G}$.

Nechte dále ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ být σ-algebra podmnožin sady ${ displaystyle G}$.

Skupina, nebo formálně trojnásobná ${ displaystyle (G, circ, { mathcal {G}})}$ se nazývá měřitelná skupina, pokud^[1]

• inverze ${ displaystyle g mapsto g ^ {- 1}}$ je měřitelný z ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ na ${ displaystyle { mathcal {G}}}$.
• zákon o skupině ${ displaystyle (g_ {1}, g_ {2}) mapsto g_ {1} circ g_ {2}}$ je měřitelný od ${ displaystyle { mathcal {G}} další časy { mathcal {G}}}$ na ${ displaystyle { mathcal {G}}}$

Tady, ${ displaystyle { mathcal {A}} další časy { mathcal {B}}}$ označuje vznik součin σ-algebra σ-algeber ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Topologické skupiny jako měřitelné skupiny

Každý druhý spočetný topologická skupina ${ displaystyle (G, { mathcal {O}})}$ lze brát jako měřitelnou skupinu. To se provádí vybavením skupiny Borel σ-algebra

${ displaystyle { mathcal {B}} (G) = sigma ({ mathcal {O}})}$,

který je σ-algebra generovaná topologií. Protože podle definice topologické skupiny je skupinové právo a tvorba inverzního prvku kontinuální, jsou obě operace v tomto případě také měřitelné z ${ displaystyle { mathcal {B}} (G)}$ na ${ displaystyle { mathcal {B}} (G)}$ a od ${ displaystyle { mathcal {B}} (G krát G)}$ na ${ displaystyle { mathcal {B}} (G)}$, resp. To zajišťuje druhá počítatelnost ${ displaystyle { mathcal {B}} (G) otimes { mathcal {B}} (G) = { mathcal {B}} (G krát G)}$, a tedy skupina ${ displaystyle G}$ je také měřitelná skupina.

Související pojmy

Měřitelné skupiny lze považovat za měřitelné herecké skupiny které na sebe působí.

Reference