Stefanův problém - Stefan problem

v matematika a jeho aplikace, zejména pro fázové přechody v hmotě, a Stefanův problém je zvláštní druh problém mezní hodnoty pro soustava parciálních diferenciálních rovnic (PDE), ve kterém je hranice mezi fáze se může pohybovat s časem. The klasický Stefanův problém si klade za cíl popsat vývoj hranice mezi dvěma fázemi materiálu procházejícího a změna fáze, například tavení pevné látky, jako je např led na voda. Toho je dosaženo řešením tepelné rovnice v obou regionech, s výhradou daných okrajových a počátečních podmínek. Na rozhraní mezi fázemi (v klasickém problému) je teplota nastavena na teplotu fázové změny. Pro uzavření matematického systému další rovnice, Stefanův stav, je požadováno. Jedná se o energetickou bilanci, která definuje polohu pohybujícího se rozhraní. Všimněte si, že tato vyvíjející se hranice není známa (hyper-) povrch; proto jsou Stefanovy problémy příklady problémy s volnými hranicemi.

Analogické problémy se vyskytují například při studiu toku porézních médií, matematických financí a růstu krystalů z roztoků monomerů.^[1]

Historická poznámka

Problém je pojmenován po Josef Stefan (Jožef Stefan), Slovinec fyzik který představil obecnou třídu takových problémů kolem roku 1890 v sérii čtyř příspěvků týkajících se zamrznutí země a vzniku moře led.^[2] Avšak zhruba před 60 lety, v roce 1831, studoval ekvivalentní problém týkající se formování zemské kůry Chromý a Clapeyron. Stefanův problém připouští a řešení podobnosti, často se tomu říká Neumann řešení, které bylo údajně představeno v sérii přednášek na počátku 60. let 20. století.

Komplexní popis historie Stefanových problémů lze nalézt v Rubinstein.^[3]

Předpoklady pro matematický popis

Z matematického hlediska jsou fáze pouze regiony, ve kterých jsou řešení podkladového PDE spojitá a diferencovatelná až do řádu PDE. Ve fyzikálních problémech představují tato řešení vlastnosti média pro každou fázi. Pohybující se hranice (nebo rozhraní ) jsou nekonečně tenké povrchy že oddělují sousední fáze; proto řešení podkladového PDE a jeho derivátů mohou trpět diskontinuitami napříč rozhraními.

Základní PDE nejsou na rozhraní fázové změny platné; proto další podmínka - Stefanův stav- je třeba získat uzavření. Podmínka Stefan vyjadřuje místní rychlost pohyblivé hranice, jako funkce veličin vyhodnocených na obou stranách hranice fáze, a je obvykle odvozena z fyzického omezení. V problémech přenos tepla například s fázovou změnou uchování energie diktuje, že diskontinuita tepelný tok na hranici musí být vypočtena sazbou latentní teplo uvolnění (které je úměrné místní rychlosti rozhraní).

Matematická formulace

Jednorozměrný jednofázový Stefanův problém

Jednofázový Stefanův problém je založen na předpokladu, že jedna z hmotných fází může být zanedbávána. Toho je obvykle dosaženo za předpokladu, že fáze je při teplotě fázové změny, a proto jakákoli její změna vede ke změně fáze. Jedná se o matematicky pohodlnou aproximaci, která zjednodušuje analýzu a přitom ukazuje základní myšlenky procesu. Další standardní zjednodušení je pracovat bezrozměrný formát, takže lze teplotu na rozhraní nastavit na nulu a hodnoty vzdáleného pole na +1 nebo -1.

Uvažujme napůl nekonečný jednorozměrný blok ledu zpočátku při teplotě tání $u \equiv 0$ pro $X \in [0, +\infty)$ . Nejznámější forma Stefanova problému spočívá v tání prostřednictvím uložené konstantní teploty na levé straně a opouští oblast $[0, s (t)]$ obsazeno vodou. Roztavená hloubka, označená $s (t)$ , je neznámá funkce času. Stefanův problém definuje

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné u} { částečné t}} & = { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} && { text {in}} {(x, t): 0 0 }, && { text {rovnice tepla}}, [6pt] u (0, t) & = 1, && t> 0, && { text {pevná teplota, nad teplotou tání, na levé hranici}}, && [6pt] u { big (} s (t), t { big) } & = 0, && t> 0, && { text {rozhraní při teplotě tání}}, [6pt] beta { frac { mathrm {d} s} { mathrm {d} t}} & = - { frac { částečné u} { částečné x}} { big (} s (t), t { big)}, && t> 0, && { text {Stefanova podmínka}}, [6pt] u (x, 0) & = 0, && x geq 0, && { text {počáteční rozložení teploty}}, [6pt] s (0) & = 0, &&&& { text {počáteční hloubka blok roztaveného ledu}}. end {zarovnáno}}}

kde β je Stefanovo číslo, poměr latentního k charakteristický citelné horko (kde konkrétní znamená, že je děleno hmotností). Všimněte si, že tato definice přirozeně vyplývá z nedimenzionalizace a používá se v mnoha textech ^[4]^[5] nicméně to může být také definováno jako inverzní k tomu (například v položce Wikipedia, Stefanovo číslo ).

Neumannovo řešení získané pomocí podobných proměnných naznačuje, že poloha hranice je dána vztahem

{ textstyle s = 2 lambda { sqrt {t}}}

kde λ splňuje transcendentální rovnice

{ displaystyle { begin {zarovnáno} beta lambda = { frac {1} { sqrt { pi}}} { frac {{ text {exp}} (- lambda ^ {2})} {{ text {erf}} ( lambda)}}. end {zarovnáno}}}

Teplota v kapalině je pak dána vztahem

{ displaystyle T = 1 - { frac {{ text {erf (}} x / (2 { sqrt {t}}))} {{ text {erf}} ( lambda)}}}}

Aplikace

Kromě modelování tání pevných látek se Stefanův problém používá také jako model pro asymptotické chování (v čase) složitějších problémů. Například Pego^[6] používá uzavřené asymptotické expanze k prokázání toho, že řešení Cahn-Hilliard pro problémy s fázovou separací se chovají jako řešení nelineárního Stefanova problému v mezičasovém měřítku. Navíc řešení Cahn – Hilliardova rovnice protože binární směs je rozumně srovnatelná s řešením Stefanova problému.^[7] V tomto srovnání byl Stefanův problém vyřešen pomocí metody front-tracking, moving-mesh s homogenní Neumannovy okrajové podmínky na vnější hranici. Stefanovy problémy lze také použít k popisu fázových transformací.^[8]

Stefanův problém má také bohatou inverzní teorii; v takových problémech hloubka měření (nebo křivka nebo nadpovrch ) $s$ je známý údaj a problém je najít $u$ nebo $F$ .^[9]

Pokročilé formy Stefanova problému

Klasický Stefanův problém se zabývá stacionárními materiály s konstantními termofyzikálními vlastnostmi (obvykle bez ohledu na fázi), konstantní teplotou pro změnu fáze a ve výše uvedeném příkladu okamžitým přepnutím z počáteční teploty na zřetelnou hodnotu na hranici. V praxi se tepelné vlastnosti mohou lišit, a to konkrétně vždy, když se mění fáze. Skok v hustotě při fázové změně vyvolá pohyb tekutiny: výsledná kinetická energie se ve standardní energetické bilanci nefiguruje. S okamžitým teplotním spínačem je počáteční rychlost tekutiny nekonečná, což má za následek počáteční nekonečnou kinetickou energii. Ve skutečnosti je kapalná vrstva často v pohybu, což vyžaduje advekce nebo proudění podmínky v rovnice tepla. Teplota taveniny se může lišit v závislosti na velikosti, zakřivení nebo rychlosti rozhraní. Není možné okamžitě přepínat teploty a potom je obtížné udržovat přesnou pevnou mezní teplotu. Dále v nanoměřítku se teplota nemusí řídit ani Fourierovým zákonem.

V posledních letech byla řešena řada těchto problémů pro různé fyzické aplikace. Při tuhnutí podchlazených tavenin lze ve Font najít analýzu, kde teplota fázové změny závisí na rychlosti rozhraní et al.^[10] Jsou modelovány tuhnutí v nanoměřítku s proměnlivými fázovými změnami teploty a účinků energie / hustoty.^[11]^[12] Solidifikace s prouděním v kanálu byla studována v kontextu lávy^[13] a mikrokanály,^[14] nebo s volným povrchem v souvislosti se zamrzáním vody nad vrstvou ledu.^[15]^[16] Je analyzován obecný model zahrnující různé vlastnosti v každé fázi, proměnné teplotní a teplotní změny fázové změny založené buď na Fourierově zákonu, nebo na Guyerově-Krumhanslově rovnici.^[17]

Viz také

Poznámky

^ Aplikované parciální diferenciální rovnice. Ockendon, J. R. (Rev. ed.). Oxford: Oxford University Press. 2003. ISBN 0-19-852770-5. OCLC 52486357.CS1 maint: ostatní (odkaz)
^ (Vuik 1993, str. 157).
^ RUBINSTEIN, L. I. (2016). PROBLÉM STEFAN. [Místo vydání nebylo určeno]: Americká matematická společnost. ISBN 978-1-4704-2850-1. OCLC 973324855.
^ Davis, Stephen H., 1939-. Teorie tuhnutí. Cambridge. ISBN 978-0-511-01924-1. OCLC 232161077.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Fowler, A. C. (Andrew Cadle), 1953- (1997). Matematické modely v aplikovaných vědách. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46140-5. OCLC 36621805.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ R. L. Pego. (1989). Přední migrace v nelineární Cahn-Hilliardově rovnici. Proc. R. Soc. Lond. A.,422:261–278.
^ Vermolen, F. J .; Gharasoo, M. G .; Zitha, P. L. J .; Bruining, J. (2009). „Numerická řešení některých problémů s difúzním rozhraním: Cahn – Hilliardova rovnice a model Thomase a Windleho“. International Journal for Multiscale Computational Engineering. 7 (6): 523–543. doi:10.1615 / IntJMultCompEng.v7.i6.40.
^ Alvarenga HD, Van de Putter T, Van Steenberge N, Sietsma J, Terryn H (duben 2009). „Vliv karbidové morfologie a mikrostruktury na kinetiku povrchové dekarbonizace ocelí C-Mn“. Metalurgické a materiálové transakce A. 46: 123–133. Bibcode:2015MMTA ... 46..123A. doi:10.1007 / s11661-014-2600-r. S2CID 136871961.
^ (Kirsch 1996 ).
^ Font, F .; Mitchell, S.L .; Myers, T. G. (01.07.2013). „Jednorozměrné tuhnutí podchlazených tavenin“. International Journal of Heat and Mass Transfer. 62: 411–421. doi:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2013.02.070. ISSN 0017-9310.
^ Myers, T. G. (2016-08-01). „Matematické modelování fázových změn v nanoměřítku“. Mezinárodní komunikace v přenosu tepla a hmoty. 76: 59–62. doi:10.1016 / j.icheatmasstransfer.2016.05.005. ISSN 0735-1933.
^ Font, F .; Myers, T. G .; Mitchell, S.L. (únor 2015). "Matematický model pro tavení nanočástic se změnou hustoty". Mikrofluidika a nanofluidika. 18 (2): 233–243. doi:10.1007 / s10404-014-1423-x. ISSN 1613-4982. S2CID 54087370.
^ Lister, J. R. (1994). „Ztuhnutí vztlakového toku v kanálu s flexibilními stěnami. Část 1. Uvolnění konstantního objemu“. Journal of Fluid Mechanics. 272: 21–44. Bibcode:1994JFM ... 272 ... 21L. doi:10.1017 / S0022112094004362.
^ Myers, T. G .; Low, J. (říjen 2011). "Přibližný matematický model pro tuhnutí tekoucí kapaliny v mikrokanálu". Mikrofluidika a nanofluidika. 11 (4): 417–428. doi:10.1007 / s10404-011-0807-4. ISSN 1613-4982. S2CID 97060677.
^ Myers, T. G .; Charpin, J. P. F .; Chapman, S. J. (srpen 2002). "Tok a tuhnutí tenkého tekutého filmu na libovolném trojrozměrném povrchu". Fyzika tekutin. 14 (8): 2788–2803. Bibcode:2002PhFl ... 14,2788 mil. doi:10.1063/1.1488599. hdl:2117/102903. ISSN 1070-6631.
^ Myers, T.G .; Charpin, J.P.F. (Prosinec 2004). "Matematický model pro narůstání atmosférického ledu a proudění vody na studeném povrchu". International Journal of Heat and Mass Transfer. 47 (25): 5483–5500. doi:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2004.06.037.
^ Myers, T. G .; Hennessy, M. G .; Calvo-Schwarzwälder, M. (01.03.2020). „Stefanův problém s proměnnými termofyzikálními vlastnostmi a teplotou fázové změny“. International Journal of Heat and Mass Transfer. 149: 118975. arXiv:1904.05698. doi:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.118975. ISSN 0017-9310. S2CID 115147121.

Reference

Historické odkazy

Vuik, C. (1993), „Několik historických poznámek o Stefanově problému“, Nieuw Archief voor Wiskunde, Řada 4e, 11 (2): 157–167, Bibcode:1993STIN ... 9332397V, PAN 1239620, Zbl 0801.35002. Zajímavý historický článek o počátcích teorie; A předtisk verze (v PDF formát) je k dispozici zde [1].

Vědecké a obecné odkazy

Dělo, John Rozier (1984), Jednorozměrná tepelná rovnice Encyklopedie matematiky a její aplikace 23 (1. vyd.), Čtení –Menlo Park –Londýn –Don Mills –Sydney –Tokio / Cambridge –New York City –Nová Rochelle –Melbourne –Sydney: Vydavatelství Addison-Wesley /Cambridge University Press, str. XXV + 483, ISBN 978-0-521-30243-2, PAN 0747979, Zbl 0567.35001. Obsahuje rozsáhlou bibliografii, jejíž 460 položek pojednává o Stefanovi a dalších problémy s volnými hranicemi, aktualizováno do roku 1982.
Kirsch, Andreas (1996), Úvod do matematické teorie inverzních úloh Série Aplikované matematické vědy, 120, Berlín – Heidelberg – New York: Springer Verlag, str. x + 282, ISBN 0-387-94530-X, PAN 1479408, Zbl 0865.35004
Meirmanov, Anvarbek M. (1992), Stefanův problém, De Gruyter Expositions in Mathematics, 3, Berlín - New York: Walter de Gruyter, str. x + 245, doi:10.1515/9783110846720, ISBN 3-11-011479-8, PAN 1154310, Zbl 0751.35052. - přesDe Gruyter (vyžadováno předplatné) Důležitá monografie od jednoho z předních přispěvatelů do oboru, popisující jeho důkaz o existenci a klasické řešení k vícerozměrnému Stefanovu problému a zkoumání jeho historického vývoje.
Oleinik, O. A. (1960), „Metoda řešení obecného Stefanova problému“, Doklady Akademii Nauk SSSR (v Rusku), 135: 1050–1057, PAN 0125341, Zbl 0131.09202. Příspěvek obsahující důkaz Olgy Oleinik o existenci a jedinečnosti a zobecněné řešení pro trojrozměrný Stefan problém, na základě předchozích výzkumů její žáka S.L. Kamenomostskaya.
Kamenomostskaya, S. L. (1958), "On Stefan Problem", Nauchnye Doklady Vysshey Shkoly, Fiziko-Matematicheskie Nauki (v Rusku), 1 (1): 60–62, Zbl 0143.13901. Dřívější popis výzkumu autora o Stefanově problému.
Kamenomostskaya, S. L. (1961), „Na Stefanův problém“, Matematicheskii Sbornik (v ruštině), 53 (95) (4): 489–514, PAN 0141895, Zbl 0102.09301. V tomto článku autor dokazuje existenci a jedinečnost a zobecněné řešení pro trojrozměrný Stefanův problém, později vylepšený jejím pánem Olgou Oleinik.
Rubinstein, L. I. (1971), Stefanův problém Překlady matematických monografií, 27, Providence, R.I.: Americká matematická společnost, str. viii + 419, ISBN 0-8218-1577-6, PAN 0351348, Zbl 0219.35043. Komplexní reference, napsaná jedním z předních přispěvatelů do této teorie, aktualizovaná až do let 1962–1963 a obsahující bibliografii 201 položek.
Tarzia, Domingo Alberto (červenec 2000), „Bibliografie o hraničních problémech bez pohybu pro rovnici tepelné difúze. Stefan a související problémy“, ROHOŽ. Serie A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática, 2: 1–297, doi:10.26422 / MAT.A.2000.2.tar, ISSN 1515-4904, PAN 1802028, Zbl 0963.35207. Působivá osobní bibliografie autora o pohyblivých a volných hraničních problémech (M – FBP) pro rovnici difúze tepla (H – DE), která obsahuje přibližně 5900 odkazů na díla, se objevila na přibližně 884 různých druzích publikací. Jejím deklarovaným cílem je pokusit se podat ucelený přehled o existující západní matematicko-fyzikálně-technické literatuře v této oblasti výzkumu. Téměř veškerý materiál na toto téma, publikovaný po historickém a prvním příspěvku Lamé-Clapeyrona (1831), byl sebrán. Zdroje zahrnují vědecké časopisy, sborníky nebo konference, technické zprávy a knihy.

externí odkazy

Vasil'ev, F. P. (2001) [1994], „Stefanův stav“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Vasil'ev, F. P. (2001) [1994], „Stefanův problém“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Vasil'ev, F. P. (2001) [1994], „Stefanův problém, inverzní“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[1] Aplikované parciální diferenciální rovnice. Ockendon, J. R. (Rev. ed.). Oxford: Oxford University Press. 2003. ISBN 0-19-852770-5. OCLC 52486357.CS1 maint: ostatní (odkaz)

[2] (Vuik 1993, str. 157).

[3] RUBINSTEIN, L. I. (2016). PROBLÉM STEFAN. [Místo vydání nebylo určeno]: Americká matematická společnost. ISBN 978-1-4704-2850-1. OCLC 973324855.

[4] Davis, Stephen H., 1939-. Teorie tuhnutí. Cambridge. ISBN 978-0-511-01924-1. OCLC 232161077.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[5] Fowler, A. C. (Andrew Cadle), 1953- (1997). Matematické modely v aplikovaných vědách. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46140-5. OCLC 36621805.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[Pego-6] R. L. Pego. (1989). Přední migrace v nelineární Cahn-Hilliardově rovnici. Proc. R. Soc. Lond. A.,422:261–278.

[7] Vermolen, F. J .; Gharasoo, M. G .; Zitha, P. L. J .; Bruining, J. (2009). „Numerická řešení některých problémů s difúzním rozhraním: Cahn – Hilliardova rovnice a model Thomase a Windleho“. International Journal for Multiscale Computational Engineering. 7 (6): 523–543. doi:10.1615 / IntJMultCompEng.v7.i6.40.

[Alvarenga-8] Alvarenga HD, Van de Putter T, Van Steenberge N, Sietsma J, Terryn H (duben 2009). „Vliv karbidové morfologie a mikrostruktury na kinetiku povrchové dekarbonizace ocelí C-Mn“. Metalurgické a materiálové transakce A. 46: 123–133. Bibcode:2015MMTA ... 46..123A. doi:10.1007 / s11661-014-2600-r. S2CID 136871961.

[9] (Kirsch 1996 ).

[10] Font, F .; Mitchell, S.L .; Myers, T. G. (01.07.2013). „Jednorozměrné tuhnutí podchlazených tavenin“. International Journal of Heat and Mass Transfer. 62: 411–421. doi:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2013.02.070. ISSN 0017-9310.

[11] Myers, T. G. (2016-08-01). „Matematické modelování fázových změn v nanoměřítku“. Mezinárodní komunikace v přenosu tepla a hmoty. 76: 59–62. doi:10.1016 / j.icheatmasstransfer.2016.05.005. ISSN 0735-1933.

[12] Font, F .; Myers, T. G .; Mitchell, S.L. (únor 2015). "Matematický model pro tavení nanočástic se změnou hustoty". Mikrofluidika a nanofluidika. 18 (2): 233–243. doi:10.1007 / s10404-014-1423-x. ISSN 1613-4982. S2CID 54087370.

[13] Lister, J. R. (1994). „Ztuhnutí vztlakového toku v kanálu s flexibilními stěnami. Část 1. Uvolnění konstantního objemu“. Journal of Fluid Mechanics. 272: 21–44. Bibcode:1994JFM ... 272 ... 21L. doi:10.1017 / S0022112094004362.

[14] Myers, T. G .; Low, J. (říjen 2011). "Přibližný matematický model pro tuhnutí tekoucí kapaliny v mikrokanálu". Mikrofluidika a nanofluidika. 11 (4): 417–428. doi:10.1007 / s10404-011-0807-4. ISSN 1613-4982. S2CID 97060677.

[15] Myers, T. G .; Charpin, J. P. F .; Chapman, S. J. (srpen 2002). "Tok a tuhnutí tenkého tekutého filmu na libovolném trojrozměrném povrchu". Fyzika tekutin. 14 (8): 2788–2803. Bibcode:2002PhFl ... 14,2788 mil. doi:10.1063/1.1488599. hdl:2117/102903. ISSN 1070-6631.

[16] Myers, T.G .; Charpin, J.P.F. (Prosinec 2004). "Matematický model pro narůstání atmosférického ledu a proudění vody na studeném povrchu". International Journal of Heat and Mass Transfer. 47 (25): 5483–5500. doi:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2004.06.037.

[17] Myers, T. G .; Hennessy, M. G .; Calvo-Schwarzwälder, M. (01.03.2020). „Stefanův problém s proměnnými termofyzikálními vlastnostmi a teplotou fázové změny“. International Journal of Heat and Mass Transfer. 149: 118975. arXiv:1904.05698. doi:10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.118975. ISSN 0017-9310. S2CID 115147121.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]