Cahn – Hilliardova rovnice - Cahn–Hilliard equation

The Cahn – Hilliardova rovnice (po John W. Cahn a John E. Hilliard ) je rovnice z matematická fyzika který popisuje proces fáze separace, při které se dvě složky binární tekutiny spontánně oddělují a tvoří domény čisté v každé složce. Li ${displaystyle c}$ je koncentrace tekutiny s ${displaystyle c = pm 1}$ označující domény, pak se rovnice zapíše jako

${displaystyle {frac {částečné c} {částečné t}} = Dabla ^ {2} vlevo (c ^ {3} -c-gamma abla ^ {2} správně),}$

kde ${displaystyle D}$ je difúze koeficient s jednotkami ${displaystyle {ext {Length}} ^ {2} / {ext {Time}}}$ a ${displaystyle {sqrt {gamma}}}$ udává délku přechodových oblastí mezi doménami. Tady ${displaystyle částečné / {částečné t}}$ je částečná časová derivace a ${displaystyle abla ^ {2}}$ je Laplacian v ${displaystyle n}$ rozměry. Navíc množství ${displaystyle mu = c ^ {3} -c-gamma abla ^ {2} c}$ je identifikován jako chemický potenciál.

S tím souvisí i Allen – Cahnova rovnice, stejně jako Stochastická Cahn – Hilliardova rovnice a Stochastická Allen – Cahnova rovnice.

Funkce a aplikace

Pro matematiky je zajímavá existence jedinečného řešení Cahn-Hilliardovy rovnice dané plynulými počátečními daty. Důkaz se v zásadě opírá o existenci a Lyapunov funkční. Konkrétně, pokud identifikujeme

${displaystyle F [c] = int d ^ {n} xleft [{frac {1} {4}} vlevo (c ^ {2} -1ight) ^ {2} + {frac {gamma} {2}} vlevo | abla cight | ^ {2} ight],}$

jako volná energie funkční

${displaystyle {frac {dF} {dt}} = - int d ^ {n} xleft | abla mu ight | ^ {2},}$

aby volná energie nerostla v čase. To také naznačuje, že segregace do domén je asymptotické výsledek vývoje této rovnice.

Ve skutečných experimentech je pozorována segregace původně smíšené binární tekutiny do domén. Segregaci charakterizují následující skutečnosti.

Vývoj náhodných počátečních dat podle Cahn-Hilliardovy rovnice s ${displaystyle gamma = 0,5}$ a ${displaystyle C = 0}$, což prokazuje fázovou separaci.

• Mezi oddělenými doménami je přechodová vrstva s profilem daným funkcí ${displaystyle c (x) = anh left ({frac {x} {sqrt {2gamma}}} ight),}$ a tedy typická šířka ${displaystyle {sqrt {gamma}}}$ protože tato funkce je rovnovážným řešením Cahn-Hilliardovy rovnice.
• Zajímavá je také skutečnost, že segregované domény rostou v čase jako mocenský zákon. To je, pokud ${displaystyle L (t)}$ je tedy typická velikost domény ${displaystyle L (t) propto t ^ {1/3}}$. Jedná se o zákon Lifshitz – Slyozov a byl důkladně prokázán pro Cahn – Hilliardovu rovnici a pozorován v numerických simulacích a skutečných experimentech na binárních tekutinách.
• Cahn-Hilliardova rovnice má formu zákona zachování, ${displaystyle {frac {částečné c} {částečné t}} = abla cdot mathbf {j} (x),}$ s ${displaystyle mathbf {j} (x) = Dabla mu}$. Proces fázové separace tedy zachovává celkovou koncentraci ${displaystyle C = int d ^ {n} xcleft (x, tight)}$, aby ${displaystyle {frac {dC} {dt}} = 0}$.
• Když je jedna fáze podstatně hojnější, může Cahn-Hilliardova rovnice ukázat jev známý jako Ostwaldovo zrání kde fáze menšiny vytváří sférické kapičky a menší kapičky jsou absorbovány difúzí do větších.

Cahn – Hilliardovy rovnice nacházejí uplatnění v různých oblastech: ve složitých tekutinách a měkké hmotě (mezifázový tok tekutin, polymerní věda a v průmyslových aplikacích). Ukázalo se, že řešení Cahn-Hilliardovy rovnice pro binární směs se dobře shoduje s řešením a Stefanův problém a model Thomase a Windleho.^[1] V současné době je pro vědce zajímavé spojení fázové separace Cahn-Hilliardovy rovnice s Navier-Stokesovy rovnice toku tekutiny.

Viz také

• Spinodální rozklad
• Allen – Cahnova rovnice

Reference

• Cahn, John W .; Hilliard, John E. (1958). „Volná energie nejednotného systému. I. Mezifázová volná energie“. The Journal of Chemical Physics. Publikování AIP. 28 (2): 258–267. doi:10.1063/1.1744102. ISSN  0021-9606.
• Bray, A.J. (1994). „Teorie kinetiky fázového řazení“. Pokroky ve fyzice. 43 (3): 357–459. arXiv:cond-mat / 9501089. doi:10.1080/00018739400101505. ISSN  0001-8732. S2CID  83182.
• Zhu, Jingzhi; Chen, Long-Qing; Shen, Jie; Tikare, Veena (01.10.1999). „Kinetika zhrubnutí z Cahn-Hilliardovy rovnice s proměnlivou pohyblivostí: Aplikace semimplicitní Fourierovy spektrální metody“. Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 60 (4): 3564–3572. doi:10.1103 / physreve.60.3564. ISSN  1063-651X. PMID  11970189.
• Elliott, Charles M .; Songmu, Zheng (1986). „Na rovnici Cahn-Hilliard“. Archiv pro racionální mechaniku a analýzu. Springer Nature. 96 (4): 339–357. doi:10.1007 / bf00251803. ISSN  0003-9527. S2CID  56206640.
• Areias, P .; Samaniego, E .; Rabczuk, T. (2015-12-17). „Střídavý přístup ke spojení difúze typu Cahn – Hilliard a pružnosti konečných deformací“. Výpočetní mechanika. Springer Science and Business Media LLC. 57 (2): 339–351. doi:10.1007 / s00466-015-1235-1. ISSN  0178-7675. S2CID  123982946.
• Hashimoto, Takeji; Matsuzaka, Katsuo; Mojžíš, Elizeus; Onuki, Akira (02.01.1995). "Řetězcová fáze v kapalinách oddělujících fáze pod smykovým tokem". Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 74 (1): 126–129. doi:10.1103 / physrevlett.74.126. ISSN  0031-9007. PMID  10057715.
• T. Ursell, „Cahn – Hilliardova kinetika a spinodální rozklad v difuzním systému,“ California Institute of Technology (2007).